第二講 矩陣與運(yùn)算(1) 2010-4-7

1、第二講 矩陣與運(yùn)算一、概念1.矩陣定義：由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.說(shuō)明：（1）一階矩陣 .（2）行矩陣與列矩陣：只含有一行或只含有一列的矩陣為向量，可用小寫(xiě)字母表示.（3）對(duì)角矩陣(或?qū)顷?形如的方陣. 記作.(4) 數(shù)量矩陣(純量矩陣)形如 的方陣.2.矩陣的運(yùn)算（1）加法：設(shè)、，則.運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律成立.（2）數(shù)乘：.運(yùn)算律：設(shè)為數(shù),則;.（3）乘法：設(shè),，令,稱矩陣為與的乘積,記作.運(yùn)算律：, ；（矩陣乘法的左右分配律） (其中為數(shù))；（即數(shù)與矩陣相乘可以移動(dòng)數(shù)的位置）；（結(jié)合律）, 注意：矩陣的乘法不滿足（1）交換律.（2）消去律.(4) 矩陣的冪（對(duì)于方陣才談冪）, ,

2、為正整數(shù).規(guī)定.特別地 .（純量矩陣為可交換矩陣）注意：因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，一般地，但當(dāng)與可交換時(shí)，一定有.（5）轉(zhuǎn)置矩陣：將矩陣的行換成相應(yīng)的列得到的新矩陣稱為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.性質(zhì)：; ; ; ，.（6）方陣的行列式性質(zhì)：設(shè),為階方陣,則； ；. 均為階方陣，則. .（7）對(duì)稱陣與反對(duì)稱矩陣：設(shè)為階方陣，如果滿足，即，那末稱為對(duì)稱陣.如 為對(duì)稱矩陣.說(shuō)明 對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.反對(duì)稱矩陣：滿足條件 即的矩陣.如 為反對(duì)稱矩陣.（8）伴隨矩陣：設(shè)，則行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣， 其中為的代數(shù)余子式.結(jié)論：設(shè) ，則伴隨矩陣的重要性質(zhì)：.證

3、明: 設(shè),則 故 即同理可得.(9)共軛矩陣：當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣. 性質(zhì): 設(shè)為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的, 則 ； ； .（10）結(jié)論：設(shè)，為n階方陣，則為的次多項(xiàng)式.若，則.說(shuō)明: 對(duì)于矩陣的兩個(gè)多項(xiàng)式，總有 .若，則，.若，則；.（11）構(gòu)造對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的方法：任何方陣都能寫(xiě)成，其中.因?yàn)?為對(duì)稱陣，為反對(duì)稱陣.（12）可逆矩陣：當(dāng)時(shí),稱為非奇異矩陣(可逆矩陣),當(dāng)時(shí),稱為奇異矩陣(不可逆矩陣).定理：可逆，此時(shí).性質(zhì)：若或 .若可逆 可逆,且.若可逆, 可逆,且.若為同階方陣且均可逆 可逆且.結(jié)論 .若可逆 可逆, .若可逆 .,(為正整數(shù)

4、,可逆). ,（可逆）.（13）矩陣的分塊：以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.注意：分塊時(shí)，橫線與縱線要貫穿始終.矩陣的分塊不一定惟一.當(dāng)子塊滿足相關(guān)的運(yùn)算條件時(shí)，可對(duì)分塊矩陣作矩陣的相關(guān)運(yùn)算.注意：分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 .注：哈達(dá)瑪矩陣，哈達(dá)瑪矩陣一定可逆，且.分塊對(duì)角矩陣：方陣稱為分塊對(duì)角矩陣,其中都是方陣.重要性質(zhì).設(shè)與是同結(jié)構(gòu)的分塊對(duì)角矩陣, 則.若可逆,則可逆, 且.設(shè)且，則.設(shè)為階可逆方陣，則,.<利用分塊矩陣方程求逆矩陣>.二、提問(wèn)1.（1993年）：設(shè)均為四維列向量，且，求 .解 .2.成立嗎?若不成立,請(qǐng)給出成立的條件.3. 4.答案.5.已知 ， 則 .6.若abc0且

5、a.b.c,則( )（A） (B) (C) (D)7.設(shè)為同階方陣，為單位矩陣且，則下列結(jié)論不正確的是（ B ）（A）;(B)；（C）;(D).8.若是（ ），則必有（A） 對(duì)角矩陣；（B）三角矩陣；（C）可逆矩陣；（D）純量矩陣.9.設(shè)為階對(duì)稱矩陣且可逆，則下列矩陣中是對(duì)稱矩陣的是（ B ）（A） ; （B）;（C）; （D）.10.設(shè)均可逆，則等于（ ）（A）;（B）;（C）; （D）.11.（2010.3.4）：設(shè)為3階方陣，且，則解答提示：.12.設(shè)為三維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若，則 答案：設(shè)，則.13.（0814）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.

6、可逆，可逆.可逆，不可逆. 分析：，故 均可逆. 解答：選14.為實(shí)對(duì)稱矩陣，若，則對(duì)嗎？答案：正確，因?yàn)?，設(shè)，.15.（9.1），求 .解 .16.若,則= .（答案：）17.矩陣的伴隨矩陣為=（ D ）（A）;（B）;（C）;（D）.18.（09.3.4）設(shè)、均為二階方陣，、，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（ B ）（A）（B）（C）（D）分析提示：可逆.19.設(shè)矩陣, 則的秩為_(kāi).【答案】應(yīng)填1 .【詳解】依矩陣乘法直接計(jì)算得 , 故 20.若（冪等矩陣）且不是單位矩陣，則必為奇異矩陣.分析：為奇異陣.推導(dǎo)方法正確嗎？另證：假設(shè)為非奇異陣，則可逆，從而由此與題設(shè)不是單位矩陣矛盾，假設(shè)不成立.故必為奇異矩陣.重要結(jié)論：非單位矩陣的冪等矩陣一定不可逆.21(1994).已知，求.提示：，.22.判斷正誤：階方陣的充要條件是.證明 必要性顯然.充分性：的列矩陣為，則由 ，特別地.所以 ，故.23（1994）.設(shè)是階非零矩陣，且滿足，證明.提示：將代入.假設(shè)，則與題設(shè)矛盾，故.（此題，還有其他證法嗎？）24.(2005年)已知是二維列向量，求解 .三、應(yīng)用舉例例1 （1） 設(shè) ,則 .（2）設(shè) ,則 .與不一定相等.（3）設(shè),則.例2 解矩陣方程 （1）解 原方程可化為 利用矩陣相等定義得 故 .（2）解矩陣方程 .解 因?yàn)?，所以 .例3（1999年）設(shè)為正