初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)難題

1、1.如圖13-1,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD勺兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABC限持不動，將三角尺GE噬斜邊EF的中點0(點O也是BD中點)按順時針方向旋轉(zhuǎn).(1)如圖132,當(dāng)EF與A*目交于點MGF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BMFN的長度，猜想BMFN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若三角尺GEF1轉(zhuǎn)到如圖133所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N,此時，(1)中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.圖 13 1圖 13 2圖 1335圖 15-12.（10河北|）在ABC,A

2、BACCGLBA交BA的延長線于點G一等腰直角三角尺按如圖15-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F,一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B.（1）在圖15-1中請你通過觀察、測量BF與CG勺長度，猜想并寫出BF與CG蔭足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖15-2所示的位置時,一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D,過點D作DEBA于點E.此時請你通過觀察、測量DEDF與CG的長度，猜想并寫出D&DF與。出間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖15-3所示的位置（點

3、F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）3.(2010梅州)用兩個全等的正方形ABCD和CDFE拼成一個矩形ABEF,把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊 時針方向旋轉(zhuǎn).(1)當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點ABEF的兩邊BE, EF相交于點G,D按逆時，如圖甲，通過觀察或測量 BG與EH的長度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線，EF的延長線相交于點圖乙)，你在圖甲中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.G,時(如DFHBC圖甲圖乙4 .(09煙臺市)如圖，菱

4、形ABCM邊長為2,BD=2E、F分別是邊AD,CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2.(1)求證：BD9BCF;(2)判斷BEF的形狀，并說明理由；(3)設(shè)BEF的面積為S,求S的取值范圍.5 .如圖，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a,b(b)2a),且點F在AD上(以下問題的結(jié)果均可用a,b的代數(shù)式表示).(1)求S>aDBF；(2)把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得圖，求圖中的SxDBF；(3)把正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，SxDBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由.(第28題)6

5、.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q.(1)試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有ADQABQ；(2)當(dāng)點P在AB上運動到什么位置時，ADQ的面積是正方形ABCD面積的1；(3)若點P從點A運動到點B,再繼續(xù)在BC上運動到點C,在整個運動過程中，當(dāng)點P運動到什么位置時，ADQ恰為等腰三角形.1.解：(1)BM=FN。證明：GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形,，"BD=ZF=45°,OB=OF,X/ZBOM=ZFON,OBM/OFN,.BM=FN;(2)BM=FN仍然成立。證明：.GEF是等腰直角三角形，四邊形AB

6、CD是正方形,ZDBA=ZGFE=45°,OB=OF,.dMBO=ZNFO=135°,X/ZMOB=ZNOF,OBM/OFN,.BM=FN。9(1) BF=CG;證明：在-AB鬧-ACG中f".zF=zG=9D°rzFAB=zGACrAB=ACt/,-ABFs-ACGCAAS)Fj.BF=CG；C2)DE+DF=CG；證明：過點D作DHJ_CG于點H(如圖)DE一BA于點E,/G=90'DH±CGro四邂EDHG為儂，/.DE-HGrDHllBGrazGBC-zHDCf/AB=ACr.zFCD=zGBC=zHDC,.zF=zDHC=90

7、°fCD=DCr.-FDC-HCD(AAS)f/.DF=CHrz.GH+CH=DE+DF=CGrg)DE+DF=CG;C3)仍然成立.3.解：(1)BG=EH.四邊形ABCD和CDFE都是正方形，.DC=DF,ZDCG=ZDFH=ZFDC=90°,.ZCDG+ZCDH=ZCDH+ZFDH=90°,ZCDG=ZFDH, CDGzFDH, .CG=FH, .BC=EF,.BG=EH.(2)結(jié)論BG=EH仍然成立.同理可證CDG0zEDH, .CG=FH, .BC=EF,，BC+CG=EF+FH,.BG=EH.4.證明;菱形A3CD的邊長為2rBD=2,.ABM收洞為正

8、三角形，.zBDE=zBCF=60fl,BD=BC,/AE+DE=AD=2,而AE+CF=2r.DE=CFra-BDEs-BCF;(2)解一BEF為正三角形.理由：v-BDEs-ECF,.zDBE=zCBF,BE=BF,.zDBC=zDBF+zCBF=60°r.zDBF+zDBE=60WEBF=60sf.BEF為；:設(shè)BE=BF=EF=xr貝嶼=2犬長£小6O'=YWx2r24當(dāng)BEUD時,燔小=2K*n6(T=仃r江最小=x(百)當(dāng)BE與AB重合時f焜大=2r5.(1).點F在AD上F.-.AF2=42+43f即AFF±r；QF=12小，11-.Sdbf

9、=-DFxAB-x(12-4H2)x12=72-242；22(2)連接DFrAF.:由題息易知AF”BDr，四邊形AFDB是悌形r-DBF與-ABD等商同底即BD為兩三用形的底，由AF#BD,得到平行線間的距離相等r即聞gr/&DBF=&ABCr72;(3)正方形AEFG在降A(chǔ)點旋演的過程中，RW的凱跡是以總A為圜心rAF為半徑的國r國為-BFD的邊BD=12y，.故當(dāng)F點到BD的距離率得最大.最小值時r，_bfd取得最大、最小值.如圖所示D%_lBD時Sbfd的最大值="孫鵬2丘(6丘+4日)=120r21_S_BFDB9BdMl=S_BF2D=-*12n2-(6,24y2)=24;11解；(1)在正方形ABC口中r無6點P運動到AB上何處時,AD=ABtZDAQk4QtAQ=AQ.-ADQ-ABQ;(2)-ADQ的面不恰好是正方形ABCD面W的1時r6過點Q作QE_lAD于E,QFxABFf則QE=QFiip-3xQ£=W§正方崢3弓i-OEDE由-DEQ-DAP得空二絲APDA金尸=2時t-ADQ的面整建防形ABCD面積的1：6(3)若-ADQ是等諼三角形，則有QDQA5£DA二DQ或AQ二AD當(dāng)點P運動到與京B重臺時，目四邊形AECD是正方形知QD=QA此時-ADQ是等媵三甬形;當(dāng)點P與點C重合時.點Q與點C也重合r