話說函數(shù)三種定義的利與弊

1、話說函數(shù)三種定義的利與弊2009年第1期數(shù)學(xué)教育研究?l5?話說函數(shù)三種定義的利與弊陳秀峰(浙江省寧波市鄞州中學(xué)315101)函數(shù)是一種特殊的關(guān)系,是數(shù)學(xué)的一個基本而又重要的概念,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,它幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個分支,怎樣定義函數(shù)?根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的演變,一般有以下三種:變量說,對應(yīng)說(映射說),關(guān)系說.下面就這三種定義,談?wù)劯髯缘睦?1函數(shù)變量說的利弊回顧先回顧函數(shù)一詞的起因.把函數(shù)(function)這個詞用作數(shù)學(xué)述語,最早是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz),在他1673年的一篇手稿里,用函數(shù)一詞表示一個隨著曲線上的點變動而變動的量,此詞出現(xiàn)前,牛頓(Newton)自1665年開始微

2、積分的研究工作后,直用流量(fluent)一詞來表示變量間的關(guān)系.早在1775年,歐拉(Euler)曾提出:”如果當(dāng)某些變量以這樣一種方式依賴于另一變量,即當(dāng)后面這些變量變化時,前面這些變量也隨之變化,那么前面的變量稱為后面變量的函數(shù).”由以上定義,逐漸演變?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的”變量說”.它是這樣定義的:”設(shè)X與是兩個變量,如果當(dāng)變量-z在實數(shù)的某一范圍中變化時,變量按一定的規(guī)律隨z的變化而變化,我們稱z為自變量,Y為因變量,變量叫做變量z的函數(shù),記作Y一廠().”這樣用一個變量隨另一個變量的變化而變化的說法有許多好處.首先,在日常生活中或生產(chǎn)實踐中,各變量之間多半大致已經(jīng)”天然地”建立了對應(yīng)關(guān)系,

3、因此,雖然變量說并未突出對應(yīng)關(guān)系,卻不致誤會,例如,要討論正方形的面積Y和邊長-z的關(guān)系,總是在同一個正方形中考慮面積值與邊長值的對應(yīng).其次,從物理意義上看,例如,一廠(),反映了質(zhì)點運動時路程隨時間變化而變化的規(guī)律,”變量說”刻劃得自然,形象,直觀且通俗易懂.但是,不能不看到,”變量說”有其缺陷的一面.1.”變量說”對函數(shù)的實質(zhì)對應(yīng),缺少充分的刻劃,這是最致命的弊病.雖然其定義中也指出了自變量與因變量的概念,但未明確函數(shù)是z,y雙方變化的一個總體,而卻把變量定義為z的函數(shù),使學(xué)生思想上先人為主,記住了函數(shù)就是y,這與函數(shù)是反映變量與變量之間的關(guān)系是相悖的.究竟函數(shù)是指,還是,(z),還是一,

4、(z)?變量說易于模糊三者的區(qū)別.我們說,只有廠才是函數(shù),而,(z)僅是指函數(shù),在的值,是一個數(shù)或是一個元素,而y一廠(z)是借以確定,的方程,是一個式子.因此嚴(yán)格說來,一,(-z)不應(yīng)讀作Y是X的函數(shù),而應(yīng)讀作Y是,實施于z的結(jié)果.應(yīng)該看到,人們常把對數(shù)函數(shù)寫作logx而不寫成log,認為log是沒有意義的符號,必須寫成logx才對,這是不妥的.當(dāng)然,一旦掌握了廠,廠(),Y一廠(z)的區(qū)別后,在應(yīng)用上為方便起見也準(zhǔn)許有意識的混同使用,但這與因概念不清而混用是兩回事.2.”變量說”強調(diào)的是兩個變量及變量域自變量與因變量,定義域和值域,而對對應(yīng)規(guī)律卻輕描談寫,一筆帶過.由于忽略對應(yīng)規(guī)律,單純強

5、調(diào)兩個變量的相依關(guān)系當(dāng)z變化時,Y隨之變化,則易誤解為:Ysinz+COSz=1不是函數(shù);同樣,由于忽視對應(yīng)規(guī)律,單純強調(diào)定義域和值域,則易誤解為:Ysinx,Ycosz是同一函數(shù).3.變量說把定義域和值域僅規(guī)定在實數(shù)范圍內(nèi),也是局限的.例如,一切三角形組成的集合與一切圓組成的集合,因為每個三角形對應(yīng)于一個外接圓,這種對應(yīng)關(guān)系已不是”量”之間的關(guān)系.為此必須延伸函數(shù)的概念,把它擴展為”映射”,突出”對應(yīng)”,不必強調(diào)量.2函數(shù)對應(yīng)說與函數(shù)變量說優(yōu)劣比較函數(shù)的”對應(yīng)說”是這樣定義的:”設(shè)A與B是兩個集合,如果按照某一確定的對應(yīng)關(guān)系,對于集合A中每一確定的元素z,總有集合B中一個確定的元素Y和它對應(yīng)

6、,那么這個對應(yīng)關(guān)系就叫一個映射.當(dāng)A,B為數(shù)集時,稱為函數(shù).”由此可見,”對應(yīng)說”也就是”映射說”.目前這種定義,已越來越多地被一些教科書所采用.首先,”對應(yīng)說”較之”變量說”,雖然稍覺抽象,但它卻抓住了函數(shù)本質(zhì)屬性,突出了兩個集合元素間的對應(yīng)就是函數(shù).在對應(yīng)說中,函數(shù)可看作”暗箱”,例如,上面提到的正方形面積與邊長關(guān)系的例子,即Yz,輸入z,輸出z,于是”暗箱”相當(dāng)于”平方機”的作用(如圖).輸入-.(j至卜_+輸出其次,”變量說”是建立在變量的基礎(chǔ)上,而”對應(yīng)說”是建立在集合的基礎(chǔ)上.事實上,所謂”變量是指有量可度的量,如長度,距離,時間等.但是當(dāng)某客體無量可度時怎么辦?采用了”對應(yīng)說”,

7、則”變量說”中那種把定義域,值域的變化范圍實數(shù)集,作為限制,就自然消失了.因此,”對應(yīng)說”遠比”變量說”的定義普遍得多.只有這樣,函數(shù)的定義才能適應(yīng)各種不同的研究對象,使函數(shù)呈現(xiàn)出各種形態(tài)并被賦以專門的名稱.例如在幾何空間中有變換的概念;我們還可以把函數(shù)看作某空間的一個元素,建立函數(shù)集與函數(shù)集的對應(yīng),于是出現(xiàn)了”算子”的概念.最后,”對應(yīng)說”在處理復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)問題上,遠比”變量說”方便且自然,對應(yīng)說”明確是一種單值對應(yīng),這樣就排除了多函數(shù)的概念,這是因為多值函數(shù)不存在逆,又不能進行四則運算,因而缺少研究價值的緣故.?16?數(shù)學(xué)教育研究2009年第1期3函數(shù)關(guān)系說的利弊分析在定義關(guān)系的基礎(chǔ)上

8、,也可定義函數(shù)概念把函數(shù)關(guān)系看作一個特殊的關(guān)系.設(shè)R是一個二元關(guān)系,如果還滿足(z,Y)R,(zt,)ER,一定有yY2,則稱R是函數(shù)關(guān)系.因此,函數(shù)就是兩個集合的關(guān)系,但兩個集合的關(guān)系不一定是函數(shù).例如:設(shè)X=1,2,3),Y一4,5,6,7),令R一(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7),這里對于X中的元素1,對應(yīng)y中的元素4和6;3對應(yīng)5和7.所以R是由X到y(tǒng)的關(guān)系,而不是函數(shù).由此可見,關(guān)系和函數(shù)雖然都是刻劃兩集合元素之間的聯(lián)系,但是有區(qū)別的.函數(shù)的定義域是某個集合的全體,而不能是這個集合的真子集,在”關(guān)系說”對函數(shù)的定義中,對于任給的xEX,則存在唯一的yEY與之

9、對應(yīng).而僅對關(guān)系而言,對于任給的XX,可以有多于一個的y中的元素與之對應(yīng),所以函數(shù)是一種特殊的關(guān)系.現(xiàn)在再回顧”對應(yīng)說”,那里雖然突出了對應(yīng)法則,但什么是對應(yīng)法則廠?尚欠明確,顯得含糊.我們說,y一廠(z),這個式子除表示”y是X的函數(shù)外”,還表示該函數(shù)的具體內(nèi)容,也即由如何算出Y.另外,若有另一函數(shù)=g(z),一般說來廠g.但廠和g又怎樣區(qū)分呢?怎樣彌補函數(shù)”對應(yīng)說”的這個缺陷呢?就要借助于”關(guān)系說”了.“關(guān)系說”雖較抽象,一般中學(xué)生較難接受,但”關(guān)系說”卻把”變量說”中含糊不清的,”對應(yīng)說”中避開交代其內(nèi)容的”對應(yīng)法則廠,通過對關(guān)系添加一個附加條件,把”對應(yīng)說”定義的函數(shù)關(guān)系作外延式的數(shù)學(xué)

10、化描繪,這樣,函數(shù)概念就完全明確了,它無非是一張理想的表(包括無限多個精確的數(shù)據(jù)),借此,可以按的值查找出Y的值.總之,”關(guān)系說”將函數(shù)用集合論的語言加以敘述,除集合論的概念外,沒有使用其他未經(jīng)定義的日常語言,因而是完全數(shù)學(xué)化了的,也便于為計算機所接受.然而,”關(guān)系說”過于形式化,抽去了函數(shù)關(guān)系生動形象的直觀變量的運動特征,看不出對應(yīng)關(guān)系,更沒有解析式的表達,對初學(xué)者不易掌握,在推論中多有不便.綜上所述,函數(shù)的三種說法各有優(yōu)點,也各有缺點,應(yīng)視具體情況加以運用.責(zé)任編校董伸華(上接第2頁)戊丙辛庚,.z戊丙甲丁圖(5)由這兩組圖形我們可以看出,利瑪竇在當(dāng)時給周圍的人介紹了西方三角函數(shù).介紹的不

11、僅有上面提及的正(余)弦函數(shù)和正(余)矢函數(shù),而且還應(yīng)有正(余)切函數(shù)和正(余)割函數(shù)在圖五中有明顯的正切,余切,正割和余割標(biāo)示.不僅介紹了概念,而且也應(yīng)當(dāng)介紹了它們之間的關(guān)系,如sin.口+COSa一1,tg+1=sec,等因為根據(jù)圖形這些關(guān)系是顯然的.在上述兩個圖形之后,此書還有一個圖形如圖(6)所示.這個圖形說明是:”角度:凡三角形佛三角之度皆成兩象限.假如乙甲丁勾股形,其丁角五十五度,當(dāng)乙丙弧,則乙角必三十五度,當(dāng)乙庚余弧.兩角共一象限,九十度.其甲角正方,原系一,甲丁l卯丑圖(6)九十度,合三角成一百八十度.,L”由此看出利瑪竇在這里還介紹了西方數(shù)學(xué)中關(guān)于三角形內(nèi)角和的概念.綜上,利瑪竇在我國傳教期間傳人了我國西方三角函數(shù)知識,他應(yīng)是傳人我國三角函數(shù)知識的第一人.其介紹的三角函數(shù)知識有現(xiàn)代角度概念,三角函數(shù)概念,正余弦函數(shù)表及其應(yīng)用等.這些內(nèi)容雖然不是太多,但是卻是系統(tǒng)的和明了的,易于學(xué)習(xí)和掌握.他介紹的這些知識和他與李之藻共同創(chuàng)造的相關(guān)概念正弦,余弦等應(yīng)當(dāng)后來西方傳教士編寫崇禎歷書時全面?zhèn)魅胛覈鞣饺呛瘮?shù)知識的前期基礎(chǔ).參考文獻:Eli昊文俊.中國數(shù)學(xué)史大系(第七卷)M.北京:北京師范大學(xué)出版社,2000.53.2方豪.李我存研究M.杭州:我存雜志社,193