量子力學(xué)_1.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

1、第1章波函數(shù)與波函數(shù)與SchrdingerSchrdinger方程方程 1E h,h p并稱之為物質(zhì)波并稱之為物質(zhì)波.E與動(dòng)量為與動(dòng)量為 和能量為和能量為 的粒子相應(yīng)的波的波長的粒子相應(yīng)的波的波長 和頻率和頻率 為為p1.1.1 實(shí)物粒子的波動(dòng)性實(shí)物粒子的波動(dòng)性0m 在在Planck-Einstein的光量子論（光具有的光量子論（光具有波粒二波粒二象性象性）的啟發(fā)下，面對(duì)）的啟發(fā)下，面對(duì)Bohr的原子的量子論取得的的原子的量子論取得的成功和碰到的困難，成功和碰到的困難，de Broglie(1923)提出了實(shí)物粒提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量子（靜質(zhì)量 的粒子，例如電子），也具有波的粒子，例如電子），

2、也具有波粒二象性粒二象性（wave-particle duality）的假設(shè)的假設(shè).即即 為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現(xiàn)為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現(xiàn)的量子特征，先對(duì)比一下用經(jīng)典粒子（例如子的量子特征，先對(duì)比一下用經(jīng)典粒子（例如子彈）與經(jīng)典波（例如聲波）來做類似的雙縫實(shí)驗(yàn)彈）與經(jīng)典波（例如聲波）來做類似的雙縫實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的結(jié)果。 粒子的雙縫干涉是最直觀地展現(xiàn)粒子的雙縫干涉是最直觀地展現(xiàn)波粒二象性的實(shí)驗(yàn)波粒二象性的實(shí)驗(yàn),也是量子力學(xué)中也是量子力學(xué)中最難理解的現(xiàn)象最難理解的現(xiàn)象.We can not explain how it works; We will just tell yo

3、u how it works.1.3(a)圖圖 中，一挺機(jī)槍從遠(yuǎn)處向靶子進(jìn)行點(diǎn)射，機(jī)槍與中，一挺機(jī)槍從遠(yuǎn)處向靶子進(jìn)行點(diǎn)射，機(jī)槍與靶子之間有一堵子彈不能穿透的墻，墻上有兩條縫靶子之間有一堵子彈不能穿透的墻，墻上有兩條縫.當(dāng)當(dāng)只開縫只開縫 時(shí)，靶子上子彈的密度分布為時(shí)，靶子上子彈的密度分布為 . 1.3 a 1x1 當(dāng)雙縫齊開時(shí)，經(jīng)過縫當(dāng)雙縫齊開時(shí)，經(jīng)過縫 的子彈與經(jīng)過縫的子彈與經(jīng)過縫 的子的子彈，各不相干地一粒一粒地達(dá)到靶上，所以靶上子彈，各不相干地一粒一粒地達(dá)到靶上，所以靶上子彈密度的分布簡單地等于兩個(gè)密度和彈密度的分布簡單地等于兩個(gè)密度和21 1212xxx子彈經(jīng)過縫子彈經(jīng)過縫 的運(yùn)動(dòng)軌道的

4、運(yùn)動(dòng)軌道, 與縫與縫 存在與否，存在與否，并無關(guān)系并無關(guān)系. 1 2 2 1 2x2當(dāng)只開縫當(dāng)只開縫 時(shí)時(shí),靶上子彈的密度分布為靶上子彈的密度分布為 ；結(jié)論結(jié)論1.3(b)圖圖 給出聲波的雙縫干涉圖像給出聲波的雙縫干涉圖像. 表示一個(gè)具有表示一個(gè)具有穩(wěn)定頻率穩(wěn)定頻率 的聲源的聲源,聲波經(jīng)過一個(gè)具有雙縫的隔音板聲波經(jīng)過一個(gè)具有雙縫的隔音板,在它后面有一個(gè)在它后面有一個(gè)“吸音板吸音板”,到達(dá)板上的聲波將被吸到達(dá)板上的聲波將被吸收收,并把聲波強(qiáng)度分布表示出來并把聲波強(qiáng)度分布表示出來. 1.3 bS1212III當(dāng)只開縫當(dāng)只開縫 時(shí)，顯示出聲波強(qiáng)度分布用時(shí)，顯示出聲波強(qiáng)度分布用 描述描述.當(dāng)當(dāng)只開縫只

5、開縫 時(shí)時(shí),強(qiáng)度分布用強(qiáng)度分布用 描述描述.當(dāng)雙縫齊開時(shí)，當(dāng)雙縫齊開時(shí)，強(qiáng)度分布用強(qiáng)度分布用 描述描述.1 1Ix 2Ix2 12IxBA當(dāng)只開一條縫時(shí)聲音很強(qiáng)的地方（例如當(dāng)只開一條縫時(shí)聲音很強(qiáng)的地方（例如 點(diǎn)和點(diǎn)和 點(diǎn)）點(diǎn)）,在雙縫齊開時(shí)在雙縫齊開時(shí),聲音可能變得很弱聲音可能變得很弱.實(shí)驗(yàn)表明實(shí)驗(yàn)表明原因是由于出現(xiàn)了聲波的干涉現(xiàn)象原因是由于出現(xiàn)了聲波的干涉現(xiàn)象.下面通過對(duì)其干涉項(xiàng)的研究下面通過對(duì)其干涉項(xiàng)的研究,來具體找出經(jīng)典來具體找出經(jīng)典和量子的區(qū)別和量子的區(qū)別! 22121221h xhxh x hxhx hx 21212Ixh xhx 1212IxIxIxIx干涉項(xiàng) 2由于干涉項(xiàng)的影響，

6、經(jīng)典波的強(qiáng)度分布與經(jīng)典粒由于干涉項(xiàng)的影響，經(jīng)典波的強(qiáng)度分布與經(jīng)典粒子的密度分布大不相同子的密度分布大不相同. i22ethx設(shè)分別打開縫設(shè)分別打開縫 和縫和縫 時(shí)的聲波用時(shí)的聲波用 和和 描述，雙縫齊開時(shí)的聲音則用描述，雙縫齊開時(shí)的聲音則用 描述描述 ，因此聲波強(qiáng)度分布，因此聲波強(qiáng)度分布為為1 i21ethx2 i212eth xhx波的相干疊加性波的相干疊加性人們可以設(shè)想，如在圖人們可以設(shè)想，如在圖 所示實(shí)驗(yàn)中，用所示實(shí)驗(yàn)中，用 分子束來代替聲波，則觀測(cè)到的雙縫干涉圖像應(yīng)分子束來代替聲波，則觀測(cè)到的雙縫干涉圖像應(yīng)該沒有什么差異該沒有什么差異.但此時(shí)波的強(qiáng)度是代表被測(cè)到的但此時(shí)波的強(qiáng)度是代表被

7、測(cè)到的 60C 分子的計(jì)數(shù)單位時(shí)間 1.3 b60C人們應(yīng)如何理解在干涉實(shí)驗(yàn)中人們應(yīng)如何理解在干涉實(shí)驗(yàn)中 分子所展現(xiàn)出的這種波粒二象分子所展現(xiàn)出的這種波粒二象性呢性呢？60C 人們對(duì)物質(zhì)粒子波動(dòng)性的理解，曾經(jīng)經(jīng)歷過一人們對(duì)物質(zhì)粒子波動(dòng)性的理解，曾經(jīng)經(jīng)歷過一場激烈的爭論，包括波動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人場激烈的爭論，包括波動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人Schrdinger, de Broglie等在內(nèi)的一些人，對(duì)于物質(zhì)粒子波動(dòng)性等在內(nèi)的一些人，對(duì)于物質(zhì)粒子波動(dòng)性的見解，都曾經(jīng)深受經(jīng)典概念的影響，他們?cè)?jīng)把的見解，都曾經(jīng)深受經(jīng)典概念的影響，他們?cè)?jīng)把電子波理解為電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即看成三維空電子波理解為電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即看

8、成三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包，因而呈現(xiàn)出干涉與間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包，因而呈現(xiàn)出干涉與衍射等現(xiàn)象，波包的大小即電子的大小，波包的群衍射等現(xiàn)象，波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度.1.1.2 波粒二象性的分析波粒二象性的分析 522dd0ddgvkkm2= k2m=2k 3稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。例如，在例如，在非相對(duì)論情況非相對(duì)論情況下，自由粒子能量下，自由粒子能量 利用利用de Broglie關(guān)系，可得關(guān)系，可得2E= p2mddgvkk mp mv 4所以波包的群速度（見附錄所以波包

9、的群速度（見附錄 ）為）為A1即經(jīng)典例子的速度即經(jīng)典例子的速度.但由于但由于 依賴于依賴于gvk自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴(kuò)散,即使原來的波包即使原來的波包很窄很窄,在經(jīng)歷一段時(shí)間后在經(jīng)歷一段時(shí)間后,也會(huì)擴(kuò)散到很大的空間中也會(huì)擴(kuò)散到很大的空間中去去;或者形象地說或者形象地說,隨時(shí)間的推移隨時(shí)間的推移,粒子將越來越粒子將越來越“胖胖”.這與實(shí)驗(yàn)是矛盾的這與實(shí)驗(yàn)是矛盾的.物質(zhì)波包的觀點(diǎn)顯然夸大了波動(dòng)性一面物質(zhì)波包的觀點(diǎn)顯然夸大了波動(dòng)性一面,而實(shí)際而實(shí)際上抹殺了粒子性的一面上抹殺了粒子性的一面,是帶有片面性的是帶有片面性的。與物質(zhì)波相反的另一種看法是與物質(zhì)波相反的另一種看法

10、是:波動(dòng)性是由于大波動(dòng)性是由于大量電子分布于空間形成的疏密波量電子分布于空間形成的疏密波.它類似于空氣它類似于空氣振動(dòng)出現(xiàn)的縱波振動(dòng)出現(xiàn)的縱波,即由于分子密度疏密相間而形即由于分子密度疏密相間而形成的一種分布成的一種分布.這種看法也與實(shí)驗(yàn)矛盾這種看法也與實(shí)驗(yàn)矛盾. 實(shí)際上可以通過做這樣的電子衍射實(shí)驗(yàn)實(shí)際上可以通過做這樣的電子衍射實(shí)驗(yàn),讓入射讓入射電子流極其微弱電子流極其微弱.電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過儀器電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過儀器.但但只要時(shí)間足夠長，底片上仍將出現(xiàn)衍射花樣只要時(shí)間足夠長，底片上仍將出現(xiàn)衍射花樣.這表明這表明電子的波動(dòng)性并不是很多電子在空間聚集在一起時(shí)電子的波動(dòng)性并不是很多電子在空

11、間聚集在一起時(shí)才呈現(xiàn)的現(xiàn)象才呈現(xiàn)的現(xiàn)象.單個(gè)電子就具有波動(dòng)性單個(gè)電子就具有波動(dòng)性.事實(shí)上事實(shí)上,正是正是由于單個(gè)點(diǎn)在具有波動(dòng)性由于單個(gè)點(diǎn)在具有波動(dòng)性,才能理解氫原子（只含一才能理解氫原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象樣一些量子現(xiàn)象. 因此因此,把波動(dòng)性看成大量電子分布于空間所形成把波動(dòng)性看成大量電子分布于空間所形成的疏密波的看法也是不正確的的疏密波的看法也是不正確的,它夸大了粒子性的一它夸大了粒子性的一面面,而實(shí)際上抹殺了粒子波動(dòng)性一面而實(shí)際上抹殺了粒子波動(dòng)性一面,也帶有片面性也帶有片面性. 然而電子究竟是什么東西

12、？是粒子？還是波？然而電子究竟是什么東西？是粒子？還是波？“電子既不是粒子電子既不是粒子,也不是波也不是波”.更確切地說更確切地說,它既不是它既不是經(jīng)典例子經(jīng)典例子,也不是經(jīng)典的波也不是經(jīng)典的波.我們也可以說我們也可以說,電子既是粒電子既是粒子子,也是波也是波,它是粒子性和波動(dòng)性兩重性矛盾的統(tǒng)一它是粒子性和波動(dòng)性兩重性矛盾的統(tǒng)一.但但這個(gè)波不再是經(jīng)典概念下的波這個(gè)波不再是經(jīng)典概念下的波,粒子也不是經(jīng)典概念粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子中的粒子.在經(jīng)典概念下在經(jīng)典概念下,粒子與波的確是難以統(tǒng)一到同一客體粒子與波的確是難以統(tǒng)一到同一客體上去上去然而究竟應(yīng)該怎樣理解波然而究竟應(yīng)該怎樣理解波粒二象性呢？粒

13、二象性呢？ 把粒子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來，更確切地說，把把粒子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來，更確切地說，把微觀粒子的微觀粒子的“原子性原子性”與波的與波的“相干疊加性相干疊加性”統(tǒng)統(tǒng)一起來的一起來的是是M.Born(1926)提出的概率波提出的概率波. 仔細(xì)分析一下實(shí)驗(yàn)可以看出，仔細(xì)分析一下實(shí)驗(yàn)可以看出，電子所呈現(xiàn)的粒電子所呈現(xiàn)的粒子性，只是經(jīng)典粒子概念中的子性，只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性原子性”或或“顆粒顆粒型型”，即總是以具有一定質(zhì)量和電荷等屬性的客體，即總是以具有一定質(zhì)量和電荷等屬性的客體出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中，但并不與出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中，但并不與“粒子有確切的軌道粒子有確切的軌道”的的概念有必然的聯(lián)系概念有必然的

14、聯(lián)系.而而電子呈現(xiàn)的波動(dòng)性，也只不過電子呈現(xiàn)的波動(dòng)性，也只不過是波動(dòng)最本質(zhì)的東西是波動(dòng)最本質(zhì)的東西波的相干疊加性，波的相干疊加性，但并不但并不一定與某種實(shí)在的物理量在空間的波動(dòng)聯(lián)系在一起一定與某種實(shí)在的物理量在空間的波動(dòng)聯(lián)系在一起.1.1.3 概率波，多粒子體系的波函數(shù)概率波，多粒子體系的波函數(shù) 現(xiàn)在來分析電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，設(shè)入射電子現(xiàn)在來分析電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，設(shè)入射電子流很微弱，流很微弱，電子幾乎是一個(gè)一個(gè)地經(jīng)過雙縫電子幾乎是一個(gè)一個(gè)地經(jīng)過雙縫，然后，然后在感光底片上被記錄下來在感光底片上被記錄下來.起初，當(dāng)感光時(shí)間較短時(shí)，起初，當(dāng)感光時(shí)間較短時(shí)，底片上出現(xiàn)一些點(diǎn)子，它們的分布看起來沒有

15、什么底片上出現(xiàn)一些點(diǎn)子，它們的分布看起來沒有什么規(guī)律規(guī)律.當(dāng)感光時(shí)間足夠長時(shí)，底片上感光點(diǎn)子愈來愈當(dāng)感光時(shí)間足夠長時(shí)，底片上感光點(diǎn)子愈來愈多，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些地方點(diǎn)子很密，有些地方幾乎沒多，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些地方點(diǎn)子很密，有些地方幾乎沒與點(diǎn)子與點(diǎn)子.最后，底片上的感光點(diǎn)子的密度分布將構(gòu)成最后，底片上的感光點(diǎn)子的密度分布將構(gòu)成一個(gè)有規(guī)律的花樣，與一個(gè)有規(guī)律的花樣，與X光衍射中出現(xiàn)的花樣完全相光衍射中出現(xiàn)的花樣完全相似似，就強(qiáng)度分布來講，與經(jīng)典波（例如聲波、壓強(qiáng)，就強(qiáng)度分布來講，與經(jīng)典波（例如聲波、壓強(qiáng)波）是相似的，而與機(jī)槍子彈上的密度分布完全不波）是相似的，而與機(jī)槍子彈上的密度分布完全不同同.這種現(xiàn)象應(yīng)怎

16、樣理解呢？這種現(xiàn)象應(yīng)怎樣理解呢？原來，在底片原來，在底片 點(diǎn)附近干涉花樣的強(qiáng)度點(diǎn)附近干涉花樣的強(qiáng)度r在在 點(diǎn)附近感光點(diǎn)子的數(shù)目點(diǎn)附近感光點(diǎn)子的數(shù)目r在在 點(diǎn)附近出現(xiàn)電子的數(shù)目點(diǎn)附近出現(xiàn)電子的數(shù)目r設(shè)干涉波波幅用設(shè)干涉波波幅用 描述，與光學(xué)中相似，干涉花描述，與光學(xué)中相似，干涉花樣的強(qiáng)度在空間的分布則用樣的強(qiáng)度在空間的分布則用 來描述來描述.但這里干但這里干涉強(qiáng)度涉強(qiáng)度 的意義與經(jīng)典波根本不同，它是刻畫電的意義與經(jīng)典波根本不同，它是刻畫電子出現(xiàn)在子出現(xiàn)在 附近的概率大小的一個(gè)量附近的概率大小的一個(gè)量. 2 x 2rr r電子出現(xiàn)在電子出現(xiàn)在 附近的概率附近的概率r更確切的說，更確切的說， 表示在

17、表示在 點(diǎn)處的體積元點(diǎn)處的體積元 中找到中找到粒子的概率粒子的概率.這就是這就是Born提出的波函數(shù)的提出的波函數(shù)的概率詮釋概率詮釋. 2xx y z rx y z 23d1r全r3dd d drx y z 6這稱為這稱為波函數(shù)的歸一化條件波函數(shù)的歸一化條件.但應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，對(duì)于但應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，對(duì)于概率分布來說，重要的是概率分布來說，重要的是相對(duì)概率分布相對(duì)概率分布.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，很自然要求該粒子根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，很自然要求該粒子（不產(chǎn)生，不湮沒）在空間各點(diǎn)的概率之總和（不產(chǎn)生，不湮沒）在空間各點(diǎn)的概率之總和為為 ，即要求波函數(shù)，即要求波函數(shù) 滿足下列條件滿足下列條件. r1 221122

18、CCrrrr 7不難看出，不難看出， 與與 （ 為常數(shù)）所描述的相對(duì)概為常數(shù)）所描述的相對(duì)概率分布是完全相同的。因此在空間任意兩點(diǎn)率分布是完全相同的。因此在空間任意兩點(diǎn) 和和 處，處， 描述的粒子相對(duì)概率為描述的粒子相對(duì)概率為1r CrC2r r Cr r與與 描述的相對(duì)概率完全相同描述的相對(duì)概率完全相同.換言之，換言之， 與與 描述的是同一個(gè)概率波描述的是同一個(gè)概率波.所以，波函數(shù)有一個(gè)所以，波函數(shù)有一個(gè)常數(shù)因常數(shù)因子不定性子不定性.在這一點(diǎn)上，在這一點(diǎn)上，概率波概率波與與經(jīng)典波經(jīng)典波有本質(zhì)的差有本質(zhì)的差別別.一個(gè)經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)的一個(gè)經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)

19、的能量將為原來的能量將為原來的4倍，因而代表完全倍，因而代表完全 r Cr不同的波動(dòng)狀態(tài)不同的波動(dòng)狀態(tài).正因?yàn)槿绱?，正因?yàn)槿绱?，?jīng)典波根本談不上經(jīng)典波根本談不上“歸一化歸一化”，而概率波則可以進(jìn)行歸一化，而概率波則可以進(jìn)行歸一化.因?yàn)椋驗(yàn)?，假設(shè)假設(shè)則顯然有則顯然有但但 與與 描述的同一個(gè)概率波描述的同一個(gè)概率波. 沒有歸一沒有歸一化，而化，而 是歸一化的是歸一化的. 稱為稱為歸一化因子歸一化因子. -1 2Ar r-1 2A -1 2Ar r 23d0rA全實(shí)常數(shù)r平方可積 8 9 231d1rA全r 波函數(shù)歸一化與否，波函數(shù)歸一化與否，并不影響概率分布有何變化并不影響概率分布有何變化. 還

20、應(yīng)提到，即使加上歸一化條件，波函數(shù)仍然還應(yīng)提到，即使加上歸一化條件，波函數(shù)仍然有一個(gè)模為有一個(gè)模為1的相因子的不定性，或者說，相位不定的相因子的不定性，或者說，相位不定性性.因?yàn)?，假設(shè)因?yàn)?，假設(shè) 是歸一化的波函數(shù)，則是歸一化的波函數(shù)，則 （為常實(shí)數(shù)）也是歸一化的，而（為常實(shí)數(shù)）也是歸一化的，而 與與 描述描述的是同一概率波的是同一概率波. ra r eiar eiar2331212,ddrrr r以上討論的是單個(gè)粒子的波函數(shù)以上討論的是單個(gè)粒子的波函數(shù).設(shè)一個(gè)體系包含設(shè)一個(gè)體系包含兩個(gè)粒子，波函數(shù)用兩個(gè)粒子，波函數(shù)用 表示，其物理意義是表示，其物理意義是12,r r1012,Nr rr注意注意

21、表示測(cè)得粒子表示測(cè)得粒子 1 在空間體積元在空間體積元 中、同時(shí)粒中、同時(shí)粒子子 2 在空間體積元在空間體積元 中的概率中的概率.111,dr rr222,dr rr 描述的不是描述的不是 維空間中某種實(shí)在維空間中某種實(shí)在物理量的波動(dòng)，而是物理量的波動(dòng)，而是 維空間中的概率波維空間中的概率波.這個(gè)這個(gè) 維維空間只不過是標(biāo)記一個(gè)具有空間只不過是標(biāo)記一個(gè)具有 個(gè)自由度的體系的坐個(gè)自由度的體系的坐標(biāo)的抽象空間標(biāo)的抽象空間. 3612,r r66對(duì)于對(duì)于 個(gè)粒子組成的體系，它的波函數(shù)表示為個(gè)粒子組成的體系，它的波函數(shù)表示為N其中其中 分別分別表示各粒子的空間坐標(biāo)表示各粒子的空間坐標(biāo).此時(shí)此時(shí)1111x

22、 ,y ,z,r2222,xyzr,NNNNrxyz23331212,dddNNrrrr rr表示表示 粒子粒子1出現(xiàn)在出現(xiàn)在 中，中，111,dr rr 同時(shí)粒子同時(shí)粒子 2 出現(xiàn)在出現(xiàn)在 中，中，222,dr rr同時(shí)粒子同時(shí)粒子N出現(xiàn)在出現(xiàn)在 中，中，,dNNNrrr23331212ddd=1NN, ,rrr全r rr2d=d 全全，11歸一化條件表示為歸一化條件表示為以后，為了表述方便，引進(jìn)符號(hào)以后，為了表述方便，引進(jìn)符號(hào)其中其中 代表對(duì)體系的全部坐標(biāo)空間進(jìn)行積分代表對(duì)體系的全部坐標(biāo)空間進(jìn)行積分.d全所以所以 描述的是抽象的描述的是抽象的 維維位形空間位形空間（configuratio

23、n space)中的中的概率波概率波.3N12,Nr rrd =dx全111d=ddddddNNNxyzxyz全,1 12d =d d dx y z全這樣，這樣，歸一化條件歸一化條件就可以簡單表示為就可以簡單表示為對(duì)于一維粒子對(duì)于一維粒子對(duì)于三維粒子對(duì)于三維粒子對(duì)于對(duì)于N維粒子組成的體系維粒子組成的體系按照已為衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)的按照已為衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)的de Broglie關(guān)系，若關(guān)系，若 為一個(gè)平面單色波（波長為一個(gè)平面單色波（波長 ，頻率，頻率 ），則相應(yīng)的），則相應(yīng)的粒子動(dòng)量為粒子動(dòng)量為 ，能量為，能量為 .在一般情況下，在一般情況下， 是一個(gè)是一個(gè)波包波包，有許多平面單色波疊加而成，即含，有許

24、多平面單色波疊加而成，即含有各種波長（頻率）的有各種波長（頻率）的分波分波.因而相應(yīng)的粒子動(dòng)量因而相應(yīng)的粒子動(dòng)量（能量）有一個(gè)分布，與測(cè)量的位置相似，也可（能量）有一個(gè)分布，與測(cè)量的位置相似，也可以設(shè)計(jì)某種實(shí)驗(yàn)裝置來測(cè)量粒子的動(dòng)量，晶體衍以設(shè)計(jì)某種實(shí)驗(yàn)裝置來測(cè)量粒子的動(dòng)量，晶體衍射實(shí)驗(yàn)就是其中的一種射實(shí)驗(yàn)就是其中的一種.=p=E h不難想象，與不難想象，與 表示粒子在坐標(biāo)空間中的概率表示粒子在坐標(biāo)空間中的概率密度相似，密度相似， 表示粒子的表示粒子的動(dòng)量分布動(dòng)量分布的概率密度的概率密度. 2p 2r1.1.4 動(dòng)量分布概率動(dòng)量分布概率 i33 21ed2pp rrp13 i33 21ed2rp

25、 rpr14這里這里 是是 按平面波展開（按平面波展開（Fourier展開）的展開）的波幅，即波幅，即 r p其逆表示為其逆表示為注意注意 代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，所以粒的成分，所以粒子動(dòng)量為子動(dòng)量為 的概率與的概率與 成比例是自然的，即粒成比例是自然的，即粒子動(dòng)量在子動(dòng)量在 范圍中的概率為范圍中的概率為 . 2p 2p riep r 23d ppp, +dp pp不難證明不難證明 2233dd1prpr15 3d ppp 33d drrrrrr i33331dd de2prrpr rrr 23d1rr16因?yàn)槔霉揭驗(yàn)槔霉?及及Fourier積分公式，可得積分公式，

26、可得1417sin,nnnhapa=1,2,3,n1.4下面來分析電子衍射實(shí)驗(yàn)（圖下面來分析電子衍射實(shí)驗(yàn)（圖 ）.設(shè)電子（動(dòng)設(shè)電子（動(dòng)量為量為 ）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具有一定波長有一定波長 的平面波，則衍射波將沿一定的平面波，則衍射波將沿一定的角度的角度 出射，出射， 由下式（由下式（Bragg公式）決定公式）決定n=h ppn17式式 給出了衍射角給出了衍射角 （特別是（特別是 ）與入射粒子動(dòng)）與入射粒子動(dòng)量量 的確定關(guān)系的確定關(guān)系.如果入射波是一個(gè)如果入射波是一個(gè)波包波包，它的，它的每一個(gè)每一個(gè)Fourier分波（平面波）將各自按照一定的分波

27、（平面波）將各自按照一定的角分布角分布 出射出射.p1nn沿沿 角出射的波的幅度角出射的波的幅度 正比于入射波包中相正比于入射波包中相應(yīng)的應(yīng)的Fourier分波的幅度，因而沿分波的幅度，因而沿 方向的衍射方向的衍射波強(qiáng)度波強(qiáng)度 .在衍射過程中，波長未在衍射過程中，波長未改變，即粒子動(dòng)量的值未改變（雖然方向改變改變，即粒子動(dòng)量的值未改變（雖然方向改變了）了）.所以，對(duì)于一個(gè)例子，它在所以，對(duì)于一個(gè)例子，它在 方向被測(cè)到的方向被測(cè)到的概 率概 率 ， 即 粒 子 動(dòng) 量 為即 粒 子 動(dòng) 量 為 的 概 率的 概 率 f 22fpp 22fp 2p1616 Born對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，把波粒二象性

28、統(tǒng)對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，把波粒二象性統(tǒng)一到概率波的概念上一到概率波的概念上.在此概念中，經(jīng)典波的概念在此概念中，經(jīng)典波的概念只是部分地（只是部分地（波的疊加性波的疊加性）被保留下來，而另一部）被保留下來，而另一部分內(nèi)容則被摒棄分內(nèi)容則被摒棄.所以經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的圖像和概念所以經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的圖像和概念對(duì)于微觀粒子不可能全盤適對(duì)于微觀粒子不可能全盤適.Heisenberg的不確定的不確定關(guān)系（關(guān)系（uncertainty relation）對(duì)此做了做集中和）對(duì)此做了做集中和最形象的概括最形象的概括.不確定關(guān)系不確定關(guān)系Heisenberg于于1927年根年根據(jù)逆向思維，并對(duì)一些理想實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析和利用據(jù)

29、逆向思維，并對(duì)一些理想實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析和利用De-Broglie關(guān)系而得出的關(guān)系而得出的.1.1.5 不確定關(guān)系不確定關(guān)系不確定關(guān)系表明，微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量不確定關(guān)系表明，微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動(dòng)量不能同時(shí)具有完全確定的值，這是波粒二象性的反不能同時(shí)具有完全確定的值，這是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照映，在物理上可以如下理解：按照de Broglie關(guān)關(guān)系系 ，由于波長，由于波長 是描述波在空間變化快慢是描述波在空間變化快慢的量，是與整個(gè)波動(dòng)關(guān)系聯(lián)系的量，因此正如的量，是與整個(gè)波動(dòng)關(guān)系聯(lián)系的量，因此正如“在在空間某一點(diǎn)空間某一點(diǎn) 的波長的波長”的提法是沒有意義一樣，的提法

30、是沒有意義一樣，“微粒子在空間某一點(diǎn)微粒子在空間某一點(diǎn) 的動(dòng)量的動(dòng)量”的提法也同樣的提法也同樣沒有意義沒有意義.這樣，這樣，粒子運(yùn)動(dòng)軌道的概念就沒有意義粒子運(yùn)動(dòng)軌道的概念就沒有意義. xx=p h與經(jīng)典不與經(jīng)典不同！同！18 2+3-=dxxrr19 2+3-=dVVrrr粒子處于波函數(shù)粒子處于波函數(shù) 所描述的狀態(tài)下，雖然不是所描述的狀態(tài)下，雖然不是所有力學(xué)量都具有確定的值，但它們都有所有力學(xué)量都具有確定的值，但它們都有確定的確定的分布分布，因而有確定的，因而有確定的平均值平均值.例如位置例如位置 的平均值的平均值為為 rx這里假定了波函數(shù)已歸一化這里假定了波函數(shù)已歸一化.又例如勢(shì)能又例如勢(shì)能

31、 的平的平均值為均值為 V r1.1.6 力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn)力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn) 23dprprr20 33 21 ed2irp rpr21前面已提到，由于前面已提到，由于波粒二象性波粒二象性，“粒子在空間某粒子在空間某一點(diǎn)的動(dòng)量一點(diǎn)的動(dòng)量”的提法是沒有意義的的提法是沒有意義的.因此不能像求因此不能像求勢(shì)能平均值那樣來求動(dòng)量平均值，即勢(shì)能平均值那樣來求動(dòng)量平均值，即我們必須換一種方法來處理這問題我們必須換一種方法來處理這問題.按前面所述，給定波函數(shù)按前面所述，給定波函數(shù) 之后，測(cè)得粒子之后，測(cè)得粒子動(dòng)量在動(dòng)量在 中的概率為中的概率為 ，其中，其中, +dp pp r 23d pp

32、 33i 3 21d die2rp p rrp 33i 3 21d de2prp rrpp 233=ddpppppppp 3=dir rr22注注意意因此可以借助因此可以借助 來間接計(jì)算動(dòng)量的平均值（利用式來間接計(jì)算動(dòng)量的平均值（利用式 （13）和）和 （14）p 這樣，我們就找到了用這樣，我們就找到了用 來直接計(jì)算動(dòng)量來直接計(jì)算動(dòng)量平均值的公式，而不必借助于平均值的公式，而不必借助于 的的Fourier變換變換 來間接計(jì)算（見式來間接計(jì)算（見式 ， ）.但只是就出現(xiàn)了但只是就出現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)工具一種新的數(shù)學(xué)工具 .算符算符21 p r r22令令=-i p23則式則式 可表成可表成22 3

33、= d rprpr24 稱為稱為動(dòng)量算符動(dòng)量算符. p 上式表明，動(dòng)量平均值與波函數(shù)上式表明，動(dòng)量平均值與波函數(shù) 的梯度密的梯度密切相關(guān)切相關(guān).這是可以理解的，因?yàn)榘凑者@是可以理解的，因?yàn)榘凑誨e Broglie關(guān)關(guān)系，動(dòng)量與波長的倒數(shù)（波數(shù)）成比例，所以系，動(dòng)量與波長的倒數(shù)（波數(shù)）成比例，所以波波函數(shù)的梯度愈大函數(shù)的梯度愈大，即波長愈短（波數(shù)愈大），即波長愈短（波數(shù)愈大），動(dòng)動(dòng)量平均值也就愈大量平均值也就愈大. r 3= d ,TTrrr2522=-2Tm（動(dòng)能算符（動(dòng)能算符） 動(dòng)能動(dòng)能 和角動(dòng)量和角動(dòng)量 的平均值也可的平均值也可類似求出類似求出2=2Tpm= l rp 3= d , rlr

34、lr26（角動(dòng)量算符）（角動(dòng)量算符）= l rpxizylypzpyzzy yixzlzpxpzxxz ziyxlxpypxyyx 27 是一個(gè)矢量算符，它的三個(gè)分量可以表示為是一個(gè)矢量算符，它的三個(gè)分量可以表示為l 3 d,AArArr2928=,AA 一般來說，粒子的力學(xué)量一般來說，粒子的力學(xué)量 的的平均值平均值可如可如下求出下求出:A 是力學(xué)量是力學(xué)量 相應(yīng)的算符相應(yīng)的算符.如波函數(shù)未歸一化，如波函數(shù)未歸一化，則則AA 統(tǒng)計(jì)詮釋統(tǒng)計(jì)詮釋賦予了波函數(shù)確切的物理含義賦予了波函數(shù)確切的物理含義.根據(jù)根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋統(tǒng)計(jì)詮釋（a）根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋，要求）根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋，要求 取有限值似取有限值似乎是必要的，即要求乎是必要的，即要求 取有限值，但應(yīng)注取有限值，但應(yīng)注意，意， 只是表示概率密度，而在物理上只要只是表示概率密度，而在物理上只要求