第十一章微擾論2ppt課件

1、第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第1頁第十一章第十一章 微微 擾擾 論論本本 章章 要要 求求1. 掌握束縛定態(tài)非簡并和簡并情況微擾理掌握束縛定態(tài)非簡并和簡并情況微擾理論。論。2.了解原子在外電場中的能級分裂了解原子在外電場中的能級分裂 斯斯 塔克效塔克效應(yīng)應(yīng)(定態(tài)微擾理論的應(yīng)用定態(tài)微擾理論的應(yīng)用) 。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第2頁教教 學(xué)學(xué) 內(nèi)內(nèi) 容容第十一章第十一章 微微 擾擾 論論;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Me

2、chanics Quantum Mechanics第3頁1 束縛定態(tài)微擾論束縛定態(tài)微擾論 （一引言（一引言 前幾章使用量子力學(xué)的基本理論解決了一些簡單問題。如：前幾章使用量子力學(xué)的基本理論解決了一些簡單問題。如： （1 1一維無限深勢阱問題；一維無限深勢阱問題； （2 2線性諧振子問題；線性諧振子問題； （3 3勢壘貫穿問題；勢壘貫穿問題； （4 4氫原子問題。氫原子問題。 這些問題都給出了問題的精確解析解。這些問題都給出了問題的精確解析解。 然而，對于大量的實際物理問題，體系的然而，對于大量的實際物理問題，體系的 HamiltonHamilton量通常比較復(fù)雜，量通常比較復(fù)雜，SchrSch

3、rdingerdinger方程少方程少有精確解。因而，在處理復(fù)雜的實際問題時，往有精確解。因而，在處理復(fù)雜的實際問題時，往往采用合適的近似求解方法。往采用合適的近似求解方法。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第4頁 常用的近似方法：微擾論常用的近似方法：微擾論, , 變分法變分法, , 絕熱近絕熱近似似, , 準經(jīng)典近似等。準經(jīng)典近似等。 微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學(xué)中，計算行星運行軌道時，就體運行的天體物理學(xué)中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計

4、算中需要考慮其他行星影響的是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應(yīng)。二級效應(yīng)。 例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，可是例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，可是由于其它行星的影響，需要對軌道予以修正。在這由于其它行星的影響，需要對軌道予以修正。在這種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道( (無視擾動，可精確無視擾動，可精確求解求解) )，然后研究這個軌道受其它行星的影響視，然后研究這個軌道受其它行星的影響視為小擾動而發(fā)生的變化。為小擾動而發(fā)生的變化。;第第11 11章章 微擾論微擾

5、論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第5頁微擾法求問題的近似解分成兩類微擾法求問題的近似解分成兩類:（1體系體系Hamilton量不是時間的顯函數(shù)量不是時間的顯函數(shù)定態(tài)定態(tài)問題問題 定態(tài)微擾論第定態(tài)微擾論第10章）章）（2體系體系Hamilton量顯含時間量顯含時間狀態(tài)之間的躍狀態(tài)之間的躍遷問題遷問題 含時微擾論第含時微擾論第11章）章）;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第6頁 H0 稱為體系的未受擾稱為體系的未受擾Hamilton量，與之相比，量，與之相比，H 是一個小量，視為加是一

6、個小量，視為加于于H0上的微擾其確切定義見上的微擾其確切定義見2分析）。分析）。（二束縛定態(tài)微擾體系的基本方程（二束縛定態(tài)微擾體系的基本方程 設(shè)體系的設(shè)體系的Hamilton量不顯含時間量不顯含時間t，則能量本征，則能量本征值方程值方程 (1)nnnHE 若若H 可以分成兩部分：可以分成兩部分：0 (2)HHH其中其中H0所描寫的體系可以精確求解，即其本征方程所描寫的體系可以精確求解，即其本征方程(0)(0)(0)0 (3)nnnEH 可精確求解或已有已知解。可精確求解或已有已知解。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第7頁

7、1E2E3E4E 若沒有微擾（若沒有微擾（ H =0），則），則H就是就是H0，能量本征，能量本征值值En和本征態(tài)和本征態(tài) 就是就是 ；NoImage n (0)1E(0)2E(0)3E(0)4E圖圖1：受微擾后能級的移動：受微擾后能級的移動 微擾論的目的就是利用受擾前的微擾論的目的就是利用受擾前的 （精（精確解求微擾后體系的確解求微擾后體系的 （近似解）。（近似解）。(0)(0) nnE 、 nnE 、 微擾的引入使得微擾的引入使得體系的能級由體系的能級由 變?yōu)樽優(yōu)镋n，即能級發(fā)生移動如圖），即能級發(fā)生移動如圖）(0)nE;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics

8、 Quantum Mechanics第8頁為了明顯表示出微擾的微小程度，暫時將其寫為：為了明顯表示出微擾的微小程度，暫時將其寫為：(1 ) (4)HH 其中其中是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量因為因為 En 、 |n 都與微擾有關(guān)，可以把它們看成都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是是的函數(shù)而將其展開成的函數(shù)而將其展開成的冪級數(shù)的冪級數(shù)(微擾級數(shù)微擾級數(shù))：(0 )(1)2( 2)(0 )(1)2( 2)nnnnnnnnEEEE 得到得到E和和 的級數(shù)展開后，為簡單計再將的級數(shù)展開后，為簡單計再將抹去：抹去：n ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mec

9、hanics Quantum Mechanics第9頁(0 )(1)( 2) (5)nnnnEEEE (0 )(1)( 2) (6)nnnn ( 0 )nE體系能量的零級近似未受擾體系能量的零級近似未受擾時的能量）時的能量）(1)nE體系能量的一級近似體系能量的一級近似( 2 )nE體系能量的二級近似體系能量的二級近似 ，等等，等等( 0 )n 體系狀態(tài)的零級近似未受擾體系狀態(tài)的零級近似未受擾時的狀態(tài)）時的狀態(tài)）( 1 )n 體系狀態(tài)的一級近似體系狀態(tài)的一級近似體系狀態(tài)的二級近似，等等體系狀態(tài)的二級近似，等等( 2 )n ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics

10、Quantum Mechanics第10頁將將(2)、(5)、(6)式代入式代入(1)式，比較兩邊的同級項相等，式，比較兩邊的同級項相等，可得各級近似下的方程：可得各級近似下的方程：(0)(0)0 (7)()0nnHE (0)(1)(1)(0)0()( (8)nnnnHEEH(0)(2)(1)(1)(2)(0)0 (9()()+)nnnnnnHEEHE其中其中(7)式和式和(3)式一樣，代表零級近似下式一樣，代表零級近似下(未受擾未受擾)體體系的能量本征方程，可以精確求解。系的能量本征方程，可以精確求解。 (7) (9)式是束縛定態(tài)微擾體系的基本方程，是微式是束縛定態(tài)微擾體系的基本方程，是微擾

11、法的基礎(chǔ)。擾法的基礎(chǔ)。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第11頁(0)(1)(1)(0)(0)0nnnnnHEH以下約定：波函數(shù)的各高級近似和零級近似均正交以下約定：波函數(shù)的各高級近似和零級近似均正交(0)( )0, 1,2,. (10)snns以以 左乘左乘(8)式，并利用式，并利用(10)式得式得 (0)n (0)(1)(1)(0)(0)0nnnnnHEH (0)(0)(1)(1)(0)(0)nnnnnnEEH (0)(0)(1)(1)(0)(0)nnnnnnEEH (0)0nH ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Q

12、uantum Mechanics Quantum Mechanics第12頁(1)(0)(0) (11)nnnEH 類似地，以類似地，以 左乘左乘(9)式，并利用式，并利用(10)式得式得 (0)n (2)(0)(1) (12)nnnEH 再次使用再次使用(10)式，得到式，得到;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第13頁束縛定態(tài)微擾法的一般步驟束縛定態(tài)微擾法的一般步驟(0)(0)nnE 、求解求解(7)式得到式得到代入代入(11)式，式，計算計算(1)nE解解(8)式，式，得到得到(1)n 代入代入(12)式，式，得到得到

13、(2)nE解解(9)式，式，得到得到(2)n (0)(1)( 2) (5)nnnnEEEE (0)(1)(2) (6)nnnn ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第14頁2 非簡并定態(tài)微擾論非簡并定態(tài)微擾論 下面計算能量和波函數(shù)的各級微擾近似。下面計算能量和波函數(shù)的各級微擾近似。（一（一1 1級近似級近似 假設(shè)未受微擾時，體系的能級假設(shè)未受微擾時，體系的能級 不簡并，取定某一能級不簡并，取定某一能級 進行計算，則與之相進行計算，則與之相應(yīng)的本征態(tài)唯一確定：應(yīng)的本征態(tài)唯一確定： (0) (1,2,.)nEn (0)kE(0)

14、k （式（式(7) 解出或已有結(jié)果）解出或已有結(jié)果）根據(jù)根據(jù)(11)式，能級式，能級k的的1級微擾近似為：級微擾近似為：(1)(0)(0) (13)kkkEH H 的平均值的平均值下面計算波函數(shù)的一級近似。下面計算波函數(shù)的一級近似。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第15頁因為因為H0厄米，其本征函數(shù)厄米，其本征函數(shù) 正交、歸一、完備，正交、歸一、完備，故可將一級微擾近似波函數(shù)故可將一級微擾近似波函數(shù) 按按 展開展開(0)n (1)k (0)n (1)(1)(0) (14)knnna （H0表象）表象）(1)(0)(1)(

15、0)0)0 ()()nnnkkkaHEEH (14)式代入式代入(8)式先將其中的腳標(biāo)式先將其中的腳標(biāo)nk）以以 左乘上式，得左乘上式，得 (0)m (0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)0(0)(1)(0)(0)(0) mnnmknnnnmkkmkHaEaEH ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第16頁(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)0(1)(0)(0)(0)(0) nmnknmnnnkmkmkaHEaEH利用利用H0本征態(tài)的正交歸一性，得本征態(tài)的正交歸一性，得 (1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(

16、0)(1)(0)(0)(0)(0) nnmnknmnnnkmkmkaEEaEH(0)(0)(1)(1)() (15)mkmkmkmkEEaEH (0)(0) = (16)mkmkHH其中其中微擾矩陣元微擾矩陣元H 在在H0表象的矩陣表示表象的矩陣表示;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第17頁(0)(0)(1)(1)() (15)mkmkmkmkEEaEH u 若若m k，那么，那么(1)(0)(0) kkkkkEHH 此即為此即為(13)式。式。u 若若m k，那么，那么(1)(0)(0), (17)mkmkmHamkEE

17、 根據(jù)根據(jù)(10)式的約定，式的約定，(0)(1)(0)(1)(0)0kkknnna (1) 0 (18)ka;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第18頁(17)、(18)兩式代入兩式代入(14)式，得到波函數(shù)的一級近似：式，得到波函數(shù)的一級近似：(1)(0)(0)(0) (19)nkknnknHEE 上式中上式中 表示對表示對n求和時，求和時，n=k的項必須摒棄。的項必須摒棄。n 綜上，在一級近似下的綜上，在一級近似下的k能級本征值和本征態(tài)分別為：能級本征值和本征態(tài)分別為：(0 ) (20) kkkkEEH (0)(0)(

18、0)(0) (2 1 )nkkknnknHEE (0)(0) =nknkHH其中其中微擾矩陣元微擾矩陣元;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第19頁（二（二2 2級近似級近似(2)(0)(1)kkkEH 根據(jù)根據(jù)(12)式，能級式，能級k的的2級微擾近似：級微擾近似：(0)(0)(0)(0)nkknnknHHEE (0)(0)(0)(0)nkknnknHHEE (0)(0)=knknHH*nknkHH 利用微擾矩陣元的厄米性：利用微擾矩陣元的厄米性： (0)(0)nkH ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum M

19、echanics Quantum Mechanics第20頁(2)(0)(0)(2)(2)(0) (23)knnknnnna 2(2)(0)(0) (22)nkknknHEEE 最后得到最后得到態(tài)矢量的二級近似態(tài)矢量的二級近似 仿照其一級近似的推導(dǎo)，仿照其一級近似的推導(dǎo)，即令即令(2)k 將將(23)式代入式代入(9)式，并利用式，并利用(13)、(19)、(22)式，可式，可得結(jié)果：得結(jié)果：;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第21頁(2)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) 22(0)(0)(0) 2 1 (24)

20、2njjknkkkknnjknkjknnkknknH HH HEEEEEEHEE 綜上，在二級近似下的綜上，在二級近似下的k能級本征值和本征態(tài)分別為：能級本征值和本征態(tài)分別為：(0)(1)(2)2(0)(0)(0) (2. .5) kkkknkkkknknEEEEHEHEE 帶帶 的求和表示求和時，的求和表示求和時，n=k及及j=k的項須摒棄。的項須摒棄。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第22頁(0)(1)(2)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0) 22(0)(0)(0) 2.1 . + (

21、26)2kkkknkknnknnjjknkkknnjknkjknnkknknHEEH HH HEEEEEEHEE (25)、(26)式中的微擾矩陣元式中的微擾矩陣元 均可由均可由(16)式計算。式計算。kknknjjkHHHH、;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第23頁（三微擾理論適用條件（三微擾理論適用條件(25)、(26)兩式的級數(shù)展開式必須收斂，為此需：兩式的級數(shù)展開式必須收斂，為此需：(0)(0)1, (27 )nkknHnkEE 這就是這就是1開始時提到的關(guān)于開始時提到的關(guān)于H 視為小量的明確表視為小量的明確表示

22、式。當(dāng)這一條件被滿足時，示式。當(dāng)這一條件被滿足時，(25)、(26)兩式通?？蓛墒酵ǔ？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。給出相當(dāng)精確的結(jié)果。微擾適用條件微擾適用條件(27)式表明：式表明：（2）|Ek(0) En(0)| 要大，即能級間距要寬。要大，即能級間距要寬。（1微擾矩陣元微擾矩陣元 要小要小 ；(0)(0) =nknkHH ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第24頁例如：氫原子體系能量能級與量子數(shù)例如：氫原子體系能量能級與量子數(shù)n2成成反比，即反比，即 En = -e4 /22n2 ( n = 1, 2, 3, .) 若計及電

23、子自旋和軌道相互作用，可將其視為若計及電子自旋和軌道相互作用，可將其視為微擾，此時就需要計算體系能級微擾，此時就需要計算體系能級En的微擾修正的微擾修正即各級近似等）。由上式可見，當(dāng)即各級近似等）。由上式可見，當(dāng)n大時，能大時，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計算高能級間距變小，因此微擾理論不適用于計算高能級級n大的修正，而只適用于計算低能級大的修正，而只適用于計算低能級n小的修正。小的修正。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第25頁（四討論（四討論 在一級近似下，能級在一級近似下，能級k的本征態(tài)：的本征態(tài)：(0)(0)

24、(0)(0) nkkknnknHEE 其展開系數(shù)其展開系數(shù) 反比于未受擾體系的反比于未受擾體系的能級間隔，因此計算一級近似時只需取靠近能級間隔，因此計算一級近似時只需取靠近 的幾項即可，無需計算無限多項。的幾項即可，無需計算無限多項。(0)(0)nkknHEE (0)kE 對滿足適用條件對滿足適用條件(27)式的微擾問題，通常只求一式的微擾問題，通常只求一級近似其精度就足夠了。如果一級能量近似級近似其精度就足夠了。如果一級能量近似Hkk=0 就需要求二級近似，但態(tài)矢求到一級近似即可。就需要求二級近似，但態(tài)矢求到一級近似即可。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics

25、 Quantum Mechanics第26頁 用微擾論處理問題時用微擾論處理問題時, 要恰當(dāng)?shù)剡x取要恰當(dāng)?shù)剡x取H0, 在有的在有的問題中問題中H0與與H 的劃分是很顯然的的劃分是很顯然的, 但在有的問題但在有的問題中要根據(jù)如何使計算簡化來決定中要根據(jù)如何使計算簡化來決定H0與與H 的劃分，的劃分，同時還要兼顧計算結(jié)果的可靠性。同時還要兼顧計算結(jié)果的可靠性。 如能級簡并，微擾公式如能級簡并，微擾公式 (25)、(26)式不再適用式不再適用, 需要用另外的辦法來處理（需要用另外的辦法來處理（3簡并定態(tài)微擾論）。簡并定態(tài)微擾論）。因為微擾適用條件因為微擾適用條件(27)式無窮大式無窮大(0)(0)n

26、kknHEE ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第27頁將將Hamilton量分成量分成H0 + H 兩部分，只要電場兩部分，只要電場 不不太大，上式最后一項很小，可看成微擾。太大，上式最后一項很小，可看成微擾。例例1：電介質(zhì)的極化：電介質(zhì)的極化 在沒有外加電場時，各項同在沒有外加電場時，各項同性介質(zhì)中的荷電粒子電荷性介質(zhì)中的荷電粒子電荷q在平衡位置附近振在平衡位置附近振動，可視為簡諧振動。當(dāng)沿動，可視為簡諧振動。當(dāng)沿+x方向施加一均勻電場方向施加一均勻電場 ，則介質(zhì)將在電場作用下產(chǎn)生極化現(xiàn)象。，則介質(zhì)將在電場作用下產(chǎn)生極

27、化現(xiàn)象。（五非簡并微擾論的應(yīng)用舉例（五非簡并微擾論的應(yīng)用舉例1. 有外場時荷電粒子電諧振子的有外場時荷電粒子電諧振子的Hamilton量：量：222221 22dHxq xdx （x 諧振子偏離平衡位置的位移）諧振子偏離平衡位置的位移）;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第28頁222202122dHxdxHq x 微擾微擾未受擾未受擾Hamilton2. H0 的本征值和本征函數(shù)的本征值和本征函數(shù) Ek(0)、 k(0)22(0)/2(0)12()2!()xkkkkkkN eHxNkEk 以下計算外加電場對諧振子能級以下計

28、算外加電場對諧振子能級Ek(0)的影響。的影響。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第29頁3. 計算計算 Ek(1)(1)(0)(0)*kkkkkEHHdx (0)*(0)0kkqxdx 積分等于積分等于 0 是因為被積函數(shù)為奇函數(shù)是因為被積函數(shù)為奇函數(shù)4. 計算能量二級修正計算能量二級修正Ek(2)欲計算能量二級修正，首先應(yīng)計算欲計算能量二級修正，首先應(yīng)計算 Hnk 矩陣元矩陣元(0)(0)(0)(0)*nknknkHHdxqxdx ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum

29、Mechanics第30頁. . nknki eHq x 22(0)(0)* ()()nknkxnknkxxdxN NxeHx Hx dx 22( )( )nknkN NHHed 11( )( ) 2( )nnnHHnH 利用厄米多項式的遞推公式：利用厄米多項式的遞推公式：有有2112( ) 2( )( )nknknnkN NxHnHHed ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第31頁2112( ) 2( )( )nknknnkN NxHnHHed 221211( )( )2 ( )( )nknknknkN NxHHednH

30、Hed (0)(0)1(0)(0)111( )( )2 ( )( )2nknknknxxx dxnxx dx 1,1,1 (29)22nknknknnx ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第32頁1,1,122nnkknknkHqqnnx 2(2)(0)(0)nkknknHEEE 222nknxqkn 22221,1,kkkkqxx 2222q 22(0)(2)122()2kkkqEEEk 能級下移能級下移;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第33頁5.

31、 計算波函數(shù)的一級修正計算波函數(shù)的一級修正(1)(0)(0)(0)( )( )nkknnknHxxEE (0)(0)111( )( )22kkqkkxx (0)(1)( )( )( )kkkxxx (0)(0)(0)111( )( )( )22kkkqkkxxx （30）;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第34頁6. 計算極化率計算極化率未加外電場時，荷電粒子的平均位置：未加外電場時，荷電粒子的平均位置：(0)(0)(,)kkxx (0)(0)=0kkkkxx 加外電場后，荷電粒子的平均位置將發(fā)生移動：加外電場后，荷電粒子

32、的平均位置將發(fā)生移動：2(, )kkqxx 利用了利用了(29)、(30)兩式。結(jié)果說明正電荷沿電場方向兩式。結(jié)果說明正電荷沿電場方向移動移動q/2，負電荷則沿反方向移動，負電荷則沿反方向移動q/2。因此外電場誘導(dǎo)所產(chǎn)生的電偶極矩大小為：因此外電場誘導(dǎo)所產(chǎn)生的電偶極矩大小為：i.e.平衡位置平衡位置;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第35頁22222qqPq極化率極化率222Pq 其中其中是振子質(zhì)量；是振子質(zhì)量；是振動角頻率是振動角頻率q-q2 x ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Q

33、uantum Mechanics第36頁例例2. 設(shè)設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：量的矩陣形式為： 2000301cccH（1設(shè)設(shè)c 1，應(yīng)用微擾，應(yīng)用微擾論求論求H本征值到二級近似；本征值到二級近似； （2求求H 的精確本征值；的精確本征值； （3在怎樣條件下，上面在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。二結(jié)果一致。解：解：（1c 1，可取，可取H0和微擾和微擾 Hamilton 分別為：分別為： cccHH0000002000300010;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第37頁H0 是對角矩陣，是是對角矩陣，是Hamilt

34、on H0在自身表象中的在自身表象中的形式。所以能量的形式。所以能量的 0 級近似為：級近似為：E1(0) = 1; E2(0) = 3; E3(0) = - 2由非簡并微擾公式由非簡并微擾公式(1)2(2)(0)(0)|kkknkknknEHHEEE 得能量一級修正：得能量一級修正：(1 )111(1 )222(1 )33300EHEHEHc ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第38頁222(2)2113121(0)(0)(0)(0)(0)(0)11213|12nnnHHHEcEEEEEE 222(2)2223212(0

35、)(0)(0)(0)(0)(0)22123|12nnnHHHEcEEEEEE 222(2)331323(0)(0)(0)(0)(0)(0)33132|0knnHHHEEEEEEE 準確到二級近似的準確到二級近似的能量本征值為：能量本征值為： cEcEcE231322122211;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第39頁設(shè)設(shè)H 的本征值是的本征值是E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：02000301 EcEccE22. . (2)(43)0i ecEEEc(2) 精確解精確解解得：解得： cEcEcE212123222

36、1;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第40頁微擾法微擾法: :212231121322EcEcEc cEcEcE2121232221精確解：精確解：(3) 將精確解按將精確解按 c ( 1)展開：展開：224122423112112811213282EcccEcccEc 可見，微擾論二可見，微擾論二級近似結(jié)果與精級近似結(jié)果與精確解展開式在不確解展開式在不計計c4及以后高階及以后高階項時結(jié)果相同。項時結(jié)果相同。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第41頁3

37、 簡并定態(tài)微擾論簡并定態(tài)微擾論 當(dāng)涉及體系能級簡并時，微擾論須作特別處理，當(dāng)涉及體系能級簡并時，微擾論須作特別處理，理由有二：理由有二： 2的非簡并定態(tài)微擾公式的非簡并定態(tài)微擾公式 (25)、(26)式不再適用，式不再適用，因為微擾使用條件因為微擾使用條件(27)式無窮大式無窮大(0)(0)nkknHEE 零級能量零級能量Ek(0)給定后，相應(yīng)的零級近似波函數(shù)給定后，相應(yīng)的零級近似波函數(shù)k(0)不確定不確定(簡并簡并)，導(dǎo)致，導(dǎo)致(11)、(12)兩式的不確定，兩式的不確定，最后導(dǎo)致微擾法的基本方程最后導(dǎo)致微擾法的基本方程(8)和和(9)式求解困難。式求解困難。;第第11 11章章 微擾論微擾

38、論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第42頁 假設(shè)不考慮微擾時，體系處于某簡并能級假設(shè)不考慮微擾時，體系處于某簡并能級Ek(0)，與之相應(yīng)的簡并波函數(shù)：與之相應(yīng)的簡并波函數(shù)：(0) 1,2,.,kiif 面臨的問題：如何從面臨的問題：如何從 f f 個簡并波函數(shù)中挑出體系個簡并波函數(shù)中挑出體系的零級近似波函數(shù)即體系此時所處具體狀態(tài)）？的零級近似波函數(shù)即體系此時所處具體狀態(tài)）？（簡并度（簡并度 f）體系的零級近似波函數(shù)總是可以表為：體系的零級近似波函數(shù)總是可以表為：(0)(0)1 (31)fkikiia 展開系數(shù)展開系數(shù)ai可按下列方法定出：可按下列方法定出

39、：因為因為0級波級波函數(shù)總是函數(shù)總是要在要在f個簡個簡并波函數(shù)并波函數(shù)中挑選中挑選;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第43頁作為體系的零級近似波函數(shù)，它必須使得方程作為體系的零級近似波函數(shù)，它必須使得方程(8)式有解，因此將式有解，因此將(31)式代入式代入(8)式：式：(0)(1)(1)(0)0()()kkkkHEEH(1)(0)1() (32)fkikiiEHa 以以 左乘上式兩端，并利用左乘上式兩端，并利用(10)式的約定，得式的約定，得(0)kj (0)(1)(1)(0)(0)011ffkjkkiijikjkiii

40、HEaaH(1)(0)(0)110ffkiijikjkiiiEaaH;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第44頁(1)1 1,2,. (,3)(3 )0fjikijiiHEajf (0)(0) (34) jikjkiHH 其中其中線性方程組線性方程組(33)有非零解的條件是有非零解的條件是(1)11121(1)21222(1)120kfkfffffkHEHHHHEHHHHE 久期方程久期方程f 個簡并態(tài)所個簡并態(tài)所張子空間中的張子空間中的微擾矩陣元微擾矩陣元;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanic

41、s Quantum Mechanics第45頁求解久期方程，可得到求解久期方程，可得到Ek(1)的的f 個根，記為：個根，記為：(1), 1,2,.,kEf 則一級近似下的則一級近似下的k能級的能量本征值能級的能量本征值(0)(1), 1,2,., (35)kkkfEEE 將每個根將每個根Ek(1)代入方程代入方程(33)，可解出與之相應(yīng)的，可解出與之相應(yīng)的展開系數(shù)，記為：展開系數(shù)，記為：, 1, 2,.,iaif 于是得到新的零級近似波函數(shù)：于是得到新的零級近似波函數(shù)：(0)(0)1, 1,2,., (34)fkikiiaf ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechani

42、cs Quantum Mechanics第46頁u 若若Ek(1)的的f 個根均不等，則個根均不等，則f 度能級簡并完全消度能級簡并完全消除；相應(yīng)的零級波函數(shù)和能量本征值有除；相應(yīng)的零級波函數(shù)和能量本征值有(34)和和(35)式給出。式給出。u 若若Ek(1)的的f 個根有部分重根，則個根有部分重根，則f 度能級簡并度能級簡并部分解除，必須進一步考慮能級的二級近似，才部分解除，必須進一步考慮能級的二級近似，才有可能將簡并能級完全分裂開來；未解除簡并的有可能將簡并能級完全分裂開來；未解除簡并的能級，其零級近似波函數(shù)仍然不確定。能級，其零級近似波函數(shù)仍然不確定。(0)(1), 1,2,.,kkkE

43、EEf ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第47頁4 簡并定態(tài)微擾論的應(yīng)用簡并定態(tài)微擾論的應(yīng)用氫原子氫原子Stark效應(yīng)效應(yīng)（一（一StarkStark效應(yīng)效應(yīng) 原子在外電場作用下，原本簡并的能級分裂導(dǎo)原子在外電場作用下，原本簡并的能級分裂導(dǎo)致光譜線分裂的現(xiàn)象稱為致光譜線分裂的現(xiàn)象稱為 Stark 效應(yīng)。效應(yīng)。加電場加電場0h 0()h 能級分裂能級分裂Stark效應(yīng)示意圖效應(yīng)示意圖;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第48頁 電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫

44、侖場作用，造成電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第第n個能級個能級 n2 度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。氫原子的被消除。氫原子的Stark效應(yīng)可以用簡并情況下的效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。微擾理論予以解釋。（二外電場下氫原子（二外電場下氫原子HamiltonHamilton量量H0是未加外電場時，氫原子是未加外電場時，氫原子Hamilton算符算符2220 (37)2eHr 0 (36)HHH 在外場中，氫原子在外場中，氫原子Hamilton量包括兩部

45、分：量包括兩部分：;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第49頁cos (38)Here ze r H 是外電場中的附加勢能時，設(shè)外電場是外電場中的附加勢能時，設(shè)外電場 均勻且均勻且沿沿z方向，那么方向，那么通常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，例通常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，例如如, 強外電場強外電場 107 伏伏/米，米， 而原子內(nèi)部電場而原子內(nèi)部電場 1011 伏伏/米，二者相差米，二者相差 4個量級。所以可以把外電個量級。所以可以把外電場的影響作為微擾處理。場的影響作為微擾處理。;第第11 11章章 微擾論

46、微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第50頁（三（三H0H0的本征值和本征函數(shù)的本征值和本征函數(shù)),()(),( lmnlnlmYrRr 2212neEa n 1,2,3.0,1,.,1,1,.,nlnml ll 氫原子基態(tài)不簡并，只討論氫原子基態(tài)不簡并，只討論 第一激發(fā)態(tài)第一激發(fā)態(tài)(n = 2) 的的情況，這時簡并度情況，這時簡并度 n2 = 4。228eEa 屬于該能級的屬于該能級的4個簡并態(tài)是：個簡并態(tài)是：;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第51頁3/2/2120020003

47、/2/2221021103/2/2321121113/2/2421 1211 111( )(2)4 211( )( )cos4 211( )( )sin811( )( )sin8rararairairR YeaarR YeaarR YeeaarR Yeeaa ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第52頁（四計算微擾矩陣元（四計算微擾矩陣元HjiHji 由簡并微擾理論知，核心是求解久期方程，為由簡并微擾理論知，核心是求解久期方程，為此須先計算出微擾此須先計算出微擾H 在以上各簡并態(tài)下的矩陣元。在以上各簡并態(tài)下的矩陣元。(0)(

48、0) jikjkiHH 計算依據(jù)是公式計算依據(jù)是公式(34)其中其中 ki(0)或或 kj(0)取取 1 4121220210010212121201000coscosHHeRr RYYHHeRr RYY (39);第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第53頁角積分角積分需利用如下公式需利用如下公式(A4-33)：22221,1,(1)cos(21)(23)(21)(21)lmlmlmlmlmYYYllll 2222(1)1,(21)(23)1,(21)(21)cos lml mlml mlmlllml mlmllYYYYYY

49、 因而因而2222(1)11(21)(23)(21)(21)lmlml lm ml lm mllll ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第54頁欲使上式不為欲使上式不為 0，要求量子數(shù)必須滿足如下條件：，要求量子數(shù)必須滿足如下條件：11 or llllmmmm 01mmmlll僅當(dāng)僅當(dāng) = 1,m = 0 時，時，H 的矩陣的矩陣元才不為元才不為 0。因此矩陣元中只有。因此矩陣元中只有H12, H21 不等于不等于0。10001cos3YY H12, H21由由(39)式給出，其中式給出，其中;第第11 11章章 微擾論微

50、擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第55頁1221HH 2202103erR R r dr 20213eRr R 3e a (1)2(1)2(1)2(1)23003000000000Ee ae aEEE （五能量的一級近似（五能量的一級近似將將 H 的矩陣元的矩陣元代入久期方程：代入久期方程：;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第56頁解得解得 4 個根：個根：( 1 )2 1( 1 )2 2( 1 )2 3( 1 )2 43300EeaEeaEE 由此可見，在外場作用由此可見，在外

51、場作用下，原來下，原來4度簡并的能級度簡并的能級E2(0)在一級近似下，被在一級近似下，被分裂成分裂成 3 條能級，簡并條能級，簡并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時，原來的一條譜線就時，原來的一條譜線就變成了變成了 3 條譜線。條譜線。2E3e a 1E無外場無外場有外電場有外電場;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第57頁（六新的零級近似波函數(shù)（六新的零級近似波函數(shù)4(1)21 ()0, 1,2,3,4jiijiiHEcj 分別將分別將 E2(1) 的的 4 個根代入方程組個根代入方程組(33)：即四即四 元一次

52、線性方程組元一次線性方程組(1)212(1)122(1) 23(1)24300030000 0000 0 0 0Ece ace acEcEcEc ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第58頁1. E2(1)= E21(1) = 3ea 代入上面方程，得：代入上面方程，得：1234, 0cccc 所以相應(yīng)于能級所以相應(yīng)于能級 E2(0) + 3ea 的的0 級近似波函數(shù)級近似波函數(shù)是：是：(0 )11211220021022 2. E2(1) = E22(1) =3ea 代入上面方程，代入上面方程，得：得：1234, 0ccc

53、c 所以相應(yīng)于能級所以相應(yīng)于能級 E2(0) 3ea 的的0 級近似波函數(shù)級近似波函數(shù)是：是：(0 )11221220021022 ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第59頁3. E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，代入上面方程，得：得：120cc 因此相應(yīng)于因此相應(yīng)于E2(0) 的的 0 級近似波函數(shù)可以按如下級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：方式構(gòu)成：(0)(0)232433443211421 1()cccc 但但c3、c4不能唯一確定。不能唯一確定。不妨仍取原來的不妨仍取原來的0級波

54、函數(shù)，即令：級波函數(shù)，即令：334410 or01cccc (0)23211(0)2421 1 ;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第60頁變分法變分法微擾法雖然是量子力學(xué)近似方法中最有效的方案之微擾法雖然是量子力學(xué)近似方法中最有效的方案之一，但它也有許多局限性。體系的一，但它也有許多局限性。體系的 Hamilton 量量 H可分為兩部分可分為兩部分HHH 0其中其中 H0 H0 的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而而 H H很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不很小。如果上面條件不滿足，微擾

55、法就不適用。這時我們可以采用另一種近似方法適用。這時我們可以采用另一種近似方法變分變分法。法。1. 1. 能量的平均值能量的平均值 2. 2. 與與 E0 E0 的偏差和試探波函數(shù)的關(guān)系的偏差和試探波函數(shù)的關(guān)系3. 3. 如何選取試探波函數(shù)如何選取試探波函數(shù) 4. 4. 變分方法變分方法 5. 5. 實例實例;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第61頁1. 1. 能量的平均值能量的平均值 設(shè)體系的設(shè)體系的 Hamilton Hamilton 量量 H H 的本征值由小到大順序的本征值由小到大順序排列為：排列為： E0 E1

56、E2 . En . E0 E1 E2 . En |1 |2 .| n .|0 |1 |2 .| n .上式第二行是與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)，上式第二行是與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)， 其中其中 E0 E0 ， |0 |0 分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。為簡單計，假定為簡單計，假定H H本征值是分立的，本征函數(shù)組成本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即正交歸一完備系，即|,|1210設(shè)設(shè)|是任一歸一化的波是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：平均值：0|EHHHEE則必有;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics

57、 Quantum Mechanics第62頁證明：證明：插入單位算符插入單位算符1|nnn | HHE |nnnH |nnnnE |0nnnE |0E0EH 即即這個不等式表明，用任意波函數(shù)這個不等式表明，用任意波函數(shù)|計算出的平均值計算出的平均值 總是大于或等于體系基態(tài)的能量，而僅當(dāng)該波函數(shù)等總是大于或等于體系基態(tài)的能量，而僅當(dāng)該波函數(shù)等于體系基態(tài)波函數(shù)時，平均值于體系基態(tài)波函數(shù)時，平均值 才等于基態(tài)能量。才等于基態(tài)能量。假設(shè)假設(shè)|未歸一化，未歸一化，那么那么0|EHH 基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù)；基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù)；| |(1), | |(1), |(2

58、),., |(k),.|(2),., |(k),.稱為試探波函數(shù)，來計算稱為試探波函數(shù)，來計算kHHHH,21;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第63頁其中最小的一個就最接其中最小的一個就最接近基態(tài)能量近基態(tài)能量 E0 E0，即，即021,EHHHMink 如果選取的試探波函數(shù)越接近基態(tài)波函數(shù)，那么如果選取的試探波函數(shù)越接近基態(tài)波函數(shù)，那么 H H 的平均的平均值就越接近基態(tài)能量值就越接近基態(tài)能量 E0 E0 。這就為我們提供了一個計算基。這就為我們提供了一個計算基態(tài)能量本征值近似值的方法。態(tài)能量本征值近似值的方法。使用此

59、方法求基態(tài)能量近似值還需要解決以下兩個問題：使用此方法求基態(tài)能量近似值還需要解決以下兩個問題：（1 1試探波函數(shù)試探波函數(shù) | | 與與 |0 |0 之間的偏差和平均值之間的偏差和平均值 與與 E0 E0 之間偏差的關(guān)系；之間偏差的關(guān)系；（2 2如何尋找試探波函數(shù)。如何尋找試探波函數(shù)。;第第11 11章章 微擾論微擾論 Quantum Mechanics Quantum Mechanics第64頁2. 2. 與與 E0 E0 的偏差和試探波函數(shù)的關(guān)系的偏差和試探波函數(shù)的關(guān)系由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)，由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)， 就越接近基態(tài)能量就越

60、接近基態(tài)能量 E0 . E0 .那末，由于試探波函數(shù)選那末，由于試探波函數(shù)選取上的偏差取上的偏差 | - |0 | - |0 會引起會引起 - E0 - E0 的多的多大偏差呢？大偏差呢？ 為了討論這個問題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：為了討論這個問題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：1|0其中其中是一常數(shù)，是一常數(shù)，|是任一波函數(shù)，滿足是任一波函數(shù)，滿足 |0 |0所滿足的同所滿足的同樣的邊界條件。樣的邊界條件。顯然顯然| | 有各種各樣的選取方式，通過引入有各種各樣的選取方式，通過引入| 就可構(gòu)就可構(gòu)造出在造出在|0|0附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：附近的有任意變化的試探波函