初中數(shù)學(xué)相似三角形b級第02講

1、相似三角形綜合應(yīng)用中考考綱知識架構(gòu)平行線類相似問題角平分線類相似問題相似三角形綜合應(yīng)用內(nèi)接矩形類相似問題射影定理射影定理類相似問題三垂直類相似要點(diǎn)一、平行線類相似模型相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）1 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程考點(diǎn)課標(biāo)要求知識與技能目標(biāo)了解理解掌握靈活應(yīng)用平行線類相似問題平行線類相似角平分線類像是問題角平分線類相似射影定理類相似問題射影定理三垂直類相似內(nèi)接矩形類相似問題內(nèi)接矩形類相似二、角平分線類相似模型：三、射影定理類相似模型1射影定理模型：AACBDBDC圖（2）圖（1）由圖（1）可得： AB2 = BD × BC ， AD2 = BD × CD

2、， AC2 = CD × BC由圖（2）可得： AB2 = BD × BC2三垂直模型：如下圖， DABC DCDEAAAEEEBDDCCBBCD四、內(nèi)接矩形類相似模型：如圖，矩形 DEFG 是DABC 的內(nèi)接矩形，則有： AM= DEANBCABCNFG相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）2 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程DME模塊一：平行線類相似問題知識精講一、 平行線類相似模型：1 常見題模型如下：2點(diǎn)播：前兩種模型很容易從直觀角度直接找到相似的三角形，對于后面四種模型需要做輔助線時(shí)，在題中會找到有利的已知條件有：線段中點(diǎn)，中線，線段間的倍、分等例題【例1】如圖，點(diǎn) A1

3、 , A2 , A3 , A4 在射線OA 上，點(diǎn) B1 , B2 , B3 射線OB 上，且 A1B1 A2 B2 A3 B3 ， A2 B1 A3 B2 A4 B3 若DA2 B1B2 , DA3 B2 B3 的面積分別為1, 4 ，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和為BB3B24B11OA1 A2A4A3A如圖，在DABC 中， DE BC, DG AC, EF AB ，則圖中與DABC 相似的三角形（ DABC 除外）有哪些？【例2】AEDCBHGF相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）3 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程如圖，在DABC 的邊 AB 上取一點(diǎn) D ，在 AC 取一點(diǎn) E ，使 AD

4、 = AE ，直線 DE 和 BC 的延長線相【例3】交于 P ，求證： BP = BD CPCEADEBPC如圖，在DABC 中， D 為 BC 邊的中點(diǎn)， E 為 AC 邊上的任意一點(diǎn)， BE 交 AD（1）當(dāng) AE = 1 時(shí)，求 AO 的值；【例4】O .AC2ADAE = 1 1AO（2）當(dāng)、 時(shí)，求的值；AC3 4AD（3）試猜想 AE =時(shí) AO 的值，并證明你的猜想1ACn + 1ADAEOBDC如圖， AD 是DABC 的中線，點(diǎn) E 在 AD 上， F 是 BE 延長線與 AC 的交點(diǎn)（1） 如果 E 是 AD 的中點(diǎn)，求證： AF = 1 ；FC2（2） 由（1）知，當(dāng)

5、E 是 AD 中點(diǎn)時(shí)， AF = 1 × AE 成立，若 E 是 AD 上任意一點(diǎn)（ E 與 A 、D 不FC2 ED重合），上述結(jié)論是否仍然成立，若成立請寫出證明，若不成立，請說明理由【例5】AFECBD相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）4 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程【例6】如圖，平行四邊形 ABCD 的對角線相交O ，在 AB 的延長線上一點(diǎn) E ，連接OE 交 BC 于點(diǎn) F ，若 AB = a ，AD = c ，BE = b ,求 BF 的值DCOFEAB模塊二：角平分線類相似問題知識精講一、 角平分線類相似模型：1 常見題模型如下：2點(diǎn)播：角平分線類相似問題基本就這樣的四

6、種模型，輔助線的做法也如圖中虛線所示，學(xué)習(xí)這部分知識時(shí)，涉及到角平分線和證明相似問題就可以試著做這樣的輔助線，基本都可以解決【例7】 如圖， AD 是ABC 的角平分線，求證： AB = BD ACCDABCD相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）5 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程【例8】 已知ABC 中， ÐBAC 的外角平分線交對邊 BC 的延長線于 D ，求證： AB = BD ACCDABCD111D ，求證：=+【例9】 在DABC 中， ÐBAC =120° ， AD 平分ÐBAC 交 BCADABAC【例10】在DABC 中， ÐBAC

7、 =120° ， AD 平分ÐBAC 交 BCD ， AB = 6 ， AC = 3 ，求 AD 的長？ABDC【例11】如圖，已知 A 是ÐXOY 的平分線上的定點(diǎn)，過點(diǎn) A 任作一條直線分別交OX 、OY 于 P 、Q .11證明：+是定值OPOQXPAOQY相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）6 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程模塊三：射影定理知識精講一、射影定理：1定理：直角三角形斜邊上的邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜ACBD說明：如上圖，由DABD DCAD ，可得： AD2 = BD CD 由DABD DCB

8、A ，可得： AB2 = BD BC 由DACD DBCA ，可得： AC2 = CD BC2射影定理推廣：若DABC 不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn) D 滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立ABDC如上圖，當(dāng)ÐBAD = ÐC 時(shí)， DABC DDBA ，則有： AB = BC ，即： AB2 = BD BC BDAB二、三垂直類相似問題三垂直相似：如下圖， DABC DCDEAEDBC相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）7 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程2斜三垂直相似：如下圖，當(dāng)ÐB = ÐACE = ÐD 時(shí)， DABC DCDEAAEEBDCCBD

9、例題【例12】已知CD 是 RtDABC 斜邊上的高，則下列各式中不正確的是（ ）A BC2 = BD ABC AC2 = AD ABB CD2 = BD ADD BC AD = AC BDCA【例13】如圖，若CD 是 RtDABC 斜邊上的高， AD = 3 ， CD = 4 ，則 BC=ADBC【例14】如圖，矩形 ABCD 中， BE AC 于 F ， E 恰是CD 的中點(diǎn)，下列式子成立的是（）A BF 2 = 1 AF 22B BF 2 = 1 AF 23C BF 2 > 1 AF 2D BF 2 < 1 AF 232ECDAB相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）8 /

10、 16初中數(shù)學(xué)同步課程F【例15】如圖，在直角梯形 ABCD 中， ABCD ，AB BC ，對角線 AC BD ，垂足為 E ， AD = BD ，過E 的直線 EF AB 交 AD 于 F （1） AF = BE ，（2） AF2 = AE × EC DCFEAB【例16】如圖，ABC 中， AD BC 于 D ， BE AC 于 E ， DF AB 于 F ，交 BE 于G ， FD 、 AC 的延長線交H ，求證： DF2 = FG × FH AFEGCBDH【例17】已知：如圖， ÐACB = ÐCDA = ÐAEB = 90

11、6; ,求證： ÐAEC = ÐACF AFDEBC相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）9 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程【例18】如圖， AB 為半圓直徑， D 為 AB 上一點(diǎn)，分別在半圓上取點(diǎn) E 、F ，使 EA = DA ， FB = DB ，過D 作 AB 的垂線，交半圓于C 求證： CD 平分 EF FCEABDO【例19】如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 AB 的中點(diǎn)，G 、F 分別為 AD 、BC 上的點(diǎn)，若 AG =1，BF = 2 ，ÐGEF = 90° ，則GF 的長為CDFGABE【例20】如圖，已知： ADBC ， AB BC

12、 ， AB = 3cm ， AD = 2cm 點(diǎn) P 是線段 AB 上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PD ，過點(diǎn) D 作CD PD ，交射線 BCC ，再過點(diǎn)C 作CE AD ，交 AD 的延長線E （1） 填空：當(dāng) AP = 2cm 時(shí)， PD =cm ；（2） 求 PD 的值；CD（3） 當(dāng)DAPD 與DDPC 相似時(shí)，求線段 BC 的長DAEPCB相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）10 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程模塊四：內(nèi)接矩形類相似問題知識精講一、 內(nèi)接矩形類相似模型：1 常見題模型：ABCNFG2點(diǎn)播：如圖，矩形 DEFG 是DABC 的內(nèi)接矩形，則有: AM = DE ，在訓(xùn)練中遇到內(nèi)ANBC

13、接矩形類的圖形，就要充分利用這一結(jié)論，有助于進(jìn)行解題【例21】如圖，DABC 中，正方形 EFGH 的兩個(gè)頂點(diǎn) E 、F 在 BC 上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G 、H 分別在 AC 、AB上， BC =15 ， BC 邊上的高 AD =10 ，求 S正方形EFGH AMHGBCEFD【例22】如圖，已知ABC 中， AC = 5，AB =13，BC =12 ，四邊形 DEFG 為正方形，其中 D ，E 在邊AC ，BC 上， F ，G 在 AB 上，求：正方形的邊長CEDABGF相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）11 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程DME【例23】如圖，有一塊三角形土地，它的底邊 BC =

14、48 米，高 AH =16 米，某要沿著底邊 BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大樓。當(dāng)這個(gè)大樓地基面積為192 平方米時(shí)，這個(gè)矩形的長和寬各是多少？AMGDCBHFE【例24】如圖，已知ABC 中，四邊形 DEGF 為正方形， D ，E 在線段 AC ，BC 上， F ，G 在 AB 上，如果= S= 1 ， SDBEF= 3 ，求DABC 的面積S ADCEDABGF隨堂練習(xí)【習(xí)題1】如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 在線段 DC 上，若 DE EC =12 ，則BF BE =ADEFBC相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）12 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程【習(xí)題2】如圖，已知 A

15、B / /EF / /CD ，找出 SDABD 、 SDBED 、 SDBCD 之間的，并證明你的結(jié)論CAEBFD【習(xí)題3】如圖，在DABC 中， M 是 AC 的中點(diǎn)， E 是 AB 上一點(diǎn)，且 AE = 1 AB ，連接 EM 并延長，交 BC4的延長線于 D ，則 BC =CDAEMBCD【習(xí)題4】如圖，已知C 是線段 AB 上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以 AC, BC 為斜邊并且在 AB 的同一側(cè)作等腰直角ACD 和BCE ，連接 AE 交CDM ，連接 BD 交CEN ，給出以下三個(gè)結(jié)論： MN AB ；=+； MN £ 1 AB ，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）111MNA

16、CBC4A 0B 1C 2D 3 【習(xí)題5】如圖，在DABC 中， AD 平分ÐBAC ， AD 的垂直平分線交 AD 于 E ，交 BC 的延長線于 F ，求證： FD2 = FB × FC AEB相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）13 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程【習(xí)題6】如圖，正方形 MNPQ 的頂點(diǎn)在三角形 ABC 的邊上，當(dāng)邊 BC = a 與高 AD = h 滿足什么條件時(shí)，正方形 MNPQ 的面積是三角形 ABC 面積的一半？AQEB課后作業(yè)【作業(yè)1】在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 為 AD 的中點(diǎn)，連接 BE ，交F ，則 AF CF =ACDEFA【作

17、業(yè)2】如圖，在ABC 中， M 是 AC 的中點(diǎn)， E 是 AB 上一點(diǎn)，連接 EM 并延長，交 BC 的延長線于 D ， BC = 2CD ，則 AE =BEAEMDBC相似三角形綜合應(yīng)用.學(xué)生版.（B 級）14 / 16初中數(shù)學(xué)同步課程【作業(yè)3】如圖 1， DABC 中， AI , BI 分別平分ÐBAC, ÐABC CE 是DABC 的外角ÐACD 的平分線， 交 BI 延長線于 E ，連接CI （1） DABC 變化時(shí)，設(shè)ÐBAC = 2a 若用a 表示ÐBIC 和ÐE ，那么ÐBIC =，E= （2） 若 AB =

18、 1 ，且DABC 與DICE 相似，求相應(yīng) AC 長；（3） 如圖 2，延長 AI 交 EC 延長線于 F 當(dāng)DABC 形狀、大小變化時(shí)，圖中有哪些三角形始終與DAIB相似？寫出這些三角形，并選其中之一證明BBIICAA【作業(yè)4】如圖，等腰DABC 中， AB = AC ， AD BC 于 D ，CF AB ，點(diǎn) P 為 AD 上一點(diǎn)，連接 BP 交AC 于 E ，交CF 于 F ，求證： BP2 = PE × PF AFEPBDC如圖，已知DABC 中， AC = 3，BC = 4，ÐC = 90° ，四邊形 DEGF 為正方形，其中 D ，E 在【作業(yè)5】邊 AC ，BC 上， F ，G 在 AB 上，求：正方形的邊長CEDABGF相似