高階導(dǎo)數(shù)課件

1、河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度. .),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則則瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度為為的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 第二節(jié)第二節(jié)3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)一、高階導(dǎo)數(shù)的

2、定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義類似地：二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)；類似地：二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)； n1 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù)；階導(dǎo)數(shù)；分別記為：分別記為：)()4(,nyyyy 定義 函數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 若仍然可若仍然可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù). .記為記為)(xfy )(xf )(xfy ) )( xf22)(dxydxfy或或 dxdydxddxyd22河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)nndxyddxyddxyddxyd,443322)(xf0 xxnndxyd注注(1) 二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)

3、數(shù)高階導(dǎo)數(shù). . 若若 具有具有 n 階導(dǎo)數(shù)，則稱階導(dǎo)數(shù)，則稱 為為 n 階可導(dǎo)階可導(dǎo). . 本身稱為零階導(dǎo)數(shù)本身稱為零階導(dǎo)數(shù). .)(xfy )(xf)(xf或或河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例1 設(shè)設(shè) ，求，求 . .xxy y 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以所以 0,0,22xxxxy0lim)0()(lim)0(00 xxfxffxx0)(lim)0()(lim)0(00 xxfxffxx故故0)0(0 fyx河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué) 0,20,00,2xxxxxy因而因而又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)0()(lim)0(0 xfxffx2)0()(lim)0(0 xfxffx所以所以 不存在

4、不存在. .)0(0fyx 故而故而 0,20,不存在0,2xxxy河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)評(píng)述: 抽象函數(shù)關(guān)于某一點(diǎn)或分段函數(shù)在分段點(diǎn) 求(高階)導(dǎo)數(shù),多用定義求導(dǎo).注意,不要?jiǎng)硬?動(dòng)就左導(dǎo)數(shù),右導(dǎo)數(shù),需要時(shí)才用. 求具體函數(shù)的低階導(dǎo)函數(shù),據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義 應(yīng)一階一階地求,即按照y,y,的次序一 步一步地求.河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例2 設(shè)設(shè) ，求，求 . .1324 xxxy)(ny解解1643 xxy6122 xyxy24 ! 424)4( y0)( ny5 nnnnnaxaxaxay1110.,)43()32)(2(632）（求yxxxy河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例4.),()(nyRxy求

5、求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy) 1() 1() 1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 則則不不是是自自然然數(shù)數(shù)若若,n 河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)評(píng)述: 求簡(jiǎn)單函數(shù)的高(n)階導(dǎo)數(shù),先求若干階導(dǎo)數(shù), 一般求至3,4階,然后,盡量把它們變換成同一 形式,以利于用不完全歸納法得一般規(guī)律,最 后指出n的范圍.河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例4 設(shè) ，求，求 . .xey )( ny解解,xey ,xey xey 例例5 設(shè) ，求，求 . .xysin )(ny解解)2sin(cos x

6、xy)22sin()22sin()2cos( xxxy)23sin()222sin()22cos( xxxy一般地一般地xney )( ?)( nkxe, 2 , 1 , 0 n河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)一般地一般地)2sin()( nxyn類似有類似有 )2cos(cos)( nxxn即即 )2sin(sin)( nxxn ?sin)( nkx, 2 , 1 , 0 n, 2 , 1 , 0 n河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)例例6 設(shè) ，求，求 . .xy1 )(ny32 xy423 xy解解2 xy21x 32! 2)1(x 43! 3)1(x 5)4(234 xy54! 4)1(x 一般地一般地1)(!)1(1 nnnxnx河海大學(xué)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)自己做自己做1)()1 (!) 1(11nnnxnx例例7.,11)5(2yxy求設(shè)解解)1111(21112xxxy) 1(! 5)1 (! 52166)5(xxy) 1(1)1