第15章 電路方程的矩陣形式

1、工程實(shí)際電路規(guī)模日益增大，結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，為便于計(jì)算機(jī)輔助分析及求解，要求有一種方法實(shí)現(xiàn)對(duì)電路方程的建立的規(guī)范方法，由于計(jì)算機(jī)運(yùn)算采用矩陣形式是有效手段，故希望方程能用矩陣表示。本章就是介紹電路方程的矩陣形式及其求解方法的基礎(chǔ)知識(shí)和入門理論。本章重點(diǎn)1. 關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣的概念2. 回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程和割集電壓方程的矩陣形式1. 割集概念、基本割集概念、獨(dú)立割集概念。2. 樹與割集的關(guān)系。15.1 割集割集Q連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)：l 把Q中全部支路移去，圖分成二個(gè)分離部分。l 任意放回Q 中一條支路，仍構(gòu)成連通圖?；靖罴▎螛渲Ц罴褐缓?/p>

2、一個(gè)樹枝的割集。割集數(shù)n-1。如右圖虛線構(gòu)成基本割集矩陣。注意：l 連支集合不能構(gòu)成割集。l 屬于同一割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。當(dāng)一個(gè)割集的所有支路都連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，則割集的KCL方程變?yōu)榻Y(jié)點(diǎn)上的KCL方程 。l 對(duì)應(yīng)一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集稱為獨(dú)立割集 ，基本割集是獨(dú)立割集，但獨(dú)立割集不一定是單樹支割集。（能構(gòu)成KCL方程組） 15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣1. 圖的矩陣表示（利用電路拓?fù)鋱D各節(jié)點(diǎn)、支路之間的關(guān)聯(lián)性描述矩陣的方法。）圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：1. 介紹關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣的定義方法。2

3、. 三個(gè)矩陣電路上的應(yīng)用。結(jié)點(diǎn)支路：關(guān)聯(lián)矩陣回路支路：回路矩陣割集支路：割集矩陣2. 關(guān)聯(lián)矩陣A（描述結(jié)點(diǎn)與支路之間關(guān)聯(lián)性質(zhì)的一種數(shù)學(xué)表示方法。）用矩陣形式描述結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。n個(gè)結(jié)點(diǎn)b條支路的圖用n´b的矩陣描述：關(guān)聯(lián)含義：一條支路與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，則稱該支路與這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是關(guān)聯(lián)的。注意：每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣Aa的每一個(gè)元素定義為：l ajk=1 支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點(diǎn)；l ajk= -1 支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點(diǎn)；l ajk =0 支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 無關(guān)?？梢钥吹剑簄 每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，

4、Aa的每一列元素之和為零。n 矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。降階關(guān)聯(lián)矩陣AA的某些列只具有一個(gè)+1或一個(gè)1，這樣的列對(duì)應(yīng)與劃去結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。關(guān)聯(lián)矩陣A的作用l 用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程；設(shè)，以結(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)構(gòu)成n-1個(gè)獨(dú)立方程，矩陣形式的KCL: A i = 0l 用矩陣AT表示矩陣形式的KVL方程。設(shè)，則：2. 回路矩陣B獨(dú)立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣B的每一個(gè)元素定義為：l 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；l -1 支路 j 在回路

5、 i中，且方向相反；l 支路 j 不在回路 i 中。注意：給定B可以畫出對(duì)應(yīng)的有向圖?；净芈肪仃嘊f獨(dú)立回路對(duì)應(yīng)一個(gè)樹的單連枝回路得基本回路矩陣 Bf 規(guī)定：連支電流方向?yàn)榛芈冯娏鞣较?；支路排列順序?yàn)橄冗B支后樹支，回路順序與連支順序一致。 回路矩陣B的作用l 用回路矩陣B表示矩陣形式的KVL方程；設(shè) （1-3為連支，4-6為樹支）（l個(gè)獨(dú)立KVL方程）矩陣形式的KVL： B u = 0注意：連支電壓可以用樹支電壓表示。 Bf u = 0 ul+Btut=0 ul= - Btutl 用回路矩陣BT表示矩陣形式的KCL方程設(shè) 獨(dú)立回路電流矩陣形式的KCL： B T il = i 注意：樹支電流可

6、以用連支電流表出。 3. 基本割集矩陣Qf割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。注意：每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)基本割集，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。矩陣Q的每一個(gè)元素定義為：l 支路 j 在割集 i 中，且與割集方向一致；l -1 支路 j 在割集 i中，且與割集方向相反；l 支路 j 不在割集 i 中。規(guī)定：基本割集矩陣Qf 割集方向?yàn)闃渲Х较颍?支路排列順序先樹支后連支； 割集順序與樹支次序一致。例：選 1、2、3支路為樹，則：Q1: 1, 4, 5 Q2: 2, 5, 6 Q3: 3, 4 , 6基本割集矩陣 Qf 的作用l 用基本割集矩陣 Qf 表示矩陣形式的KCL方程。設(shè)，

7、構(gòu)成n-1個(gè)獨(dú)立KCL方程矩陣形式的KCL： Qf i =0l 用QfT表示矩陣形式的KVL方程設(shè)樹枝電壓（或基本割集電壓）：ut= u1 u2 u3 T矩陣形式的KVL： Qf Tut =u注意：連支電壓可以用樹支電壓表示。 小結(jié)：15.3* 矩陣A、Bf 、Qf 之間的關(guān)系三個(gè)矩陣從不同角度表示同一網(wǎng)絡(luò)的連接性質(zhì)，它們之間自然存在著一定的關(guān)系。1. A與B 之間的關(guān)系對(duì)同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足： 2. Bf 與Qf 之間的關(guān)系對(duì)同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足： 對(duì)同一有向圖，任選一樹，按先樹枝后連枝順序有： 3. A與Qf 之間的關(guān)系對(duì)同一有向圖，任選一樹，按先樹枝后連枝

8、順序?qū)懗鼍仃嚕?， 15.4 回路電流方程的矩陣形式1. 復(fù)合支路反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)支路：復(fù)合支路特點(diǎn)：l 支路的獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源的方向與支路電壓、電流的方向相反； l 支路電壓與支路電流的方向關(guān)聯(lián)； l 支路的阻抗（或?qū)Ъ{）只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。注意：復(fù)合支路定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。（如上、右圖例，講解）2. 支路阻抗矩陣形式l 電路中電感之間無耦合如有b條支路，則有：設(shè)（支路電流列向量）（支路電壓列向量）（電壓源的電壓列向量） （電流源的電流列向量）Z

9、=diagZ1 Z2Zb （阻抗矩陣，b´b階對(duì)角陣）整個(gè)電路的支路電壓、電流關(guān)系矩陣：l 電路中電感之間有耦合 （Z不是對(duì)角陣）如1支路至g支路間均有互感l(wèi) 電路中有受控電壓源Z的非主對(duì)角元素將有與受控電壓源的控制系數(shù)有關(guān)的元素。例：寫出圖示電路的阻抗矩陣3.回路電流方程的矩陣形式（回路電流il 為(b-n+1)´1階）支路方程： （回路阻抗陣，主對(duì)角線元素為自阻抗，其余元素為互阻抗。） （回路電壓源向量） （回路矩陣方程）小結(jié)：回路分析法的步驟：l 從已知網(wǎng)絡(luò)，寫出l 求出，列出回路方程l 求出，由KCL解出，根據(jù)支路方程解出15.5 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式1. 支路導(dǎo)

10、納矩陣形式l 電路中不含互感和受控源Y為b´b階對(duì)角陣l 電路中電感之間有耦合l 電路中有受控電源則：，則：考慮b個(gè)支路時(shí)：若若：2. 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式支路方程：KCL： KVL： 為結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣，為獨(dú)立電源引起的流入結(jié)點(diǎn)的電流列向量。 小結(jié)：結(jié)點(diǎn)分析法的步驟第一步：把電路抽象為有向圖第二步：形成矩陣A第三步：形成矩陣Y第四步：形成US、ISUS= -5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T第五步：用矩陣乘法求得結(jié)點(diǎn)方程，代入*15.6 割集電壓方程的矩陣形式割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨(dú)立變量的分析法稱為割集電壓法。

11、 用導(dǎo)納表示的支路方程： （以樹支電壓為未知量）結(jié)合以上方程有：割集導(dǎo)納矩陣，主對(duì)角線元素為相應(yīng)割集各支路的導(dǎo)納之和，總為正；其余元素為相應(yīng)兩割集之間共有支路導(dǎo)納之和。 （割集電流源向量） （割集矩陣方程）注意：割集電壓法是結(jié)點(diǎn)電壓法的推廣，或者說結(jié)點(diǎn)電壓法是割集電壓法的一個(gè)特例。若選擇一組獨(dú)立割集，使每一割集都由匯集在一個(gè)結(jié)點(diǎn)上的支路構(gòu)成時(shí)，割集電壓法便成為結(jié)點(diǎn)電壓法。小結(jié)：割集分析法的步驟：l 選定一個(gè)樹，寫出l 計(jì)算，列出割集方程l 求出，由KVL解出，根據(jù)支路方程解出用拉氏變換表示時(shí)，有：，代入割集方程：*15.7 列表法1. 矩陣分析法的局限性l 回路電流法不允許存在無伴電流源支路，且規(guī)定的復(fù)合支路不允許存在受控電流源；l 結(jié)點(diǎn)電壓法和割集電壓法不允許存在無伴電壓源支路，且