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文檔簡介

1、空間解析幾何 一、向量代數(shù)一、向量代數(shù)二、空間解析幾何二、空間解析幾何1 1、向量的概念、向量的概念定義定義: :既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量. .相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同負(fù)向量負(fù)向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向徑向徑: :起點為原點起點為原點零向量零向量:模為模為0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的長度向量的長度(大小大小)單位向量單位向量:模為模為1的向量的向量一、向量代數(shù)一、向量代數(shù)(2向量的分解式:向量的分解式:,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaa

2、zyxkajaiaazyx在三個坐標(biāo)軸上的分向量:在三個坐標(biāo)軸上的分向量:kajaiazyx,(3向量的坐標(biāo)表示式:向量的坐標(biāo)表示式:向量的坐標(biāo):向量的坐標(biāo):zyxaaa,2 2、向量的表示法、向量的表示法(1有向線段有向線段 (模和方向余弦)模和方向余弦)3 3、向量的線性運算、向量的線性運算,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式2

3、22coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式)1coscoscos(222 4 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達式數(shù)量積的坐標(biāo)表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式aprjbbprjaba0baaaa2(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba定

4、義:向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,,的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba為非零向量, 那么aa) 1 (0ba,)2(0baba運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量積的坐標(biāo)表達式向量積的坐標(biāo)表達式ba zyxzyxbbbaaakjiba bazzyyxxbababa0ba 定義定義已知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 V cba)(cba,cba的為cba,cba)(cbabac

5、bazyxzyxbbbaaa設(shè)cba)(, ),(zyxaaaa cba, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc xcyczc(1) 三個非零向量共面的充要條件是0cbacba,0 xyzxyzxyzaaabbbccc解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 55510|22c|0ccc .5152 kj22343cos322)2(17例例3. 已知向量已知向量的夾角

6、且解:解:,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba3 ,36 ,226iajkaijkijk , a( )12B)1-21-2)-12A或(或(C)- 或(D或, 13360226aa例例4 40606年知年知假設(shè)假設(shè)共面,那么共面,那么等于:等于: 解解: 假設(shè)假設(shè)共面共面,那么那么由此得由此得故應(yīng)選故應(yīng)選C)12a 和zyxo0Mn),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxA稱上式為平面的點法式方程,則該平面的方程為法向量.量, ),(CBAn 的為平面稱n二、空間解析幾

7、何二、空間解析幾何(1平面的方程平面的方程 當(dāng)當(dāng) D = 0 時時, A x + B y + C z = 0 表示表示 通過原點的平面通過原點的平面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時時, B y + C z + D = 0 平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面;平行于 zox 面 的平面.是平面的一般方程,特殊情形是平面的一般方程

8、,特殊情形解解: : 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy0322yxij(A)平面 的法向量為32,011yxxoyz(D)平面 與面的交線為例例6.(076.(07年年) )設(shè)平面設(shè)平面的方程為的方程為, ,以下選項以下選項解解: :由所給平面由所給平面的方程知的方程知, , 該平面平行于該平面平行于z z軸軸, ,不可能垂直于不可能垂直于z z軸,故應(yīng)選)軸,故應(yīng)選)(B)平面 垂直于z軸(C)平面 平行于z軸中錯誤的是中錯誤的是: :點到平面的距離公式:點到平面的距離公式:的距離為到平面點0),(00

9、00DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程(1 1空間直線的方程空間直線的方程 直線可視為兩平面交線,(不唯一),(0000zyxM說明說明: 某些分母為零時某些分母為零時, 其分子也理解為零其分子也理解為零.mxx000yyxx則直線的對稱式方程),(zyxMn

10、yy0pzz0也稱為點向式方程直線方程為s已知直線上一點),(0000zyxM例如, 當(dāng),0, 0時pnm和它的方向向量 , ),(pnms 設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0解解: :先在直線上找一點先在直線上找一點. .043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z)3, 1,4(21n

11、ns312111kji)0 , 1 , 1 () 1 , 0 , 0() 1 , 1 , 0() 1 , 1 , 1 (111( )101xyzA11( ),111xzBy11( )11xzC111()101xyzD111010ijknik ki 例例8 8 已知平面已知平面過點過點, ,則與該平面則與該平面垂直且過點垂直且過點的直線的對稱方程為的直線的對稱方程為: : 解解: : 平面平面的法向量的法向量所求直線的方向向量為所求直線的方向向量為, ,故應(yīng)選故應(yīng)選(B).(B).,1111111pzznyymxxL:直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL:21212

12、1ppnnmm直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss CpBnAm平面:垂直:平行:夾角公式:0CpBnAm直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin(1 1旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義:以一條平面曲線繞定義:以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面一周所成的曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸. .3 3、曲面、曲面.),(對對應(yīng)應(yīng)與與三三元元方方程程空空間間曲曲面面0zyxFS方程特點方程特點: :0),()

13、2(0),() 1 (00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線xy12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞繞 x x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z(2 2) 柱面柱面定義:定義:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C C移動的直線移動的直線L L所形成的曲面所形成的曲面. .這條定

14、曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線,動直線叫的準(zhǔn)線,動直線叫柱面的母線柱面的母線. .從柱面方程看柱面的特征:從柱面方程看柱面的特征:xyzxyzol 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于xyzoo例如:例如:zyx),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(3) 二次曲面二次曲面),(22222為正數(shù)bazbyaxzqypx2222 橢圓拋物面( p , q 同號) 雙曲拋物面鞍形曲面)zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時為繞 z 軸

15、的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號)zyx單葉雙曲面單葉雙曲面zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyaxzxyo222( )123xyAz222( )123xyBz222( )123xyCz222()023xyDz132222zyx例例10.下列方程中代表單葉雙曲面的是下列方程中代表單葉雙曲面的是: 解: 表單葉雙曲面, 故應(yīng)選(A).空間曲線可視為兩曲面的交線, 其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF例如例如, ,方程組方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2(1)(1)空間曲線的方程空間曲線的方程zyxo稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.)(txx 例如,圓柱螺旋線bzayaxsincos的參數(shù)方程為)(tyy )(tzz M消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得

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