計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)數(shù)值部分輔導(dǎo)(3)

1、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下)數(shù)值部分輔導(dǎo)(3)中央電大 馮泰第11章 函數(shù)插值與最小二乘擬合一、重點(diǎn)內(nèi)容1. 函數(shù)插值已知函數(shù)f(x)的n個(gè)函數(shù)值yk=f(xk), k=0,1,2,n。構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式P(x)，使得P(xk)=yk。P(x)就是插值多項(xiàng)式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點(diǎn)。誤差R(x)=f (x)P(x)。2. 拉格朗日多項(xiàng)式用n次多項(xiàng)式 Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln=其中基函數(shù) ，當(dāng)n=1時(shí)，線性插值 P1(x)=yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x)其中基函數(shù) ,。當(dāng)n=2時(shí)，得到二次多項(xiàng)式，就是二次插值。拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為其中注意：過n+1個(gè)互異

2、點(diǎn)，所得的多項(xiàng)式應(yīng)該是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式。3. 均差與牛頓插值多項(xiàng)式函數(shù)值與自變量的差商就是均差，一階均差 (或記作f x0,x1); 二階均差 (或記作f x0,x1,x2)均差有兩條常用性質(zhì)：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)。用均差為系數(shù)構(gòu)造多項(xiàng)式，就是牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+ +f(x0,x1,x2,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1) 牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 Rn(x)=f(x)Nn(x) =f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx

3、1)(xx2)(xxn1)(xxn)4. 分段線性插值已知n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x,x1,xn,構(gòu)造一個(gè)分段一次的多項(xiàng)式P(x)，且滿足：(1)P(x)在a ,b上連續(xù); (2) P(xk)=yk(k=0,1,2,n); (3)P(x)在xk ,xk+1上是線性函數(shù)。分段線性插值函數(shù) 其中l(wèi)k(x)(k=0,1,2,n)是分段線性插值基函數(shù). li(x)= ln(x)=5. 三次樣條插值函數(shù) 其中S²(xk)=mk(k=0,1,2,n), hk=xk+1xk(k=0,1,2,n1),m0,m1,mn滿足的方程組是 (*)其中： , (k=1,2,n1) (1) 當(dāng)已知S¢(x0)

4、=y¢0 ,S¢(xn)=¢y¢n時(shí)，(*)式中m0=1, ln=1, .(2) 當(dāng)已知S²(x0)=y²0=m0, S²(xn)=y²n=mn時(shí)，(*)式化為 6. 最小二乘法用j(x)擬合數(shù)據(jù)(xk,yk) (k=1,2,n)，使得誤差的平方和 為最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法。(1) 直線擬合 若，a0,a1滿足法方程組 (2) 二次多項(xiàng)式擬合 若滿足法方程組 二、實(shí)例例1 已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式Pn (x)，并計(jì)算P(1)。只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多

5、項(xiàng)式不超過3次解 先構(gòu)造基函數(shù) 所求三次多項(xiàng)式為P3(x)= P3(1)例2 已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第1，2列。計(jì)算它的各階均差。解 依據(jù)均差計(jì)算公式，結(jié)果列表中。 kXkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差 00.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.168 000.280 00 30.800.888 111.275 730.358 930.197 33 40.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34計(jì)算公式為一階均差 二階均差 三階均差 四階均差 例3 設(shè)是n+1個(gè)互異的插

6、值節(jié)點(diǎn)，是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：(1) (2) 證明 (1) Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln= 當(dāng)f(x)º1時(shí)，1由于，故有(2) 對(duì)于f(x)=xm,m=0,1,2,n，對(duì)固定xm(0£m£n),作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有當(dāng)n>m1時(shí)，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以 注意：對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,利用上結(jié)果，有 = =可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例4 已知函數(shù)ex的下列數(shù)據(jù)用分段線性插值法求x=0.2的近似x0.100.150.25

7、0.30值。 ex0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818 解 用分段線性插值，先求基函數(shù)。 所求分段線性插值函數(shù)為 所以，e0.2=P(0.2)=0.819 07×0.2+0.983 569=0.819 755例5 已知數(shù)據(jù)如表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。 解 計(jì)算列入表中。n=5。a0,a1滿足的法方程組是 解得a0=2.45, a1=1.25。所求擬合直線方程為 y =2.45+1.25xkxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5例6選擇填空題1. 設(shè)y= f(x),

8、 只要x0,x1,x2是互不相同的3個(gè)值，那么滿足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是 (就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因?yàn)檫^3個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式是不超過2次的。設(shè)P(x)=a2x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定數(shù)。P(xk)=yk,即這是關(guān)于a2,a1,a0的線性方程組，它的解唯一，因?yàn)橄禂?shù)行列式所以，不超過2次的多項(xiàng)式是唯一的。2.通過四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式P(x)，只要滿足( ), 則P(x)是不超過一次多項(xiàng)式。(A) 初始值y0=0 (B) 一階均差為0 (C) 二階均差為0 (D)三階均差為0答案：(C)解答：因?yàn)槎A均差為0，那么牛

9、頓插值多項(xiàng)式為N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超過一次的多項(xiàng)式。3. 拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) (C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。見教材有關(guān)公式。4. 數(shù)據(jù)擬合的直線方程為y=a0+a1x，如果記那么系數(shù)a0,a1滿足的方程組是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(B)解答：因?yàn)榉ǚ匠探M為由第1個(gè)方程得到，將其代入第2個(gè)方程得到整理得 故(B)正確

10、。三、練習(xí)題1.已知函數(shù)y=f(x), 過點(diǎn)(2,5),(5,9),那么f(x)的線性插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為 。2. 過6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)l4(x) 。3. 已知多項(xiàng)式P(x)，過點(diǎn)(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3階均差為常數(shù)1，一階，二階均差均不為0，那么P(x)是( ) (A)二次多項(xiàng)式 (B)不超過二次的多項(xiàng)式 (C) 3次多項(xiàng)式 (D) 四次多項(xiàng)式4.已知y=f(x)的均差, .那么f(x4,x2,x0)=( )(A) 5, (B) 9 (C)14 (D) 85. 求數(shù)據(jù)擬合的直線方程y=a0+a1x的系數(shù)a0,a

11、1是使 最小。 6. 求過這三個(gè)點(diǎn) (0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。7. 構(gòu)造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項(xiàng)式，并求f(0.596)的近似值。8. 設(shè)l0(x)是以n+1個(gè)互異點(diǎn)x0,x1,x2,xn 為節(jié)點(diǎn)的格朗日插值基函數(shù) 試證明： 9. 已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。 10已知數(shù)據(jù)對(duì)(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),x123(12,6.4), (13,5.9)。試用二次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。y 四、練習(xí)題答案y¢111. 2. 3. C 4. B 5. 6. x+17. 給定五對(duì)點(diǎn)，牛頓

12、多項(xiàng)式是不超過4次的多項(xiàng)式。N4(x)=0.410 75+1.116 00(x0.55)+0.280 00(x0.40)(x0.55) +0.197 33(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.031 34(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)將x=0.596代入牛頓多項(xiàng)式N4(x)中，得到：f(0.596)»N(0.596)=0.631 958.提示：求l0(x)的牛頓插值多項(xiàng)式。9. 10. y=0.145x2+3.324x12.794附錄：教材中練習(xí)和習(xí)題答案練習(xí)11.1 (A) 1. 2. 3. P2(x)= 4. 4.7943(0.6x)+5.646

13、4(x0.5) sin0.57891»0.54667 5. (B)1. 節(jié)點(diǎn); 插值多項(xiàng)式; 被插值函數(shù) 2. C. 3. B 4. 5.B練習(xí)11.2 (A)1. f(x0,x1)=-5, f(x1,x2)=-1,f(x2,x3)=9; f(x0,x1,x2)=2,f(x1,x2,x3)=5,f(x0,x1,x2,x3)=12. f(x)=x3+x2+x+1 3. 39.0625(用牛頓插值多項(xiàng)式，)4. Dy0=0.02119,Dy1=0.02020,Dy2=0.01931,Dy3=0.01848,Dy4=0.01773, D2y0=-0.00099,D2y1=-0.00089,

14、D2y2=-0.00083,D2y3=-0.00075, D3y0=0.00010,D3y1=0.00006,D3y2=0.00008, D4y0=-0.00004,D4y1=0.00002, D5y0=0.00006 5. N4(x)=(x3-4x2+3)- (B)1. 2. B 3.A 4.D 5. 6. C練習(xí)11.3 (A)1. 2.666 67 2. 略 3. 4. (B)1.C 2.見教材第11章公式(3.1) 3.A 4. S(x)在a,b上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)S(xj)=yj (j=0,1,2,n) 在每個(gè)子區(qū)間xk,xk+1(k=0,1,2,n-1)上，S(x)是3次的多項(xiàng)式. 5.B練習(xí)11.4 （A）1. y=-1.43+6.43p 2. S=5.34+0.30t 3. y=5.0454.043x1.009x2 4.y=11.6789e(-1.1109