第三講 導(dǎo)數(shù)(4,中值定理與不等式、方程的根 )

1、第三講 導(dǎo) 數(shù)（4，中值定理與不等式、方程的根 ）1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)除僅有的一點(diǎn)外都可導(dǎo)。證明至少存在一點(diǎn)，使得。證明：設(shè)在點(diǎn)處不可導(dǎo)，分別在和上運(yùn)用拉格朗日中值定理得存在，使，存在，使，兩式相加得，則其中，。2設(shè)為常數(shù)，方程在上恰有一根，求的范圍。（習(xí)題三之11）解：作，（1）當(dāng)，因，則在上必有零點(diǎn)；又，在上單調(diào)增加，故僅有一個零點(diǎn)。即方程在上恰有一根。（2）當(dāng)，方程在上恰有一根。 （3）當(dāng)，令，解得在上的唯一駐點(diǎn)，因則為的最大值。即，有。1）若，又，這時由零點(diǎn)定理知，在區(qū)間和內(nèi)至少各有一個零點(diǎn)，則方程在上至少有兩個根。2）若，則在上均有，則方程在上沒有根。3）若，即，這時在上僅在處，當(dāng)，方

2、程在上恰有一根。綜上所述，的取值范圍為。3設(shè)，問在區(qū)間內(nèi)有幾個實根，請證明你的結(jié)論。解：，因為，都是的三重根，故因為，由定理，存在，使，又因為，則存在，使得，再因為，故存在，使得，即在區(qū)間內(nèi)至少有3個實根；另一方面，是3次代數(shù)方程，至多有3個根，故在區(qū)間內(nèi)有3個實根。4設(shè)在上可微，且，且證明：在內(nèi)至少有兩個根。證明：因為，不妨設(shè)，由極限的局部保號性，存在，使得，因為，則，同理存在，使得；，由零點(diǎn)定理，存在，使得；在和上分別運(yùn)用Rolle定理，存在，使得，即方程在內(nèi)至少有兩個根。5證明方程在內(nèi)有且僅有兩個實根。證明：，則，因此，是惟一駐點(diǎn)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，最大值；又因為，故在內(nèi)有且僅

3、有一個零點(diǎn)；故在內(nèi)也有且僅有一個零點(diǎn)；因此方程在內(nèi)有且僅有兩個實根。6若，及常數(shù)，求證。證明（方法一：運(yùn)用Lagrange中值定理）（將原不等式變形為后就不難發(fā)現(xiàn)思路）作函數(shù)，在區(qū)間上運(yùn)用Lagrange中值定理，存在一點(diǎn)，使得，又因為，所以，故。（方法二：常規(guī)方法，兩個變量令其一暫時不變）對任意，令（注意這里變量的起點(diǎn)在而不是在），。因為且，故，所以當(dāng)時單調(diào)遞減，因為，故，即得不等式；對任意，令，。因為且，故，所以當(dāng)時單調(diào)遞減，因為，故，即得不等式；綜上有當(dāng)，及常數(shù)時成立。7設(shè)，且，、為實常數(shù)，求證：。證明：，且；在區(qū)間或上運(yùn)用Lagrange定理：，其中在與之間，于是，則，（注：這里原來的等號改成小于等于號）上式兩邊令，這時，故。8設(shè)，二階可導(dǎo)，當(dāng)時，且，求證當(dāng)時，。證明：令，（），所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，因此，于是當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，因此，即。9若，試證：對任意，均有。（由于本題中