三章快速付里葉變換FFTFastFourietTransformerppt課件

1、第三章第三章快速付里葉變換快速付里葉變換(FFT)Fast Fouriet Transformer第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言一、快速付里葉變換一、快速付里葉變換FFT 有 限 長(zhǎng) 序 列 通 過(guò) 離 散 傅 里 葉 變 換 (D F T) 將 其 頻 域 離 散 化 成 有 限 長(zhǎng) 序 列 . 但 其 計(jì)算 量 太 大, 很 難 實(shí) 時(shí) 地 處 理 問 題 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 葉 變 換(FFT) . FFT 并 不 是 一 種 新 的 變 換 形 式 ,它 只 是 DFT 的 一 種 快 速 算 法 . 并 且 根 據(jù) 對(duì) 序 列 分 解 與 選 取 方 法 的 不 同 而

2、 產(chǎn) 生 了 FFT 的 多 種 算 法 . FFT 在 離 散 傅 里 葉 反 變 換 、 線 性 卷 積 和 線 性 相 關(guān) 等 方 面 也 有 重 要 應(yīng) 用.。二、FFT產(chǎn)生故事 當(dāng)時(shí)加文(Garwin)在自已的研究中極需要一個(gè)計(jì)算付里葉變換的快速方法。他注意到圖基(J.W.Turkey)正在寫有關(guān)付里葉變換的文章，因此詳細(xì)詢問了圖基關(guān)于計(jì)算付里葉變換的技術(shù)知識(shí)。圖基概括地對(duì)加文介紹了一種方法，它實(shí)質(zhì)上就是后來(lái)的著名的庫(kù)利(Cooley J.W)圖基算法。在加文的迫切要求下，庫(kù)利很快設(shè)計(jì)出一個(gè)計(jì)算機(jī)程序。1965年庫(kù)利-圖基在、Mathematic of Computation 雜志上

3、發(fā)表了著名的“機(jī)器計(jì)算付里級(jí)數(shù)的一種算法文章，提出一種快速計(jì)算DFT的方法和計(jì)算機(jī)程序-揭開了FFT發(fā)展史上的第一頁(yè)，促使FFT算法產(chǎn)生原因還有1967年至1968年間FFT的數(shù)字硬件制成，電子數(shù)字計(jì)算機(jī)的條件， 使DFT的運(yùn)算大簡(jiǎn)化了。三、本章主要內(nèi)容 1.直接計(jì)算DFT算法存在的問題及改進(jìn)途徑。 2.多種DFT算法(時(shí)間抽取算法DIT算法，頻率抽取算法DIF算法，線性調(diào)頻Z變換即CZT法) 3.FFT的應(yīng)用第二節(jié)直接計(jì)算DFT算法存在的問題及改進(jìn)途徑一、直接計(jì)算一、直接計(jì)算DFT計(jì)算量計(jì)算量 問題提出： 設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n),非零值長(zhǎng)度為N,計(jì)算對(duì)x(n)進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算

4、工作量?1.比較DFT與IDFT之間的運(yùn)算量10)()()(NnknNDFTWnxkXnx1, 1 , 0Nk 10)()()(NkknNIDFTWkXnxkX1, 1 , 0Nn其中x(n)為復(fù)數(shù)， 也為復(fù)數(shù)所以DFT與IDFT二者計(jì)算量相同。2jknknNNWe2.以DFT為例，計(jì)算DFT復(fù)數(shù)運(yùn)算量 計(jì)算一個(gè)X(k)(一個(gè)頻率成分)值，運(yùn)算量為 例k=1則 要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法+(N-1)次復(fù)數(shù)加法 所以，要完成整個(gè)DFT運(yùn)算，其計(jì)算量為： N*N次復(fù)數(shù)相乘+N*(N-1)次復(fù)數(shù)加法10)() 1 (NnnNWnxX3.一次復(fù)數(shù)乘法換算成實(shí)數(shù)運(yùn)算量 復(fù)數(shù)運(yùn)算要比加法運(yùn)算復(fù)雜，需要的運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)

5、。 一個(gè)復(fù)數(shù)乘法包括4個(gè)實(shí)數(shù)乘法和2個(gè)實(shí)數(shù)加法。 (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 4次復(fù)數(shù)乘法2次實(shí)數(shù)加法4.計(jì)算DFT需要的實(shí)數(shù)運(yùn)算量 每運(yùn)算一個(gè)X(k)的值，需要進(jìn)行 4N次實(shí)數(shù)相乘和 2N+2(N-1)=2(2N-1)次實(shí)數(shù)相加. 整個(gè)DFT運(yùn)算量為：4N2次實(shí)數(shù)相乘和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)相加. 由此看出：直接計(jì)算DFT時(shí)，乘法次數(shù)與加法次數(shù)都是和N2成比例的。當(dāng)N很大時(shí)，所需工作量非?？捎^。)Re)(ImIm)(Re) Im)(ImRe)(Re)(10knNknNNnknNknNWnxWnxjWnxWnxkX例子 例1:當(dāng)N=1024點(diǎn)時(shí)，直接計(jì)算DFT需

6、要： N2=(1024)2=1048576次，即一百多萬(wàn)次的復(fù)乘運(yùn)算這對(duì)實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號(hào)處理(如雷達(dá)信號(hào)處理)來(lái)講，它對(duì)計(jì)算速度有十分苛刻的要求-迫切需要改進(jìn)DFT的計(jì)算方法，以減少總的運(yùn)算次數(shù)。 例2：石油勘探，24道記錄，每道波形記錄長(zhǎng)度5秒，若每秒抽樣500點(diǎn)/秒， 每道總抽樣點(diǎn)數(shù)=500*5=2500點(diǎn) 24道總抽樣點(diǎn)數(shù)=24*2500=6萬(wàn)點(diǎn) DFT運(yùn)算時(shí)間=N2=(60000)2=36*108次二、改善DFT運(yùn)算效率的基本途徑利用DFT運(yùn)算系數(shù) 的固有對(duì)稱性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率。1.合并法：合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)。2.分解法：將長(zhǎng)序列DFT利用對(duì)稱性和周期性，分解為短序

7、列DFT。knNW利用DFT運(yùn)算系數(shù) 的固有對(duì)稱性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率knNWknNW的對(duì)稱性：nkNknNWW*)(knNW的周期性：)()(kNnNkNnNknNWWW1)()(22kjkNNjkNNeeW因?yàn)椋?, 1 , 0Nk1)()(22njNnNjNnNeeW1, 1 , 0Nn由此可得出：nkNknNNkNnNWWW)()()(1sincos)(222/jeWNNjNNkNNkNWW)(2例子 例:1454)54(494WWWW1898178258WWWW利用以上特性,得到改進(jìn)DFT直接算法的方法.(1) 合并法：步驟1分解成虛實(shí)部 合并DFT運(yùn)算中的有些項(xiàng) 對(duì)虛實(shí)部

8、而言 所以帶入DFT中：)(*)(NnkNknNWWknNnNkNWWReRe)(knNnNkNWWImIm)(1) 合并法：步驟2代入DFT中1010( )Re ( )ReIm ( )Im Re ( )ImIm ( )ReNnknkNNnNnknkNNnX kx nWx nWjx nWx nW展開：1010( )( )Re ( )Im ( )ReImNnkNnNnknkNNnX kx n Wx njx nWjW(1) 合并法：步驟3合并有些項(xiàng)nkNnNkNnkNWnNxnxWnNxWnxRe)(Re)(Re)(ReRe)(Re)(nkNnNkNnkNWnNxnxWnNxWnxIm)(Im)(

9、Im)(ImIm)(Im)(knNnNkNWWReRe)(knNnNkNWWImIm)(根據(jù)：有：(1) 合并法：步驟4結(jié)論 由此找出其它各項(xiàng)的類似歸并方法：乘法次數(shù)可以減少一半。例：1545) 15(515Re)4(Re) 1 (ReRe)4(Re) 1 (Re) 15 (ReRe) 1 (ReWxxWxxWxWx2、將長(zhǎng)序列DFT利用對(duì)稱性和周期性分解為短序列DFT-思路 因?yàn)镈FT的運(yùn)算量與N2成正比的 如果一個(gè)大點(diǎn)數(shù)N的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算工作量的效果。2、將長(zhǎng)序更DFT利用對(duì)稱性和周期性分解為短序列DFT-方法22)()()(NNNkXkXkX

10、把N點(diǎn)數(shù)據(jù)分成二半：其運(yùn)算量為：2)2(N2)2(N2N再分二半：44)()(NNkXkX44)()(NNkXkX+=22N2)4(N2)4(N2)4(N2)4(N+=24N這樣一直分下去，剩下兩點(diǎn)的變換。2、將長(zhǎng)序更DFT利用對(duì)稱性和周期性分解為短序列DFT-結(jié)論 快速付里時(shí)變換(FFT)就是在此特性基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，并產(chǎn)生了多種FFT算法，其基本上可分成兩大類： 按抽取方法分： 時(shí)間抽取法(DIT);頻率抽取法(DIF) 按“基數(shù)分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法 其它方法：線性調(diào)頻Z變換(CZT法)第三節(jié)基-2按時(shí)間抽取的FFT算法Decimati

11、on-in-Time(DIT)(Coolkey-Tukey)一、算法原理 設(shè)輸入序列長(zhǎng)度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列按時(shí)間順序的奇偶分解為越來(lái)越短的子序列，稱為基2按時(shí)間抽取的FFT算法。也稱為Coolkey-Tukey算法。 其中基數(shù)2-N=2M，M為整數(shù).若不滿足這個(gè)條件，可以人為地加上若干零值加零補(bǔ)長(zhǎng)使其達(dá)到 N=2M例子 設(shè)一序列設(shè)一序列x(n)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=9,應(yīng)加零補(bǔ)長(zhǎng)為應(yīng)加零補(bǔ)長(zhǎng)為 N=24=16 應(yīng)補(bǔ)應(yīng)補(bǔ)7個(gè)零值。個(gè)零值。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 nx(n)二、算法步驟1.分組，變量置換DFT變換：10)()(Nnk

12、nNWnxkX1,0Nk先將x(n)按n的奇偶分為兩 組，作變量置換:當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)，令n=2r;當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，令n=2r+1;得到：x(2r)=x1(r); x(2r+1)=x2(r);r=0N/2-1; 則其DFT可化為兩部分：前半部分：后半部分：12( )( )( )kNX kX kW X k12/, 0Nk12(/2)( )( )kNX kNX kW X k2.代入DFT中12) ( ) (2 ) (21) ( ) ( )X kDFT x nDFT x rDFT x rDFT x rDFT x r（生成兩個(gè)子序列x(0),x(2)x(2r)奇數(shù)點(diǎn)x(1),x(3)x(2r+1)偶數(shù)點(diǎn)12

13、/, 0Nr代入DFT變換式：/2 1/2 12(21)00/2 1/2 12212002222/2/2)(2 )(21)( )()( )()NNrkrkNNrrNNrkrkkNNNrrjjNNNNX kxr WxrWx r Wxr WWWeeW（3.求出子序列的DFT上式得：12/012/02/2/2212/012/02/2/11212/12/0212/02/1) 12()()()2()()(12/1 , 0)()()()()NrNrrkNrkNNrNrrkNrkNkNkNrkNNrNrrkNWrxWrxkXWrxWrxkXNkkXWkXWWrxWrxkX其中：（12/, 0Nk4.結(jié)論1

14、一個(gè)N點(diǎn)的DFT被分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT。X1(k),X2(k)這兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT按照：12/1 , 0)()()21NkDFTNkXWkXkXkN中的前半部分點(diǎn)又合成（ 再應(yīng)用W系數(shù)的周期性，求出用X1(k),X2(k)表達(dá)的后半部的X(k+N/2)的值。5.求出后半部的表示式12/012/022/2)2/(2/2212/012/012/1)2/(2/11)2/(2/2/)()()()2()()()()2(NrNrrkNkNrNNrNrrkNkNrNNkrNrkNkXWrxWrxkNXkXWrxWrxkNXWW看出：后半部的k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)則完全重復(fù)了前半部分的k值所

15、對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)的值。)()()(212/)2/kXWkXkXWWWWkNkNkNNNkNN后半部分：又（6.結(jié)論2頻域中的N個(gè)點(diǎn)頻率成分為：)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN后半部分：前半部分：結(jié)論：只要求出0N/2-1區(qū)間內(nèi)的各個(gè)整數(shù)k值所對(duì)應(yīng)的X1(k),X2(k)值，即可以求出(0N-1)整個(gè)區(qū)間內(nèi)全部X(k)值，這就是FFT能大量節(jié)省計(jì)算的關(guān)鍵。7.結(jié)論3由于N=2L，因此N/2仍為偶數(shù)，可以依照上面方法進(jìn)一步把每個(gè)N/2點(diǎn)子序列，再按輸入n的奇偶分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)的子序列，按這種方法不斷劃分下去，直到最后剩下的是2點(diǎn)DFT，兩點(diǎn)D

16、FT實(shí)際上只是加減運(yùn)算。三、蝶形結(jié)即蝶式計(jì)算結(jié)構(gòu)也即為蝶式信號(hào)流圖上面頻域中前/后半部分表示式可以用蝶形信號(hào)流圖表示。X1(k)X2(k)kNW)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkN作圖要素：作圖要素：(1)左邊兩路為輸入左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出右邊兩路為輸出(3)中間以一個(gè)小圓表示加、中間以一個(gè)小圓表示加、減運(yùn)算右上路為相加輸減運(yùn)算右上路為相加輸出、右下路為相減輸出出、右下路為相減輸出)(4)如果在某一支路上信號(hào)需要進(jìn)行如果在某一支路上信號(hào)需要進(jìn)行相乘運(yùn)算，則在該支路上標(biāo)以箭頭，相乘運(yùn)算，則在該支路上標(biāo)以箭頭，將相乘的系數(shù)標(biāo)在箭頭旁。將相乘的系數(shù)標(biāo)在箭頭旁。(5)當(dāng)支

17、路上沒有箭頭及系當(dāng)支路上沒有箭頭及系數(shù)時(shí)，則該支路的傳輸比數(shù)時(shí)，則該支路的傳輸比為為1。例子：求 N=23=8點(diǎn)FFT變換 （1先按N=8-N/2=4，做4點(diǎn)的DFT：)()() 2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN12/, 0Nk先將N=8DFT分解成2個(gè)4點(diǎn)DFT：可知：時(shí)域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列 頻域上：X(0)X(3)，由X(k)給出 X(4)X(7),由X(k+N/2)給出(a)比較N=8點(diǎn)直接DFT與分解2個(gè)4點(diǎn)DFT的FFT運(yùn)算量N=8點(diǎn)的直接DFT的計(jì)算量為：N2次(64

18、次復(fù)數(shù)相乘,N(N-1)次(8(8-1)=56次)復(fù)數(shù)相加.共計(jì)120次。（b)求 一個(gè)蝶形結(jié)需要的運(yùn)算量要運(yùn)算一個(gè)蝶形結(jié)，需要一次乘法 ， 兩次加法。)(2kXWkN)()() 2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN（c分解為兩個(gè)N/2=4點(diǎn)的DFT的運(yùn)算量分解2個(gè)N/2點(diǎn)4點(diǎn)的DFT：) 12()2()rxDFTrxDFTkX（偶數(shù)其復(fù)數(shù)相乘為復(fù)數(shù)相加為奇數(shù)其復(fù)數(shù)相乘為復(fù)數(shù)相加為22）（N）（122NN22）（N）（122NN次。共計(jì)為次，（次，復(fù)數(shù)相加為復(fù)數(shù)相乘為5624) 123222NNN(d)用2個(gè)4點(diǎn)來(lái)求N=8點(diǎn)的FFT所需的運(yùn)算量再將N/2點(diǎn)4點(diǎn)合成N

19、點(diǎn)(8點(diǎn))DFT時(shí)，需要進(jìn)行N/2個(gè)蝶形運(yùn)算)()() 2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN12/, 0Nk還需N/2次4次乘法 及 次(8次加法運(yùn)算。22N)(2kXWkN計(jì)算量。分解就可以節(jié)省約一半次。看出僅做一次共計(jì)為次復(fù)數(shù)加法次復(fù)數(shù)乘法）共需求點(diǎn)所以68,322) 12(,36221(22)(8222NNNNNNNNNkXFFT(e)將N=8點(diǎn)分解成2個(gè)4點(diǎn)的DFT的信號(hào)流圖 4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)4點(diǎn)DFTx(1)x(3)x(5)x(7)08W18W28W38WX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X1(0)X

20、1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)偶數(shù)序列奇數(shù)序列3821282118210821) 3 () 3 (3) 2() 2(2) 1 () 1 (1) 0() 0(0WXXXWXXXWXXXWXXX）（）（）（）（如：X(4)X(7)同學(xué)們自已寫x1(r)x2(r)(2)N/2(4點(diǎn))-N/4(2點(diǎn))FFT(a)先將4點(diǎn)分解成2點(diǎn)的DFT： 因?yàn)?點(diǎn)DFT還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。 若將N/2(4點(diǎn))子序列按奇/偶分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)2點(diǎn)子序列。即對(duì)將x1(r)和x2(r)分解成奇、偶兩個(gè)N/4點(diǎn)2點(diǎn)點(diǎn)的子序列。奇序列、偶序列、) 6() 2() 4() 0(:

21、 )(1xxxxrx奇序列、偶序列、同理：)7() 3 () 5 () 1 (: )(2xxxxrx1014012()()2(4131，），在此（）奇序列（）偶序列若設(shè)：LNLLXLxLxLx1014012()()2(5252，），在此（）奇序列（）偶序列同理：LNLLXLxLxLx(b)求2點(diǎn)的DFT)()4/()()()()()()()4/10)()() 12()2()()(62/5262/52242/3142/314/0) 12(2/114/022/1111LXWLXNkxLXWLXkxrxLXWLXNkXLLXWLXWLXWLXkXkXrxkNkNkNkNNLkLNNLLkNDFT）也

22、可分解為：同樣，（同理：，其中（可分解為：（c)一個(gè)2點(diǎn)的DFT蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)04W14W) 1 () 1 () 1 () 0() 0() 2() 1 () 1 () 1 () 0() 0() 0(41431404314143140431XWXXXWXXXWXXXWXX其中（d)另一個(gè)2點(diǎn)的DFT蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(1)x(5)x(3)x(7)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)04W14W) 1 () 1 ()

23、1 () 0() 0() 2() 1 () 1 () 1 () 0() 0() 0(61452604526145260452XWXXXWXXXWXXXWXX其中同理：(3)將N/42點(diǎn)DFT再分解成2個(gè)1點(diǎn)的DFT(a)求2個(gè)一點(diǎn)的DFT021022120202120230202020231021 , 0; 1 , 0)4()0()4()0() 1 ()4()0()4()0()0()()(2WWknWWWWWxWxWxWxXWxWxWxWxXWnxkXnknknkNnkNnnkN，其中，則這里用到對(duì)稱性這是一蝶形結(jié)代入上面流圖可知： 最后剩下兩點(diǎn)DFT,它可分解成兩個(gè)一點(diǎn)DFT，但一點(diǎn)DFT就

24、等于輸入信號(hào)本身，所以兩點(diǎn)DFT可用一個(gè)蝶形結(jié)表示。取x(0)、x(4)為例。(b)2個(gè)1點(diǎn)的DFT蝶形流圖 1點(diǎn)DFTx(0)1點(diǎn)DFTx(4)X3(0)X3(1)02W進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：02WX3(0)X3(1)x(0)x(4)4()0()4()0() 1 ()4()0()4()0()0(023023xxxWxXxxxWxX其中：(4)一個(gè)完整N=8的按時(shí)間抽取FFT的運(yùn)算流圖 x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)38W28W18W08W08W08W08W08W08W08W28W28WX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)12/0N

25、NNWW其中旋轉(zhuǎn)因子，共有m=0m=1m=2四、FFT算法中一些概念 （1）“級(jí)概念 將N 點(diǎn)DFT先分成兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，再是四個(gè)N/4點(diǎn)DFT直至N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT.每分一次稱為“一級(jí)運(yùn)算。 因?yàn)镹=2M所以N點(diǎn)DFT可分成M級(jí) 如上圖所示依次m=0,m=1.M-1共M級(jí)（2）“組概念組概念 每一級(jí)都有N/2個(gè)蝶形單元，例如：N=8,則每級(jí)都有4個(gè)蝶形單元。每一級(jí)的N/2個(gè)蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結(jié)構(gòu)，相同的 因子分布，第m級(jí)的組數(shù)為：rNW12mN例：N=8=23，分3級(jí)。m=0級(jí),分成四組,每組系數(shù)為m=1級(jí),分成二組,每組系數(shù)為m=2級(jí),分成一組,每組系數(shù)為0802

26、04/WWWN28082012/02/,WWWWWWNNNN382818083210,WWWWWWWWNNNN(3) 因子的分布rNW121 , 0,3 , 2 , 102101001238281808828081404408022mkkkkkWmWWWWkWmWWWWkWmWWkWmm級(jí)的系數(shù)為看出：第，級(jí)，級(jí)，級(jí)，由上可知：結(jié)論：每由后向前結(jié)論：每由后向前m由由M-1-0級(jí)推進(jìn)一級(jí)推進(jìn)一級(jí)，則此系數(shù)為后級(jí)系數(shù)中偶數(shù)序號(hào)的那一半。級(jí)，則此系數(shù)為后級(jí)系數(shù)中偶數(shù)序號(hào)的那一半。（4按時(shí)間抽取法2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DF

27、T兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)2點(diǎn)DFT兩個(gè)4點(diǎn)DFT兩個(gè)4點(diǎn)DFT兩個(gè)N/2點(diǎn)DFTX1(k).X2(k)X(k) 由于每一步分解都是基于在每級(jí)按輸入時(shí)間序列的次序是屬于偶數(shù)還是奇數(shù)來(lái)分解為兩個(gè)更短的序列，所以稱為“按時(shí)間抽取法”.x(n)五、按時(shí)間抽取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較 由前面介紹的按時(shí)間抽取的FFT運(yùn)算流圖可見： 每級(jí)都由N/2個(gè)蝶形單元構(gòu)成，因此每一級(jí)運(yùn)算都需要N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加每個(gè)結(jié)加減各一次）。這樣N=2M)M級(jí)運(yùn)算共需要： 復(fù)乘次數(shù)： 復(fù)加次數(shù)： 可以得出如下結(jié)論： 按時(shí)間抽取法所需的復(fù)乘數(shù)和復(fù)加數(shù)都是與 成正比。而直接計(jì)算DFT時(shí)所需的復(fù)乘數(shù)與復(fù)加數(shù)則都是與N2

28、成正比.(復(fù)乘數(shù)md=N2,復(fù)加數(shù)ad=N(N-1)N2)NFNMNm2log22NFNMNa2logNN2log例子 看N=8點(diǎn)和N=1024點(diǎn)時(shí)直接計(jì)算DFT與用基2-按時(shí)間抽取法FFT的運(yùn)算量。4.102102227.224648loglog1020102222NNNNNNN看出：當(dāng)N較大時(shí)，按時(shí)間抽取法將比直接法快一、二個(gè)數(shù)量級(jí)之多。作業(yè)1.N=16點(diǎn)的點(diǎn)的FFT基基2-按時(shí)間抽取流程圖。按時(shí)間抽取流程圖。2.P252. 2，3，8六、按時(shí)間抽取FFT算法的特點(diǎn) 根據(jù)DIT基2-FFT算法原理，能得出任何N=2m點(diǎn)的FFT信號(hào)流圖，并進(jìn)而得出FFT計(jì)算程序流程圖。最后總結(jié)出按時(shí)間抽取法

29、解過(guò)程的規(guī)律。 1.原位運(yùn)算in-place) 2.碼位倒讀規(guī)則1.原位運(yùn)算in-place) 原位運(yùn)算的結(jié)構(gòu)，可以節(jié)省存儲(chǔ)單元，降低設(shè)備成本。 定義：當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放在這同一組存儲(chǔ)器中直到最后輸出。02Wx(0)x(4)X3(0)X3(1)中放在一個(gè)暫存器中放在單元中，將放在單元例：將RWAxAx08) 1 ()4()0()0(單元送回單元送回將) 1 ()4()0()0()4()0(0808AxWxAxWx例子 例：N=8 FFT運(yùn)算,輸入:x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(

30、6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)=x(0)A(1)=x(1)A(2)=x(2)A(3)=x(3)A(4)=x(4)A(5)=x(5)A(6)=x(6)A(7)=x(7)180818084,32,1WRWRWRWR暫存器R1R1R1R1R1R2R1R1R2R2R3R4看出：用原位運(yùn)算結(jié)構(gòu)運(yùn)算后，A(0)A(7)正好順序存放X(0)X(7),可以直接順序輸出。2.碼位倒讀規(guī)則 我們從輸入序列的序號(hào)及整序規(guī)律得到碼位倒讀規(guī)則。由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算時(shí)，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)X(7),但輸入x(n)都不能按自然順序存入到存儲(chǔ)單元中，而是按x(0),x(4),x(2), x(6).的順序存入存儲(chǔ)單元即為亂序輸入，順序輸出。這種順序看起來(lái)相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律的。即碼位倒讀規(guī)則。例子以N=8為例：0123456700000