精品資料（2021-2022年收藏）利用數(shù)列思想解決生活中的優(yōu)化問題

1、購房中的數(shù)學(xué)問題研究性學(xué)習(xí)報(bào)告作者班級：廣州市113中高一六班研究小組成員：李俏俏 彭馨瑩 許碧茹 陳偉蕓 指導(dǎo)老師：李瓊（一）研究背景在參加了數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)這個(gè)活動(dòng)后，我們領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，這使我們對生活中的數(shù)學(xué)問題很感興趣，希望從熟悉的事物中理解，體會(huì)數(shù)學(xué)。于是，數(shù)學(xué)老師的鼓勵(lì)下，我們小組對“購房中的數(shù)學(xué)問題”進(jìn)行研究。（二）研究目的意義通過聯(lián)系實(shí)際，從生活中出發(fā)進(jìn)行研究，充分拓展數(shù)列的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以促進(jìn)學(xué)生的對數(shù)列的理解，培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣。提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)列知識來分析、運(yùn)用多方面的數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行全方位考慮和解決生活實(shí)際問題的能力。通過本課題的研究，探索提高學(xué)生的應(yīng)用能力

2、、理解能力和實(shí)踐能力的新方法，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新型人材。（三）研究方法資料調(diào)查法、文獻(xiàn)資料收集法、例題分析法、聯(lián)系實(shí)際（四）研究內(nèi)容在探究數(shù)列性質(zhì)的同時(shí)，我們要善于將數(shù)列與生活聯(lián)系在一起，這樣不但容易了解數(shù)列的性質(zhì)，也懂得了許多生活上的知識，將數(shù)列生活化，既加深了我們對數(shù)列的了解，又為生活提供了方便。很多生活上的問題也和數(shù)學(xué)息息相關(guān)，而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中數(shù)學(xué)大綱所要求掌握的概念、公式、定理和法則等基礎(chǔ)知識。數(shù)列在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，例如人們在貸款、儲蓄、購房、購物等經(jīng)濟(jì)生活中就大量用到數(shù)列的知識。問題：某地一位居民為了改善家庭的住房條件，決定

3、在2003年重新購房。某日，他來到了一個(gè)房屋交易市場，面對著房地廠商林林總總的宣傳廣告，是應(yīng)該買商品房呢還是應(yīng)該買二手房呢？他一時(shí)拿不定主意。以下是他的家庭狀況以及可供選擇的方案家庭經(jīng)濟(jì)狀況家庭每月總收入3000元，也就是年收入3.6萬元?，F(xiàn)有存款6萬元，但是必須留2萬元-3萬元以備急用。預(yù)選方案1.買商品房：一套面積為80 m2的住宅，每平方米售價(jià)為1500元2.買二手房：一套面積為110 m2左右的二手房，售價(jià)為14.2萬元，要求首付4萬元。購房還需要貸款。這位居民選擇了一家銀行申請購房貸款。該銀行的貸款評估員根據(jù)表格中的信息，向他提供了下列信息和建議：申請商業(yè)貸款，貸款期限為15年比較合

4、適，年利率為5.04%。購房的首期付款應(yīng)不低于實(shí)際購房總額的20%，貸款額應(yīng)不高于實(shí)際購房總額的80%。還款方式為等額本金還款，如果按季還款，每季還款額可以分成本金部分和利息部分，其計(jì)算公式分別為本金部分=貸款部分貸款期季數(shù)，利息部分=（貸款本金-已歸還貸款本金累計(jì)額）季利率準(zhǔn)備工作：調(diào)查購房貸款的要求，建立數(shù)學(xué)模型。提出問題：利用數(shù)列知識，根據(jù)以上購房貸款方式，預(yù)選方案1、2到底哪個(gè)是他的最佳選擇？實(shí)驗(yàn)步驟：方案1:如果首付3.6萬（約為住房總價(jià)值的30%），貸款8.4萬，季利率為 5.04%4=1.26%.以貸款期為15年為例.每季等額歸還本金:84000(154)=1400(元)第一個(gè)季

5、度利息:840001.26%=1058.4(元)則第一個(gè)季度還款額為1400+1058.4=2458.4(元)第二個(gè)季度利息:(84000-14001)1.26%=1040.76(元)則第二個(gè)季度還款額為1400+1040.76=2440.76(元)第60個(gè)季度利息:(84000-1400059)1.26%=17.64(元)則第60個(gè)季度(最后一期)的還款額為1400+17.64=1417.64(元)可見,15年中的每個(gè)季度支付的利息成等差數(shù)列,公差為17.64元,其和為:15年中每個(gè)季度的還款額也成等差數(shù)列，公差為17.64元，其和為：方案2：因?yàn)槭赘?萬，所以需要貸款10.2萬，季利率為5

6、.04%4=1.26%.以貸款期為15年為例。每季等額歸還本金：102000（154）=1700（元）第一個(gè)季度利息：1020001.26%=1285.2（元）則第一個(gè)季度還款額為：1700+1285.2=2985.2（元）第二個(gè)季度利息：（102000-17001）1.26%=1263.78（元）則第二個(gè)季度還款額為：1700+1263.78=2963.78（元）第60個(gè)季度利息：（102000-170059）1.26%=21.42（元）則第60個(gè)季度（最后一期）的還款額為1700+21.42=1721.42（元）可見,15年中的每個(gè)季度支付的利息成等差數(shù)列,公差為21.42元,其和為:15

7、年中每個(gè)季度的還款額也成等差數(shù)列，公差為21.42元，其和為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果：建議這個(gè)居民采用方案1，理由如下：（1） 因?yàn)檫@個(gè)居民每月的家庭總收入為3000元，那么每個(gè)月用于償還購房貸款的金額為600900元較為合適，每個(gè)季度為18002700元。如果采用方案1，滿足上述條件。如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的還款額構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為a1=2985.2，公差為d=21.42的等差數(shù)列。若an=2985.2+21.42（n-1）2700，則n15.也就是說，當(dāng)n15（個(gè)季度）時(shí)，每個(gè)季度的還款額大于2700元，即在大于11年的時(shí)間內(nèi)，償還銀行的錢占這個(gè)家庭收入的30%以上，顯然給這個(gè)家庭生活造成

8、了較大的負(fù)擔(dān)。（2）以貸款15年為例，方案2比方案1需要多支付利息39198.6-32281.2=6917.4（元）（3）方案2中的住房是舊房，使用年限較短。實(shí)驗(yàn)反思：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的模型，再通過解不等式求得。首先我們要弄清楚題意，了解數(shù)列的建立、數(shù)列的分析和解法，以及貸款的知識和不等式的解法。為了鞏固和熟悉這方面知識，我們應(yīng)該把問題結(jié)合到實(shí)際生活中，把抽象轉(zhuǎn)為形象，對其做探究。（五）研究過程1.準(zhǔn)備階段（2010年5月2日-2010年5月6日）學(xué)生分組，明確研究課題，擬定計(jì)劃，多途徑收集文獻(xiàn)資料，選取和編制報(bào)告結(jié)構(gòu)等。2.實(shí)施階段（2010年5月6日-2010年5月26日）小組成員分配

9、工作，首先了解購房中的數(shù)學(xué)，把收集的資料總結(jié)歸納。再根據(jù)各成員所收集的資料，進(jìn)行研究討論，對購房中的數(shù)學(xué)有更深的了解，并加強(qiáng)對其學(xué)以致用。3.總結(jié)階段（2010年5月26日-2010年6月1日）將所有數(shù)據(jù)用word文檔進(jìn)行總結(jié)歸納。分析內(nèi)容和記錄，開展交流探討活動(dòng)，撰寫研究報(bào)告。（六）研究結(jié)果使我們對數(shù)列的內(nèi)容進(jìn)行深入了解，加強(qiáng)了對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味。加強(qiáng)對數(shù)列應(yīng)用，推及到日常的生活中。提高我們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來分析和解決生活實(shí)際問題的能力。（七）學(xué)生體會(huì)與收獲通過這次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),我們有了很多收獲。首先,這次活動(dòng)讓我們深刻體會(huì)到“數(shù)學(xué)知識源于實(shí)際生活,又為實(shí)際生活服務(wù)。”數(shù)學(xué)的運(yùn)用很廣,生活中處處有數(shù)學(xué)，日常生活中蘊(yùn)含的許多熟悉,有趣的，新奇的數(shù)學(xué)問題,都可以用我們課本的知識解決。第二,研究性活動(dòng)讓我們學(xué)會(huì)更好的領(lǐng)悟運(yùn)用數(shù)學(xué),知道數(shù)學(xué)不僅限于課堂,要懂得用數(shù)學(xué)眼光,數(shù)字思維,數(shù)學(xué)方法觀察生活,認(rèn)識世界。在生活中多思考運(yùn)用。第三,活動(dòng)提高了我們發(fā)現(xiàn)問題的能力,應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。我們通過活動(dòng)明確了為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),學(xué)數(shù)學(xué)的意義，這更激發(fā)了我們不斷探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。第四,研究活動(dòng)讓學(xué)生選擇感興趣的項(xiàng)目，合作探究，利用信息，借助工具，深入調(diào)查，多方面研究，最后得出研究結(jié)果。這個(gè)活動(dòng)加強(qiáng)了我們的合作精神，也使得我們變得更有耐心?。ò耍┙處煼此?在數(shù)列這一章節(jié)