大一高數(shù)課件

1、大一高數(shù)第六節(jié)第六節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 三、三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率 五、小結(jié)五、小結(jié)大一高數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)

2、? ?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo). .大一高數(shù)例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 大一高數(shù)例例2 2.,)23,23(,333在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程上上點(diǎn)點(diǎn)求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC

3、 解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為, xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn). .大一高數(shù)例例3 3.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x)1(04433 yyyxyx得得代代入入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16

4、110 yxy大一高數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù). .-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu大一高數(shù)例例4 4解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì)x142)1(3111 xxxyy.,)4(

5、1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)大一高數(shù)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 大一高數(shù)一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 大一高數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的

6、函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? ?t大一高數(shù)),()(1xttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxd

7、tdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 大一高數(shù),)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx dtdxdtyddxdydxddxyd )(22,)()(三階可導(dǎo)三階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx 同理同理dtdxdtyddxdydxddxyd )(233大一高數(shù)例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax大一高數(shù).),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即

8、大一高數(shù)例例7 7.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻求求其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計(jì)計(jì)空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv 大一高數(shù)解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt ,21sin,cos200gttvy

9、tvx 大一高數(shù)軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 大一高數(shù)例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan dtdxdtyddxyd 22)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tat

10、sin3sec4 大一高數(shù)四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率.,)()(化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個(gè)個(gè)相相互互依依賴賴的的變變之之間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率某某種種關(guān)關(guān)系系之之間間存存在在與與而而變變量量都都是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率? ?大一高數(shù)例例9 9解解?,500./140,500少少視視線線的的仰仰角角增增加加率率是是多多觀觀察察員員米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速

11、速率率為為米米處處離離地地面面鉛鉛直直上上升升一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的的仰仰角角為為觀觀察察員員視視線線其其高高度度為為秒秒后后設(shè)設(shè)氣氣球球上上升升, ht500tanh 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) tdtdhdtd 5001sec2 米米500h米米500大一高數(shù),/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率大一高數(shù)例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時(shí)時(shí)上上升升幾幾米米米米時(shí)時(shí)問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長(zhǎng)長(zhǎng)為為水水庫(kù)庫(kù)秒秒的的體體流流量

12、量流流入入水水庫(kù)庫(kù)中中米米河河水水以以則則水水庫(kù)庫(kù)內(nèi)內(nèi)水水量量為為水水深深為為設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)刻刻),(),(tVtht234000)(htV 0604000m大一高數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) tdtdhhdtdV 38000,/288003小時(shí)小時(shí)米米 dtdV小小時(shí)時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率,20米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng) h大一高數(shù)五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo); ;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù), ,按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo); ;參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): :

13、實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則; ;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關(guān)系通過建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解. .大一高數(shù)思考題思考題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對(duì)對(duì)嗎嗎？大一高數(shù)思考題解答思考題解答不對(duì)不對(duì) xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 大一高數(shù)練練 習(xí)習(xí) 題題大一高數(shù) ttyttxsincos3、曲線曲線 在在 處的法線方程處的法線方程_.

14、2 t4、已知已知 ,則則 =_； =_. teytexttsincosdxdy3 tdxdy5、設(shè)設(shè) ,則則 =_.yxexy dxdy大一高數(shù)大一高數(shù)大一高數(shù)五、求由參數(shù)方程五、求由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù) .六、設(shè)六、設(shè) 滿足滿足 ，求，求 . ttytxarctan)1ln(233dxyd)(xfxxfxf3)1(2)( )(xf 大一高數(shù)七七 、 在在 中中 午午 十十 二二 點(diǎn)點(diǎn) 正正 甲甲 船船 的的6 6 公公 里里/ /小小 時(shí)時(shí) 的的 速速 率率 向向東東 行行 駛駛 ，乙乙 船船 在在甲甲 船船 之之 北北 1 16 6 公公里里 ，以以 8

15、 8 公公里里/ /小小時(shí)時(shí) 的的 速速 率率向向 南南 行行駛駛 ，問問 下下午午 一一 點(diǎn)點(diǎn)正正 兩兩 船船相相距距 的的 速速率率 為為 多多 少少 ？ 八八 、 水水 注注 入入 深深 8 8 米米 ， 上上 頂頂 直直徑徑 8 8 米米的的 正正 圓圓錐錐 形形 容容器器 中中 ，其其 速速 率率 為為每每 分分 鐘鐘 4 4 立立 方方 米米，當(dāng)當(dāng) 水水深深 為為 5 5 米米時(shí)時(shí) ，其其表表 面面 上上 升升 的的 速速 率率 為為 多多 少少 ？ 大一高數(shù)一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、32