系統(tǒng)工程導論第3講

1、第三講 自然物理系統(tǒng)及其復雜性 系統(tǒng)的層次來看，自然物理系統(tǒng)處于系統(tǒng)底層，可以看作是由非智能的機械物體構成的，滿足特定的自然物理規(guī)律，其復雜性的根源在“非線性”。在系統(tǒng)科學中，迄今真正成熟的主要是線性系統(tǒng)理論。系統(tǒng)科學重點研究的是非線性系統(tǒng)，是處理非線性問題的一種方法論。同時，相比于靜態(tài)系統(tǒng)，動態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)科學討論的重點對象。一、線性系統(tǒng)1 線性特性和線性系統(tǒng)一般地說，能夠用線性數(shù)學模型描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的基本特性，即輸出響應特性、狀態(tài)響應特性、狀態(tài)轉移特性等，都滿足疊加原理。具體講，令f代表某種數(shù)學操作，如關系、變換、運算、方程或其他，x為數(shù)學操作的對象，f(x)表示對x施行

2、操作f的結果。若f(x)滿足以下兩個條件 (1) 加和性：f(x1+x2)f(x1)+f(x2) (2) 齊次性：f(kx)kf(x)即f(ax1+bx2z)af(x1)+bf(x2)，就稱操作f為線性的，滿足疊加原理。2、線性系統(tǒng)的動態(tài)行為描述描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程。如果狀態(tài)變量只是時間的函數(shù)，與空間分布無關，則稱集中參數(shù)系統(tǒng)，用常微分方程描述；狀態(tài)變量同時依賴于時間和空間分布的是分布參數(shù)系統(tǒng)，須用偏微分方程描述。線性連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為線性常微分方程，可以使用一元高階方程，也可以使用多元一階聯(lián)立方程組，這兩種形式是等價的。一般形式如下：記系數(shù)矩陣，狀態(tài)向量 則上述動態(tài)方程

3、可表示為： A不隨時間變化常系數(shù)方程時不變線性系統(tǒng)A隨時間變化 變系數(shù)方程時變線性系統(tǒng)A包含了線性系統(tǒng)一切行為特性的信息。3、線性動態(tài)系統(tǒng)的求解分析線性系統(tǒng)的常用方法是求它的通解：其中，為特征方程的特征根； Vk是一組線性無關的特征向量； Ck是由初值決定的常系數(shù)。二、非線性系統(tǒng)1、非線性特性和非線性系統(tǒng) 如果數(shù)學操作f不滿足加和性和齊次性要求，則稱f為非線性的，如非線性關系、非線性變換、非線性變換、非線性運算、非線性函數(shù)、非線性范函、非線性方程等。用非線性數(shù)學模型描述的系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。其基本特征是不滿足疊加原理，即系統(tǒng)的輸出響應特性、狀態(tài)響應特性、狀態(tài)轉移特性中至少有一個不滿足疊加原理

4、。更一般地說，一個系統(tǒng)若不能用線性模型描述，不論是否給出數(shù)學模型，實質上都是非線性系統(tǒng)。2、非線性系統(tǒng)的動態(tài)行為描述非線性連續(xù)系統(tǒng)的動力學方程一般形式化為以下方程組：其中f1,fn中至少有一個非線性函數(shù)。記C=(c1,c2,cm)為控制向量，F(xiàn)=(f1,f2,fn), 則上述動態(tài)方程可表示為： 上述方程通常稱為系統(tǒng)的演化方程或發(fā)展方程。對于千差萬別、形態(tài)各異的非線性現(xiàn)象，可作如下粗略分類：(1) 弱非線性和強非線性。強弱是相對的，沒有精確的分界線。粗略地說，我們把可以忽略不計的非線性看作弱的，把不可忽略的非線性看作強的。弱非線性可以看作是對線性關系的偏離，允許忽略這種偏離，采用線性假設，用線性

5、模型描述系統(tǒng)。(2) 非本質非線性和本質非線性。如連續(xù)、光滑變化的非線性是非本質的，不連續(xù)、非光滑的非線性是本質的。本質非線性必定是強非線性，強非線性未必是本質非線性。(3) 平庸非線性和非平庸非線性。能產生奇異行為的是非平庸非線性，否則為平庸非線性。按照演化方程對系統(tǒng)的分類，除了線性與非線性系統(tǒng)、集中參數(shù)與分布參數(shù)系統(tǒng)外，還有如下兩種分類1） 自由系統(tǒng)與強迫系統(tǒng)自由系統(tǒng)：演化方程只是狀態(tài)變量的導數(shù)對狀態(tài)變量的依賴關系，沒有外作用項；強迫系統(tǒng)：演化方程包含外來作用項，如以下方程描述的系統(tǒng)： 如果令，則上述強迫系統(tǒng)可以轉化為n+1維自由系統(tǒng)來處理。2） 自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng) 自治系統(tǒng)：演化方程中

6、不明顯包含時間t； 非自治系統(tǒng)：演化方程中明顯包含時間t，如以下方程描述的系統(tǒng)： 非自治系統(tǒng)的特例：變系數(shù)系統(tǒng)和含時間函數(shù)的強迫系統(tǒng)。如果將時間t作為新的狀態(tài)變量xn+1, 則非自治系統(tǒng)可以變?yōu)閚+1維自治系統(tǒng)。3、非線性動態(tài)系統(tǒng)的求解1）解析方法只有在一些特殊情況下，非線性系統(tǒng)才能獲得解析解。一般情況下，得不到解析解。2）幾何方法主要用于分析系統(tǒng)的定性性質。其特點是：避開解方程，從方程的結構和參數(shù)中直接提取系統(tǒng)的定性信息。龐加萊開辟的微分方程定性理論及其后續(xù)發(fā)展為此提供了強有力的數(shù)學工具。3）數(shù)值計算方法利用演化方程定量研究非線性系統(tǒng)普遍有效的方法是使用計算機進行數(shù)值計算，求得方程的近似解。

7、 4）近似求解對于弱非線性，通常按照“非線性是對線性的偏離”的觀點，用線性化方法研究系統(tǒng)的局部行為特性是非常有效的。例如，對于二維系統(tǒng)：不失一般性，設f1、f2在(x10,x20)附近連續(xù)可微，則上式可用泰勞級數(shù)公式展開為 =只要非線性系統(tǒng)在某一點附近滿足連續(xù)性、光滑性要求，就可以在該點附近看作弱非線性系統(tǒng)，將演化方程展開為線性模型，利用線性系統(tǒng)理論來分析，以期獲得對非線性系統(tǒng)局部行為特性的近似描述，這種方法叫做非線性系統(tǒng)的局部線性化處理。如果單純靠線性模型尚不能滿足要求，還可以把非線性項作為擾動因素，對線性化分析結果加以修正，這叫做線性化加微擾方法，是線性科學對付非線性的主要手段。但是，線性

8、化加微擾的方法本質上不是非線性系統(tǒng)理論的方法，而是線性系統(tǒng)理論的方法。它只限于處理非本質的非線性問題，不能用于處理有間斷點、不光滑點的非線性問題。即使非本質的非線性，也只適用于分析局部特性，不能用于大范圍問題。系統(tǒng)觀點和方法的優(yōu)勢是處理大范圍的、全局的問題，線性化處理不能真正體現(xiàn)這種優(yōu)點。線性化處理的要害是忽略非線性因素，而非線性因素正是系統(tǒng)產生多樣性、奇異性、復雜性的根源，線性化處理恰好簡化掉了這個根源，因而不是處理非線性問題的根本方法。非線性系統(tǒng)理論研究的基本對象是不能線性化的問題，即系統(tǒng)在大范圍內的行為，特別是本質非線性現(xiàn)象。三、連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的若干復雜特征狀態(tài)量不隨時間而改變的系統(tǒng)，稱為

9、靜態(tài)系統(tǒng)或靜力學系統(tǒng)。描述靜態(tài)系統(tǒng)主要關心的，一是輸入量與輸出量的對應關系Y=(U,C)，二是性能指標J與輸入量U的對應關系 J=(U,C)。靜態(tài)系統(tǒng)概念基于這樣一個假設：系統(tǒng)狀態(tài)的轉移可以在瞬間完成。狀態(tài)隨時間而改變的系統(tǒng)，稱為動態(tài)系統(tǒng)或動力學系統(tǒng)。一切實際存在的系統(tǒng)原則上都是動態(tài)系統(tǒng)，靜態(tài)系統(tǒng)不過是動態(tài)系統(tǒng)的過渡過程短暫到可以忽略的極限情形而已。動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型通常為系統(tǒng)的動力學方程，或稱為演化(發(fā)展)方程。1、狀態(tài)、狀態(tài)變量、控制參量系統(tǒng)連續(xù)運行中表現(xiàn)出來的狀況或態(tài)勢，稱為系統(tǒng)狀態(tài)，可用一組稱為狀態(tài)量的參量來表征。給定這些參量的一組數(shù)值，就是給定該系統(tǒng)的一個狀態(tài)，這些量的不同取值代表不

10、同的狀態(tài)，稱為狀態(tài)變量。一般系統(tǒng)須用多個狀態(tài)變量刻畫，稱為多變量系統(tǒng)。設系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量x1，x2，xn，定義以狀態(tài)變量xi(i1，2，n)為分量的n維向量X為狀態(tài)向量。同一系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以有不同的選擇，但應當滿足以下要求：(1) 客觀性：具有現(xiàn)實意義，能反映系統(tǒng)的真實屬性；(2) 完備性：n足夠大，能全面刻畫系統(tǒng)的特性；(3) 獨立性：任一狀態(tài)量都不是其他狀態(tài)量的函數(shù)。系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的集合，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間。以狀態(tài)變量x1，x2，xn為坐標張成的空間就是狀態(tài)空間，獨立狀態(tài)變量的個數(shù)n代表狀態(tài)空間的維數(shù)。真實系統(tǒng)往往把狀態(tài)變量限制于一定范圍，稱為系統(tǒng)的相空間。在相空間之外取值的可能狀態(tài)

11、沒有現(xiàn)實意義。為簡化計，可把相空間與狀態(tài)空間看作一個概念。維數(shù)n是獨立決定系統(tǒng)狀態(tài)的最小自由度。理論上允許n為無窮大，在無窮維空間中討論問題。狀態(tài)空間可根據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學特性分類，如狀態(tài)變量離散地取值時，稱為離散狀態(tài)空間；連續(xù)取值時，稱為連續(xù)狀態(tài)空間。決定系統(tǒng)行為特性的還有另一類量，它反映環(huán)境對系統(tǒng)的制約，往往不直接由系統(tǒng)決定，稱為環(huán)境參量。一般情形下這類量變化緩慢，與狀態(tài)量顯著不同，因而在一次觀察或運行過程中可以看作常量。由于它們對系統(tǒng)行為特性有重要影響，有時可以改變系統(tǒng)的定性性質，又可在一定范圍內調整控制，常稱為控制參量。這兩類系統(tǒng)量的劃分是相對的：在一定條件下，為了降低相空間維數(shù)，把某些變化

12、相對緩慢的量作為控制參量進行分析計算；但在另外的條件下，把其中一些量當作狀態(tài)量可能更合理些?？刂茀⒘恳话悴恢挂粋€。以m記控制參量的個數(shù)，設系統(tǒng)的控制參量為c1，c2，cm，以它們?yōu)榉至啃纬傻膍維向量C稱為系統(tǒng)的控制向量。以控制參量為坐標張成的空間，稱為控制空間或參量空間。系統(tǒng)的許多行為特性、特別是定性性質的改變，要在控制空間才能看清楚。有時還要在狀態(tài)空間和控制空間構成的乘積空間V狀態(tài)空間×控制空間中研究系統(tǒng)。輸入量與輸出量也是描述系統(tǒng)行為特性的重要變量。設系統(tǒng)有k個輸入變量ul，u2，uk，l個輸出變量yl，y2，yl，記輸入向量U=(ul，u2，uk)，記輸出向量Y=(yl，y2，

13、·，yl)。2、軌道、初態(tài)與終態(tài)、暫態(tài)與定態(tài)演化方程X=F(X,C)的每個解X(t)代表系統(tǒng)的一個行為過程，即狀態(tài)隨時間而變化的動態(tài)過程。研究演化方程解的特性，是動態(tài)系統(tǒng)理論的基本任務。最理想的定量方法是求出方程的解析解，用數(shù)學分析工具徹底把握系統(tǒng)的行為特性，但能夠得到解析解的方程是很少的。借助計算機求其數(shù)值解，這種近似方法更有效。定性方法基于相空間概念，繞開求解方程的難關，通過分析方程結構和參量變化去描述解的定性特征，不僅直觀形象，而且能揭示解的一系列本質特性，是動態(tài)系統(tǒng)理論的基本工具之一。 一個動態(tài)過程開始時刻t0(通常取t00)的狀態(tài)X0，稱為系統(tǒng)的初態(tài)(初值，初始條件)。相空

14、間的每個點都有資格作為初態(tài)，動力學認為初態(tài)的獲得與系統(tǒng)的動力學規(guī)律無關，是擾動因素獨立作用的結果一旦系統(tǒng)在t0時刻獲得初態(tài)X0(x10，x20，xn0)，就會沿著通過X0的那條軌道演化，從而啟動一個動態(tài)過程；一個動態(tài)過程在終了時刻t時趨向的有限狀態(tài)，稱為系統(tǒng)的終態(tài)。一個動態(tài)過程可能沒有終態(tài)，即當t時，x(t)沒有有限極限。具有實際意義的是存在終態(tài)的過程。動態(tài)系統(tǒng)理論關心的首要問題是系統(tǒng)的終態(tài)行為：是否存在終態(tài)？終態(tài)類型?終態(tài)在相空間如何分布？是動態(tài)系統(tǒng)理論研究的重要問題。1)平衡態(tài)：最簡單一類定態(tài)是平衡態(tài)，在數(shù)學上由不動點來刻劃。2)周期態(tài)：設(t)是演化方程的一個解，滿足條件 (t+T)=(

15、t), T為某個常數(shù)，則稱(t)是方程的一個以T為周期的周期解。周期解由相空間的一條閉曲線表示，代表系統(tǒng)的條周期軌道，數(shù)學上稱為極限環(huán)(Limit Cycle)，特點是當t趨向于正或負無窮時附近的相軌道以該閉曲線為極限。3維以上的系統(tǒng)還可能出現(xiàn)更復雜的周期運動，用2維或多維環(huán)面表示。準確地說，環(huán)面代表的是由不同頻率的周期運動合成的復雜周期運動，叫做準周期運動。3)擬周期態(tài)：4)混沌態(tài)(分形) （略）定態(tài)與空間維數(shù)有密切關系。1維空間的狀態(tài)只能在一條線上變換、轉移，系統(tǒng)只有不動點表示的定態(tài)，即只有平衡運動一種行為方式。2維系統(tǒng)的狀態(tài)可以在平面上轉移，系統(tǒng)的動力學特性比1維系統(tǒng)豐富得多，不僅有不動

16、點，可以作平衡運動，還可能有極限環(huán)，作周期運動。但2維空間仍不夠寬闊。3維和高維空間給系統(tǒng)提供了充分的舞臺，可以形成各種可能的定態(tài)，呈現(xiàn)出各種行為特性。3、穩(wěn)定性系統(tǒng)是在充滿各種擾動因素的環(huán)境中產生出來并存續(xù)運行的，受到擾動后能否恢復和保持原來行為的恒定性，就是穩(wěn)定性問題。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要維生機制，穩(wěn)定性愈強，意味著系統(tǒng)維生能力愈強。從實用角度看，只有滿足穩(wěn)定性要求的系統(tǒng)，才能正常運轉并發(fā)揮功能。穩(wěn)定性是一個復雜問題，在不同的系統(tǒng)現(xiàn)象和實際背景下需要不同的概念來描述。作為一種動力學特性，系統(tǒng)理論關心的首先是軌道的穩(wěn)定性，亦即演化方程解X(t)的穩(wěn)定性,通常采用李亞普諾夫的穩(wěn)定性定義。定義1：

17、設是向量微分方程的解，定義在上，初態(tài)為，初值擾動對應的軌道為。如果對于足夠小的總有使得只要就有，則稱是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡稱是L穩(wěn)定的。否則，稱是李亞普諾夫意義下不穩(wěn)定的，簡稱是L不穩(wěn)定的。定義2：設的解是L穩(wěn)定的。如果存在，使得只要就有，則稱是李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的，簡稱是L漸近穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性完全取決于控制參量或特征值，與初態(tài)無關，這是線性系統(tǒng)的重要特征。可以說一個線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而不只講某條軌道是否穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性需針對具體軌道，常用李亞普諾夫給出的兩個方法判別： 李亞普諾夫第一方法，又叫做線性近似法，是把非線性系統(tǒng)作線性化處理，判別所得線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由

18、于穩(wěn)定與否一般是系統(tǒng)的局部特性，這種判別法是有效的。只要變量變化足夠小，這種分析技術被稱為線性穩(wěn)定性分析。 李亞普諾夫第二方法，又稱直接方法。思路是：不從解方程入手，而是研究方程的結構和參數(shù)，構造所謂李亞普諾夫函數(shù)V(x)，按V(x)性質可以對穩(wěn)定性做出判斷。直接方法的關鍵是構造函數(shù)V(x)，但至今尚無通用的構造方法。軌道穩(wěn)定性，是系統(tǒng)的內部穩(wěn)定性。許多情形下還要考察系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性，即輸入輸出穩(wěn)定性(I/O穩(wěn)定)。簡單地說，如果對于一個有界輸入|u(t)|<k1，存在有限時刻T，在-T內只能產生一個有界輸出|y(t)|<k2，就說系統(tǒng)是I/O穩(wěn)定的，其中k1、k2都是有限數(shù)。簡言

19、之，有界輸入必定產生有界輸出的系統(tǒng)是I/O穩(wěn)定的。4、目的性與吸引子相空間中滿足以下3個條件的點集合A（可能包含1個點、有限個點或無限個點），稱為動力學系統(tǒng)的吸引子。l 終極性：處于非目的態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠去；處于目的態(tài)的系統(tǒng)“安于現(xiàn)狀”，自身不再愿意或無力改變這種狀態(tài)。l 穩(wěn)定性：目的態(tài)是系統(tǒng)自身質的規(guī)定性的體現(xiàn)，這種規(guī)定性只有在穩(wěn)定狀態(tài)中才能確立并得到保持，不穩(wěn)定狀態(tài)不可能成為目的態(tài)；l 吸引性：吸引性是目的性的根本要素，沒有吸引力的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標。只要系統(tǒng)尚未到達目的態(tài)，現(xiàn)實狀態(tài)與目的態(tài)之間必定存在非0的吸引力，牽引著系統(tǒng)向目的態(tài)運動。1）乍看起來穩(wěn)定性

20、與吸引性是一致的。這是一種假象，不僅存在滿足李雅普諾夫要求但沒有吸引性的定態(tài)，也存在有吸引性而不滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性要求的定態(tài)。例如以下系統(tǒng)為不動點，對時的所有軌道都有吸引力，但不是李雅普諾夫穩(wěn)定的；存在這樣的軌道，它們從無限接近點開始，但要經歷很長的旅程才能回到，如圖在軸（相空間）上標明流線的走向。這表明穩(wěn)定性與吸引性是相互獨立的，互不包含。2）凡存在吸引子的系統(tǒng)，均為有目的的系統(tǒng)。從暫態(tài)向漸近穩(wěn)定定態(tài)的運動過程，就是系統(tǒng)尋找目的的過程。所謂目的，就是在給定的環(huán)境中，系統(tǒng)只有在目的點或目的環(huán)上才是穩(wěn)定的，離開了就不穩(wěn)定，系統(tǒng)自己要拖到點或環(huán)上才能罷休。3）一個系統(tǒng)可能沒有吸引子，也可能同時存

21、在多個吸引子。不同吸引子可能屬于同一類型，也可能屬于不同類型。原則上講，幾類吸引子的各種組合都可能出現(xiàn)。4）當相空間同時存在幾個吸引子時，整個相空間將以它們?yōu)橹行膭澐譃閹讉€區(qū)域，每個區(qū)域內的軌道都以該吸引子為歸宿，稱為該吸引子的吸引域或流域。 5）線性系統(tǒng)可能沒有吸引子，至多存在一個吸引子，或為穩(wěn)定結點，或為穩(wěn)定焦點。只要有吸引子，整個相空間都是它的吸引域，定態(tài)對相空間所有軌道都有吸引作用。建立了系統(tǒng)演化方程后，可以用數(shù)學語言回答下列問題：系統(tǒng)有無吸引子？有幾個吸引子？有哪些類型的吸引子?吸引子在相空間如何分布?如何劃分吸引域(即確定吸引域的邊界)？等等。關于這些問題的一般結論，構成所謂吸引子

22、理論。5、周期運動與自激振蕩在物理現(xiàn)象、化學現(xiàn)象、生命現(xiàn)象、社會現(xiàn)象和心理現(xiàn)象中，經?？梢园l(fā)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在不斷作時起時伏、或升或降的運動，這種現(xiàn)象稱為振蕩。一種簡單而常見的情形是有固定周期的振蕩，稱為周期運動。非線性系統(tǒng)只要有極限環(huán)，系統(tǒng)就可能在沒有外部周期力驅動下由于本身的非線性效應而自發(fā)出現(xiàn)周期運動，稱自激振蕩；系統(tǒng)如果在有外部周期力驅動下而出現(xiàn)周期運動，就稱他激振蕩。非線性系統(tǒng)在經過線性化處理后，產生自激振蕩的根源就被當作次要因素忽略掉，當問題涉及系統(tǒng)的振蕩現(xiàn)象時，不可使用線性化方法。線性系統(tǒng)不存在極限環(huán)，表明它不可能自發(fā)產生周期運動，即自激振蕩。線性系統(tǒng)只有當外部輸入周期性強迫作用時，才

23、會產生周期運動。由于極限環(huán)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分，非線性系統(tǒng)的自激振蕩也有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。穩(wěn)定的自激振蕩是可自行維持的，稱為自持振蕩；不穩(wěn)定極限環(huán)對應的是非自持振蕩。例如在非線性動力學發(fā)展史上起過重大作用的范德波爾方程 此處參量，為非線性阻尼項：當時類似于正阻尼，當時類似于負阻尼。為不穩(wěn)定焦點；時，系統(tǒng)存在一個穩(wěn)定的極限環(huán)，如下圖左邊所示，一條非圓的閉軌道；右圖為時間域上的行為，一種非正弦波的周期運動。因此這個方程描述的系統(tǒng)可以出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振蕩。 判斷一個非線性系統(tǒng)有無極限環(huán)，進而了解是否可能發(fā)生自激振蕩，是非線性系統(tǒng)研究中具有重要理論和實際意義的問題。6、回歸性與非游蕩集 人們總是希望根據(jù)以

24、往的事件預見未來，前提是系統(tǒng)行為具有回歸性（回復性）。靜止的平衡態(tài)具有最平庸的回歸性：不動也是回歸。周期運動具有最典型的回歸性，軌道上的每個狀態(tài)經過確定的周期后必定嚴格地再次出現(xiàn)，只要沒有外部擾動，每個狀態(tài)都會無數(shù)次的重復出現(xiàn)。一般情形下，回歸性并不要求嚴格地回到原有狀態(tài)，也不要求按確定的周期回歸，只要在過程中能夠反復回到其任意近的地方。注意：有限次的回歸后逃逸掉的狀態(tài)不算具有回歸性的狀態(tài)。具體地，數(shù)學上的嚴格定義如下：系統(tǒng)的演化方程或其描述的動力學規(guī)律記作，可以視作以相空間的點（系統(tǒng)的可能狀態(tài)）為對象的操作變換。將施加于初態(tài)，在過程中可以得到從出發(fā)的那條軌道上的所有的點；把施加于不同的初態(tài)，

25、可以得到相空間的所有點。這樣，相空間的點可以分為兩類：在變換作用下具有回歸性的相點稱為非振蕩的（Nonwanding），在有限次回歸后逃逸掉的相點稱為游蕩的（Wanding）。定義如下概念：令記相點的一個鄰域，若存在實數(shù)，當時間時，與不相交，即 ，則稱為的一個游蕩點；否則，稱為的一個非游蕩點。7、結構穩(wěn)定性與分岔前面討論的都是在給定控制參量條件下在相空間研究系統(tǒng)的狀態(tài)轉移，下面的討論是建立在控制參量變化基礎上的。1）結構穩(wěn)定性狀態(tài)空間是在給定控制參量的前提下建立的，在狀態(tài)空間中研究的是給定控制參量的特定系統(tǒng)。參量空間研究的是具有相同數(shù)學結構的演化方程描述的系統(tǒng)族，而不是單個系統(tǒng)，更不是系統(tǒng)的某

26、條軌道。控制參量的變化不改變系統(tǒng)演化方程的數(shù)學結構，但可能改變系統(tǒng)的動力學特性，包括定性性質的改變，即系統(tǒng)相圖結構的改變?？刂茀⒘康男_動不會引起系統(tǒng)相圖定性特征的變化，就說系統(tǒng)是結構穩(wěn)定的（Structure Stable）；如果控制參量的小擾動引起系統(tǒng)相圖發(fā)生定性性質的改變，就說系統(tǒng)是結構不穩(wěn)定的。注意：（1）應區(qū)分運動穩(wěn)定與結構穩(wěn)定，運動穩(wěn)定是在狀態(tài)空間中研究系統(tǒng)的概念，反映的是系統(tǒng)的運動或行為具有穩(wěn)定性；結構穩(wěn)定性是在參量空間研究系統(tǒng)的概念，反映的是系統(tǒng)動力學規(guī)律的穩(wěn)定性。（2）結構穩(wěn)定性不是指系統(tǒng)組分之間關聯(lián)方式的穩(wěn)定性，而是指系統(tǒng)相圖結構的穩(wěn)定性。但兩者有內在聯(lián)系，如果系統(tǒng)在參量空

27、間表現(xiàn)出相圖的穩(wěn)定性，系統(tǒng)組分之間的關聯(lián)方式即結構也是穩(wěn)定性的；反之，如果相圖結構發(fā)生定性性質變化，組分之間關聯(lián)方式必定出現(xiàn)定性性質的變化。結構穩(wěn)定性也是作為參量空間的局部特性來定義的，所以某些判別方法與運動穩(wěn)定性相同。2）分岔控制參量變化所引起的系統(tǒng)定性性質的改變，叫做分岔。分岔現(xiàn)象要在控制空間中考察。控制空間中引起分岔現(xiàn)象的臨界點，叫做分岔點。研究分岔的定義、分岔發(fā)生的條件、分岔的類型、如何求分岔解、解的穩(wěn)定性、解的對稱破缺等，構成所謂分岔理論。 例幾種一維系統(tǒng)的分岔：l 鞍結分岔：l 跨臨界分岔：l 叉式分岔：例逐級分岔分岔是系統(tǒng)演化過程中廣泛存在的一種動力學機制。系統(tǒng)演化之所以從單一到多樣、從簡單到復雜，分岔機制是重要根源。分岔把歷史性賦予演化系統(tǒng)。系統(tǒng)后續(xù)演化所建立的定態(tài)，與它先前經歷的分岔路線有關。分岔理論第一次揭示出物理系統(tǒng)也有歷史性。當分岔點上存在不止一個新的穩(wěn)定分支解時，系統(tǒng)面臨如何選擇的問題。在一般情形下，幾個新定態(tài)是對稱的，有相同的機會接受選擇。存在兩種基本選擇(對稱破缺) 方式：一是誘導破缺選擇，環(huán)境中存在某種誘導力量，迫使系統(tǒng)