武漢大學(xué)線性代數(shù)-02 第二章ppt課件

1、1第二章 矩陣及其運算21 矩矩 陣陣979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx97963422644121121112線性方程組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系線性方程組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系3)2121( 1njmianmij,;, 個數(shù)個數(shù)由由定義定義列的數(shù)表，列的數(shù)表，行行排成的排成的nm.列矩陣列矩陣行行稱為稱為nm.mn 簡簡稱稱矩矩陣陣111212122212nnmmmnaaaaaaaaa4 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 記作記作簡記為簡記為 ijm nAa nmA 或或其中數(shù)其中數(shù)ija稱為稱為m nA 的第的第 i 行第

2、行第 j 列的元素列的元素, nmA 或或的的( i, j ) 元素。元素。5 420134081zyx同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。.),()(, )(BABAnjibabBaABAijijijij相等，記作相等，記作與與則稱矩陣則稱矩陣若若是同型矩陣，是同型矩陣，與與設(shè)矩陣設(shè)矩陣21矩陣相等：矩陣相等：823 zyx,6一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣零矩陣零矩陣(Zero Matrix):(Zero Matrix):留意：留意： .0000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的. .元素全為零的矩陣稱為零矩陣，

3、元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作零矩陣記作 或或 . .nm m nO O7行矩陣行矩陣(Row Matrix):列矩陣列矩陣(Column Matrix):只需一行的矩陣只需一行的矩陣 ,21naaaA 稱為行矩陣稱為行矩陣( (或行向量或行向量).)., naaaA21只需一列的矩陣只需一列的矩陣稱為列矩陣稱為列矩陣( (或列向量或列向量) )8方陣方陣(Square Matrix): 302234163是是 3 階方陣階方陣.行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣，的矩陣，稱為稱為 n 階方陣階方陣(或或 n 階矩陣階矩陣), 記作記作An9對角陣對角陣(Diagonal M

4、atrix):主對角線以外的元素都為零的方陣。主對角線以外的元素都為零的方陣。nn 2121),(diag10數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣(Scalar Matrix):nn nkkkEk 主對角元素全為非零常數(shù)主對角元素全為非零常數(shù) k，其他元素全為零，其他元素全為零的方陣的方陣 。11單位矩陣單位矩陣(Identity Matrix):(Identity Matrix):)(jinnnE 111主對角元素全為主對角元素全為1 1，其他元素都為零的方陣。，其他元素都為零的方陣。記作記作: :EEn 或或 jijiji01 12例例3：11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa

5、 xa xya xa xa xyaxaxax 從變量從變量nxxx,21到變量到變量myyy,21的線性變換的線性變換.其中其中ija為常數(shù)為常數(shù).稱為系數(shù)矩陣稱為系數(shù)矩陣nmijaA )(13線性變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系線性變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系. . nnxyxyxy,2211 100010001恒等變換恒等變換單位陣單位陣 nnnxyxyxy 222111 n 21142 矩陣的根本運算矩陣的根本運算一、一、 矩陣的加法矩陣的加法 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個設(shè)有兩個 矩陣矩陣 那么矩陣那么矩陣

6、 A與與B 的和記作的和記作A+B，規(guī)定為，規(guī)定為nm ijijAaBb(),(),定義定義215留意：只需當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，留意：只需當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時， 才干進(jìn)展加法運算才干進(jìn)展加法運算. 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 16負(fù)矩陣：負(fù)矩陣：)( BABA mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 ijija a ),(jiaA 設(shè)設(shè)稱為矩陣稱為矩陣 A的負(fù)矩陣。的負(fù)矩陣。17矩陣加法滿足的運算規(guī)律矩陣加法滿足的運算規(guī)律: .1ABBA 交換律：交換律： . 2CBACBA 結(jié)合律：結(jié)合律：

7、.4OAA 3 AOA18二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA定義定義3191101013213131303) 1(3031333231333030396320 ;1AA ;2AAA .3BABA 數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)律：數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)律：矩陣相加與數(shù)乘矩陣運算合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣運算合起來, ,又稱為矩陣的又稱為矩陣的線性運算線性運算. .設(shè)設(shè) A,B A,B為為m mn n 矩陣，矩陣，l,m l,m 為數(shù)為數(shù) AAA11421定義定義4 4 skjkkijss

8、ijijijibabababac12211),;,(njmi2121 并把此乘積記作并把此乘積記作 C = AB C = AB三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘設(shè)設(shè) 是一個是一個 m ms s 矩陣，矩陣， 是是ijAa() ijBb() 一個一個 s sn n 矩陣，那么規(guī)定矩陣矩陣，那么規(guī)定矩陣 A A與矩陣與矩陣 B BijCc () 的乘積是一個的乘積是一個 m mn n 矩陣矩陣 ，其中，其中221331654321635241321 33 1124563 3 34568101212151823例：例：222263422142 22 1632 8164331200311210142

9、102111241321013212432133322211111111111111111111132132132132125nnnnnnbbbaaa 2121nnnnbababa 2211261. 矩陣乘法不滿足交換律矩陣乘法不滿足交換律.BAAB留意：留意：11111111AB1111A1111B000011111111BA2222設(shè)A 左乘左乘 BB 右乘右乘 A272. 矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法不滿足消去律OAACAB,1111A1111B設(shè)0000C11111111AB000000001111AC0000CB 但留意：留意：28nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxa

10、xaxay2211222212121212111112(,)myyyy12(,)nxxxx利用矩陣的乘法表例如利用矩陣的乘法表例如3的線性變換的線性變換29 mnmnm mm mn nn na aa aa aa aa aa aa aa aa aA A1 11 12 2222221211 112121111yAx30矩陣乘法滿足的運算規(guī)律：矩陣乘法滿足的運算規(guī)律： ; :1BCACAB 結(jié)合律結(jié)合律 , :2ACABCBA 分配律分配律 ;CABAACB BABAAB 3 ;4AEAAE 31假設(shè)假設(shè) A是是 n 階方陣，階方陣， 那么那么 為為A的的 次冪，即次冪，即 kAk 個個kkAAAA

11、 ,klklAAA.klklAA方陣的冪：方陣的冪：并且并且, 時時但當(dāng)?shù)?dāng)BAAB .BAABkkk 32方陣的多項式：方陣的多項式：0111)(axaxaxaxkkkk EaAaAaAaAkkkk0111)( 1011A52)(3xxx 10015101121011)(3A 401433例例. 設(shè)設(shè)332313322212312111bababababababababaA321321332313322212312111bbbaaabababababababababa求求nAnn34321321321321321321bbbaaabbbaaabbbaaa3213211332211)(bbba

12、aabababan35四四. . 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義: : 把矩陣把矩陣 A A 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做新矩陣，叫做 A A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . . A例例: :,854321A;835241A36轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運算規(guī)律：轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運算規(guī)律：;)()1(TTAA;)()2(TTTBABA;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB37例例5 5：知：知,102324171,231102 BAT)(AB求求38解解1： 102324171231102AB,1013173140 .1031314170T AB39解解2 2

13、：TTTABAB 213012131027241.1031314170 40對稱陣的元素以主對角線為對稱軸。對稱陣的元素以主對角線為對稱軸。對稱陣對稱陣: 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，假設(shè)滿足階方陣，假設(shè)滿足 ，即，即那么那么 A 稱為對稱陣稱為對稱陣.njiaai jj i, 2 , 1,AA T304021411A41反對稱陣反對稱陣: 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，假設(shè)滿足階方陣，假設(shè)滿足 ，即，即那么那么 稱稱 A 為反對稱陣為反對稱陣.njiaaijj i, 2 , 1,AAT024201410A顯然顯然, 反對稱陣的主對角元都是零。反對稱陣的主對角元都是零。42例例 。與反與反對對反

14、反對對階矩陣，證明階矩陣，證明是是設(shè)設(shè)對稱矩陣之和稱矩陣可表示為對稱矩陣是稱矩陣是AAAAAnA2,1:TT 注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣31112111110000101031111112143五、方陣的行列式五、方陣的行列式定義：由定義：由 n n 階方陣階方陣 A A 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式， 叫做方陣叫做方陣 A A 的行列式，記作的行列式，記作|A|A|或或 det A det A110101321: A例例110101321A則則244運算規(guī)律：運算規(guī)律： ;1TAA ;2AAn BAAB 3.ABBA 注：雖然注：雖然

15、,ABBA 但但45定義：定義：行列式行列式 的各個元素的代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣稱為矩陣 A A 的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .T)(j iA46 110101321 12 11 1 332313322212312111AAAAAAAAA11 42 47jiAAA 故故jiA EA ninjijijAaAaAaAA 2211同理同理EA性質(zhì)：性質(zhì)：EAAAAA,jiaA 設(shè)設(shè),jibAA記記jninjijijiAaAaAab 2211則則,jiA 483 逆矩陣逆矩陣定義：定義：設(shè)

16、設(shè) A是是 n 階矩陣，假設(shè)存在階矩陣，假設(shè)存在 n 階矩陣階矩陣 B 使使AB = BA = E那么稱那么稱 A是是 可逆的，并稱可逆的，并稱 B 是是 A的逆矩陣，的逆矩陣， 111121,1111BA49CCEABCBCAEBBECAACEBAABACB )()(從而從而，的逆矩陣，則的逆矩陣，則都是都是、設(shè)設(shè)假設(shè)假設(shè) A是可逆矩陣，那么是可逆矩陣，那么 A的逆矩陣是獨一的逆矩陣是獨一的。的。記記 A的逆矩陣為的逆矩陣為1A50定理定理1:證明：證明：當(dāng)當(dāng) A A可逆時可逆時, , AAA|11 A可逆可逆, 存在存在B, 使得使得 AB = E 于是于是 |A|B| = |E|=1,

17、即即|A| 0 51假設(shè)假設(shè)|A|A| 0, 0, 那么稱那么稱 A A為奇特矩陣為奇特矩陣 ( (退化矩陣退化矩陣) ) 假設(shè)假設(shè)|A| 0, |A| 0, 那么稱那么稱 A A為非奇特矩陣為非奇特矩陣 ( (非退化非退化矩陣矩陣) ) |A| 0,|A| 0, AAAAEAAAAAAEAAAAA|1)|1()|1(,1并且并且可逆，可逆，于是于是故故由由2022-1-2952推論：推論：ABBABAEABBA 11，都可逆，且都可逆，且和和則則，為同階方陣，若為同階方陣，若、設(shè)設(shè)1111)()(,01 BABAABABAABAABAABEAB可逆，且可逆，且同理，同理，且且可逆可逆即即，故

18、，故，則，則若若證明：證明：53方陣方陣 A 的逆矩陣的求法的逆矩陣的求法: AAA1)1(1利用公式利用公式EABB 使得使得尋找矩陣尋找矩陣,)2(54時，有時，有當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)0, bcadAdcbaA1111111121 1 acbdbcadAAA111例如例如, ,55 AA|11101013211 21141121121例例56112.3AA 設(shè)設(shè)求求例例57123因因11213111 1123 故故1121358可逆矩陣的運算規(guī)律可逆矩陣的運算規(guī)律: :且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,)3(ABBA.)()1(111AAAA 且且也可逆，也可逆，則則可逆，

19、可逆，若若111)(, 0)2( AAAA 且且也可逆，也可逆，則則數(shù)數(shù)可逆，可逆，若若 1)(AB1 B1 A.)()()4(T11TT AAAA且且也可逆，也可逆，則則可逆，可逆，若若59注：注：111)( BABA11110020002200110011001 )(,CACACACABABACBA但但可逆，可逆，可逆，可逆，不可逆不可逆可逆，但可逆，但，例如：例如：60 為整數(shù)為整數(shù) ,AAAAA :, 0 規(guī)定規(guī)定當(dāng)當(dāng) A,0EA 為正整數(shù)為正整數(shù)kAAkk,)(1 61,130231,3512,343122321 CBA設(shè)設(shè)例：例：.CAXBX 使?jié)M足使?jié)M足求矩陣求矩陣62解解, 0

20、2343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A,25131 B63CAXB 由由1111 CBAAXBBA.11 CBAXE64.41041012 于是于是11 CBAX 25131302311112532323165; ;4 41 12 23 34 41 15 51 1 X X例：解方程例：解方程66 412341514151415111X得得 41231154.642817 解：解： 4 41 12 23 34 41 15 51 1X X方程兩端左乘矩陣方程兩端左乘矩陣,41511 412341511X67例：設(shè)例：設(shè)解方程解方程2AX

21、AX310220004A 解：解：2AXAX22()AXXAAE XA12()XAEA6841031012102202001004510200002 1110310240220002004X 69, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例：例：1 A 11.2AAE 所以所以 A可逆，且可逆，且證：證：70022 EAA又由又由 2340AEAEE 1234AEAEE 11234AEAE 12 EA所以所以 可逆，可逆，2AE 71例：例：bAx1 bAA |1設(shè)設(shè)

22、Ax = b , A是是 n 階可逆陣階可逆陣, T21),(nbbbb nnnnnnnbbbAAAAAAAAAA21212221212111|1 nnnnnnnnnAbAbAbAbAbAbAbAbAbA221122221211212111|1724 矩陣的分塊法矩陣的分塊法 矩陣的分塊法是討論矩陣時一種有效的矩陣的分塊法是討論矩陣時一種有效的手段。手段。 詳細(xì)做法是：將矩陣詳細(xì)做法是：將矩陣 A 用假設(shè)干條縱線和用假設(shè)干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為為 A 的一個子塊，以子塊為元素的矩陣稱的一個子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣為分塊矩陣

23、.73例：例： A 001a1Aba1100002Ab1103AA1a1A002A10010a3Abb11004A 74,21 AEOA AAaa0100001001bb11010a101a100bb100),(4321 75 有有相同的分塊法相同的分塊法并采用并采用列數(shù)相同列數(shù)相同的行數(shù)相同的行數(shù)相同與與設(shè)矩陣設(shè)矩陣,1BA則則列數(shù)相同列數(shù)相同的行數(shù)相同的行數(shù)相同與與其中其中,ijijBA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,分塊矩陣的運算規(guī)那么分塊矩陣的運算規(guī)那么76.11111111 srsrssrrBABABABABA77 那么那么, ,為數(shù)為數(shù), ,設(shè)設(shè)2 21 1

24、1 11111 srsrs sr rA AA AA AA AA A.1111 srsrAAAAA 78 分塊成分塊成矩陣矩陣為為矩陣矩陣為為設(shè)設(shè),3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那么那么, ,的行數(shù)的行數(shù), , , ,的列數(shù)分別等于的列數(shù)分別等于, , , ,其中其中2 21 12 21 1j jt tj jj jt ti ii ii iB BB BB BA AA AA A79 srsrCCCCAB1111 11221, ;1,.ijijijitt jCA BABA Bis jr其其中中80 ,411 rsAAA設(shè)設(shè)rA11sATsA1TrA1.11 TsrTTAAA則則81 即即, ,其余子塊都為零矩陣其余子塊都為零矩陣, ,上有方的非零子塊上有方的非零子