2017步步高大一輪復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)31

1、1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率是 ，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)如果函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)記作f(x)或y.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)c

2、os xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)f(x0)與(f(x0)表示的意義相同()(2)求f(x0)

3、時(shí)，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)()(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線()(5)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x()1(教材改編)f(x)是函數(shù)f(x)x32x1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為()A0 B3 C4 D答案B解析f(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是()答案D解析由yf(x)的圖象知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞減，說(shuō)明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也單調(diào)遞減，故可排除A，C.又由圖象知yf(x)與

4、yg(x)的圖象在xx0處相交，說(shuō)明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.3有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為st2(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t2時(shí)的瞬時(shí)速度為()A. B . C. D.答案D4設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)f()sin xcos x，則f()_.答案解析因?yàn)閒(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.5(2015陜西)設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y(x0

5、)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,1)解析yex，曲線yex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1e01，設(shè)P(m，n)，y(x0)的導(dǎo)數(shù)為y (x0)，曲線y (x0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2 (m0)，因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k21，所以m1，n1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos

6、x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.(5)令u2x5，yln u，則y(ln u)u2，即y.思維升華(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡(jiǎn)則化簡(jiǎn)，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)若函數(shù)f(x)

7、ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，則ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)，且f(1)2，f(1)2.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1已知切點(diǎn)的切線方程問(wèn)題例2(1)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)曲線ye2x1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為_(kāi)答案(1)C(2)解析(1)f(x)，則f(1)1，故該切

8、線方程為y(2)x1，即xy30.(2)y2e2x，曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k2，切線方程為y2x2，該直線與直線y0和yx圍成的三角形如圖所示，其中直線y2x2與yx的交點(diǎn)為A(，)，三角形的面積S1.命題點(diǎn)2未知切點(diǎn)的切線方程問(wèn)題例3(1)與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10(2)(2015威海質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)D(2)B解析(1)對(duì)yx2求導(dǎo)得y2x.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則

9、切線斜率為k2x0.由2x02得x01，故切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點(diǎn)為(1,0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.故選B.命題點(diǎn)3和切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m等于()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切

10、點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以ex22(當(dāng)且僅當(dāng)ex，即x0時(shí)取等號(hào))，則ex24，故y當(dāng)(x0時(shí)取等號(hào))當(dāng)x0時(shí)，曲線的切線斜率取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)，切線的方程為y(x0)，即x4y20.故選A.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2的導(dǎo)數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.8已知函數(shù)f(x)x33x，若過(guò)點(diǎn)A(0,16)且與曲線yf(x)相切的直線方程為yax16，則實(shí)數(shù)a的值是_答案9解析先設(shè)切

11、點(diǎn)為M(x0，y0)，則切點(diǎn)在曲線上有y0x3x0，求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率kf(x0)3x3，又切線l過(guò)A、M兩點(diǎn)，所以k，則3x3，聯(lián)立可解得x02，y02，從而實(shí)數(shù)a的值為ak9.9已知曲線yx3x2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4xy10，且點(diǎn)P0在第三象限(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線ll1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x1時(shí)，y4.又點(diǎn)P0在第三象限，切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，4)(2)直線ll1，l1的斜率為4，直線l的斜率為.l過(guò)切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，4)，直線l的方程為y4(x1)，即

12、x4y170.10設(shè)函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化為yx3.當(dāng)x2時(shí)，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y1知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，從而得切線與直線x0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.令yx，得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx

13、所圍成的三角形的面積為S|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，且此定值為6.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)11已知函數(shù)f(x)1，g(x)aln x，若在x處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為()A. B. C1 D4答案A解析由題意可知f(x)x，g(x)，由f()g()，得()，可得a，經(jīng)檢驗(yàn)，a滿足題意12曲邊梯形由曲線yx21，y0，x1，x2所圍成，過(guò)曲線yx21 (x1,2)上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.答案B解析設(shè)P(x0，x1)

14、，x01,2，則易知曲線yx21在點(diǎn)P處的切線方程為y(x1)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x1，設(shè)g(x)2x0(xx0)x1，則g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，S普通梯形1x3x012，P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，S普通梯形最大13若函數(shù)f(x)x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點(diǎn)，即xa0有解，ax2.14已知曲線f(x)xn1(nN*)與直線x1交于點(diǎn)P，設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2 016x1log2 016x2l

15、og2 016x2 015的值為_(kāi)答案1解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 015，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.15已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直線m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是曲線yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直線m恒過(guò)定點(diǎn)(0,9)，若直線m是曲線yg(x)的切線，則設(shè)切點(diǎn)為(x0,3x6x012)g(x0)6x06，切線方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)，將(0,9)代入切線方程，解得x01.當(dāng)x01時(shí)，切線方程為y9；當(dāng)