第二章條件概率、全概率ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計計王王 力力20192019高教版高教版概率論與數(shù)理統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計計第二章第二章條件概率與獨立性條件概率與獨立性 v引例引例 設(shè)一批產(chǎn)品共有設(shè)一批產(chǎn)品共有100個，其中個，其中60個為個為一等品，一等品，30個為二等品，個為二等品， 10個為廢品個為廢品.v 一、二等品都為合格品，求這批產(chǎn)品的一、二等品都為合格品，求這批產(chǎn)品的一等品率和合格品中的一等品率一等品率和合格品中的一等品率?v解解:設(shè)事件設(shè)事件A=“產(chǎn)品為一等品產(chǎn)品為一等品”，那么，那么v這批產(chǎn)品的一等品率這批產(chǎn)品的一等品率vP(A)=60/100，v而合格品中的一等品率為而合格品中的一等品率為vP(

2、A)=60/(60+30)= 60/90.v引例引例 設(shè)一批產(chǎn)品共有設(shè)一批產(chǎn)品共有100個，其中個，其中60個為個為一等品，一等品， 30個為二等品，個為二等品， 10個為廢品個為廢品.v 一、二等品都為合格品，求這批產(chǎn)品的一、二等品都為合格品，求這批產(chǎn)品的一等品率和合格品中的一等品率一等品率和合格品中的一等品率?v解解:設(shè)事件設(shè)事件A=“產(chǎn)品為一等品產(chǎn)品為一等品”，D=“產(chǎn)品為產(chǎn)品為合格品合格品”，那么，那么v這批產(chǎn)品的一等品率這批產(chǎn)品的一等品率P(A|S)=60/100，v而合格品中的一等品率為而合格品中的一等品率為vP(A|D)=60/(60+30)= 60/90.第二章第二章 條件概率

3、與獨立性條件概率與獨立性v2.1 條件概率、乘法定理條件概率、乘法定理 v在實際問題中，除了要考慮事件在實際問題中，除了要考慮事件A的概率的概率P(A)而外，而外，v 還要考慮事件還要考慮事件A在在“某事件某事件B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生這一附加條件下的概率這一附加條件下的概率.v 這樣的概率，人們稱之為條件概率，記這樣的概率，人們稱之為條件概率，記為為vP(A|B).v相應(yīng)地，將相應(yīng)地，將P(A)稱為無條件概率稱為無條件概率.v嚴格說來，概率都是有條件的，因為試驗嚴格說來，概率都是有條件的，因為試驗E都是在一組固定的條件下進行的都是在一組固定的條件下進行的.v 我們這里所說的我們這里所說的v條件，條

4、件，v 無非是指在試驗無非是指在試驗E原有的一組固定條件原有的一組固定條件外再增加一個附加條件外再增加一個附加條件:v“B發(fā)生發(fā)生”. v例例2.1.1 兩臺機床加工同一種零件共兩臺機床加工同一種零件共100個，個，結(jié)果如下：結(jié)果如下： 實驗者實驗者合格品數(shù)合格品數(shù) 次品數(shù)次品數(shù) 總總 計計 第一臺機床加工數(shù)第一臺機床加工數(shù)35 540第二臺機床加工數(shù)第二臺機床加工數(shù)501060總總 計計8515100v設(shè)設(shè)v A=“從從100個零件中任取一個為合格品個零件中任取一個為合格品”，v B=“從從100個零件中任取一個是第一臺個零件中任取一個是第一臺機床加工的機床加工的”，v求求(a) P(A)和

5、和P(B)；v (b)P(AB)；v (c) P(A|B)和和P(B|Ac).v解解:(a)v P(A)=#A/#S=85/100=0.85，vP(B)=40/100=0.40；v(b) P(AB)=35/100=0.35；v(c)v P(A|B)=35/40=0.875，vP(B|Ac)=5/150.333.v比較比較(a)與與(c)中的結(jié)果中的結(jié)果 vP(A)=0.85，P(A|B)=0.875； vP(B)=0.40，P(B|Ac)= 1/30.333；v可見可見 P(A|B)P(A)，而而P(B|Ac)0)v而式子而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)v 即即)0)(

6、)()()|(BPBPABPBAPv注意式子注意式子vP(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)v 的成立不是偶然的，它是一條普遍規(guī)律的成立不是偶然的，它是一條普遍規(guī)律.v下面就古典概率的情況證明之下面就古典概率的情況證明之.v設(shè)樣本空間設(shè)樣本空間S=e1,e2,en，v 其中導(dǎo)致其中導(dǎo)致A，B和和AB發(fā)生的基本事件分發(fā)生的基本事件分別為別為m ，k ，r個個(rm，rk).v如果如果B發(fā)生，則導(dǎo)致發(fā)生，則導(dǎo)致B發(fā)生的發(fā)生的k個基本事件個基本事件中有一個出現(xiàn)，在這個條件下導(dǎo)致中有一個出現(xiàn)，在這個條件下導(dǎo)致A發(fā)生的發(fā)生的基本事件僅有基本事件僅有r個個.v 故故)()(/)|(BPABPnk

7、nrkrBAPv同理可證同理可證)0)()()()|(APAPABPABPv但是，這個普遍規(guī)律但是，這個普遍規(guī)律vP(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)v 不能在一般的情況下用純數(shù)學(xué)的方法推不能在一般的情況下用純數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出來，導(dǎo)出來，v 下面就將它作為條件概率的定義，敘述下面就將它作為條件概率的定義，敘述如下：如下：v定義定義2.1.1 設(shè)設(shè)A和和B為任意兩個事件，且為任意兩個事件，且P(B)0，則稱比值，則稱比值vP(AB)/P(B)v 為事件為事件A在事件在事件B發(fā)生的條件下的條件概發(fā)生的條件下的條件概率，記作率，記作vP(A|B)= P(AB)/P(B).v 即即()(|

8、)( )P ABP A BP Bv定理定理2.1.1 v 條件概率條件概率vP(AB)/P(B)(P(B)0)v 滿足概率公理化定義中的公理滿足概率公理化定義中的公理13.v證明證明 () P(A|B)=P(AB)/P(B)0.v() P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.v()設(shè)事件設(shè)事件A1,A2,An,是互不相容的，是互不相容的，那么那么vA1B,A2B,AnB,v 也互不相容也互不相容.v因此因此v P(A1+A2+An+)|Bv = P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B) +.v這就證明了條件概率的完全可加性這就證明了條件概率的完全可加性.)()(| )

9、(2121BPBAAAPBAAAPnn)()(21BPBABABAPn)()()()(21BPBAPBAPBAPn)|()|()|(21BAPBAPBAPnv這就證明了條件概率的完全可加性這就證明了條件概率的完全可加性. .v由于條件概率滿足概率公理化定義中的三由于條件概率滿足概率公理化定義中的三條公理，條公理，v 所以由概率公理化定義中的那些公理推所以由概率公理化定義中的那些公理推得的一切結(jié)果對于條件概率同樣成立得的一切結(jié)果對于條件概率同樣成立.v即即v推論推論1 P(|B)=0.v推論推論2 設(shè)設(shè)A1,A2,An是互不相容的事件，是互不相容的事件，那么那么v P (A1+A2+An)|B

10、v = P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B).v推論推論3 0P(A|B)1.v由此在前面由此在前面1.3.2古典概率一節(jié)中證明過的古典概率一節(jié)中證明過的7條概率性質(zhì)都適用于條件概率條概率性質(zhì)都適用于條件概率.v 即即v()對任一事件對任一事件A，有，有0P(A|B)1；v() P(S|B)=1；v ()若事件若事件A1,A2,An是互不相容的事件，是互不相容的事件，那么那么v P (A1+A2+An)|B v = P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B).v() P(Ac|B)=1P(A|B).v() P(|B)=0.v()若若AC，那么，那么vP(A|B)P(C|B)，v

11、且且v P (CA)|B=P(C|B)P(A|B).v() (一般概率的加法公式一般概率的加法公式)v 對任二事件對任二事件A、C有有v P(AC|B)=P(A|B)+P(C|B)P(AC|B).v由條件概率的定義式由條件概率的定義式vP(A|B)=P(AB)/P(B)v 立即可得立即可得vP(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)0.v類似地有類似地有vP(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0.v這就是所謂的概率乘法公式，這個結(jié)論可這就是所謂的概率乘法公式，這個結(jié)論可以寫成下面的定理以寫成下面的定理.v定理定理2.1.2 (乘法定理乘法定理)v 兩個事件積的概率等于其中一個事件的兩個事件

12、積的概率等于其中一個事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生條件下的概率與另一事件在前一事件發(fā)生條件下的條件概率的乘積，即條件概率的乘積，即vP(AB)=P(A)P(B|A)v 或或vP(AB)=P(B)P(A|B).v乘法定理很容易推廣到乘法定理很容易推廣到n個事件上去個事件上去.v定理定理2.1.3 設(shè)設(shè)A1,A2,An為為n個事件，個事件，n2，且且P(A1A2An-1)0，則有，則有v P(A1A2An)v=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1).v 即即12121312121()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP

13、 AA AAv證證 由于由于0)()()(121211nAAAPAAPAPv故故)|()|()|()(121213121nnAAAAPAAAPAAPAP)()()()()()()(12121213211211nnAAAPAAAPAAPAAAPAPAAPAP)(21nAAAPv例例2.1.2 設(shè)某種動物由出生算起活設(shè)某種動物由出生算起活20歲以上歲以上的概率為的概率為0.8，活，活25歲以上的概率為歲以上的概率為0.4.v 現(xiàn)有一個現(xiàn)有一個20歲的這種動物，問它能活到歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是多少？歲以上的概率是多少？ v解解 設(shè)設(shè)vA=“動物能活動物能活20歲以上歲以上”，vB

14、=“動物能活動物能活25歲以上歲以上”，v 那么那么vP(A)=0.8，P(B)=0.4.v而所求的概率為而所求的概率為vP(B|A).vP(B|A)=P(AB)/P(A).v由于由于BA，故，故vAB=B，v 于是于是v P(B|A)=P(AB)/P(A)v =P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5.v例例2.1.3 包裝了的玻璃器皿第一次扔下被打包裝了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概率為破的概率為0.4，若未破，第二次扔下被打，若未破，第二次扔下被打破的概率為破的概率為0.6，若又未破，第三次扔下被，若又未破，第三次扔下被打破的概率為打破的概率為0.9. v 今將這種包裝了的器皿連續(xù)扔三

15、次，求今將這種包裝了的器皿連續(xù)扔三次，求器皿被打破的概率？器皿被打破的概率？ v解解 設(shè)設(shè)v器皿被打破的事件為器皿被打破的事件為A，v器皿第器皿第i次扔下被打破事件為次扔下被打破事件為Ai(i=1,2,3)，v 那么那么123AAAAv解一解一 設(shè)設(shè)v器皿被打破的事件為器皿被打破的事件為A，v器皿第器皿第i次扔下被打破事件為次扔下被打破事件為Ai(i=1,2,3)，v那么那么( )1( )P AP A 1231()P A A A )|()|()(1213121AAAPAAPAPv依題意知：依題意知：9 . 0)|(6 . 0)|(4 . 0)(213121AAAPAAPAPv從而從而976.

16、01 . 04 . 06 . 01)(APv解二：解二：321211AAAAAAAv顯然，顯然，321211,AAAAAA 是互不相容的，故是互不相容的，故v故故)()()()(321211AAAPAAPAPAP)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP976. 09 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 0第二章第二章 條件概率與獨立性條件概率與獨立性v2.2 全概率公式全概率公式 v在概率的計算中，人們希望通過已知的簡在概率的計算中，人們希望通過已知的簡單事件的概率去求未知的較復(fù)雜事件的概單事件的概率去求未知的較復(fù)雜事件的概率率.v在

17、這里，全概率公式起了很重要的作用，在這里，全概率公式起了很重要的作用，先看一個例子先看一個例子.v例例2.2.1 設(shè)袋中裝有十個鬮，其中設(shè)袋中裝有十個鬮，其中8個是白個是白鬮，兩個是有物之鬮鬮，兩個是有物之鬮.v 甲、乙二人依次抓取一個，甲先抓乙后甲、乙二人依次抓取一個，甲先抓乙后抓，抓，v 求每人抓得有物之鬮的概率？求每人抓得有物之鬮的概率？v解解 設(shè)設(shè)v A、B分別為甲、乙抓得有物之鬮的事件分別為甲、乙抓得有物之鬮的事件.v顯然，顯然，P(A)=2/10，下面求，下面求P(B).vP(B)=2/10v因為因為B只有當(dāng)只有當(dāng)A發(fā)生或發(fā)生或Ac發(fā)生時才能發(fā)生，發(fā)生時才能發(fā)生，即即vBA+Ac，

18、v所以所以vB=B(A+Ac)=BA+BAc.v因因A與與Ac互不相容，故互不相容，故vBA與與BAcv 也互不相容，也互不相容，v由概率加法公式和乘法定理得由概率加法公式和乘法定理得 )|()()|()()()()(ABPAPABPAPABPBAPBP511029210891102v此結(jié)果說明，抓到有物之鬮的概率與抓鬮此結(jié)果說明，抓到有物之鬮的概率與抓鬮的次序無關(guān)，它的一般情況已在古典概率的次序無關(guān)，它的一般情況已在古典概率的例題的例題1.3.5中進行了介紹中進行了介紹. v從例從例2.2.1求求P(B)的過程看，關(guān)鍵是利用互的過程看，關(guān)鍵是利用互不相容的事件不相容的事件A與與Ac，vA+A

19、cB，v 把把B分解為分解為BA與與BAc之和，之和，v 然后利用概率的加法公式和乘法定理求然后利用概率的加法公式和乘法定理求得了得了P(B).v一般有下面的定理一般有下面的定理.v定理定理2.2.1 (全概率公式全概率公式)v設(shè)設(shè)A1,A2,An是互不相容的事件，且是互不相容的事件，且P(Ai)0(i=1,2,n)，v若對任一事件若對任一事件B，有，有A1+A2+AnB，那么那么niiiABPAPBP1)|()()(v證證 因因A1+A2+AnB，故，故vB=B(A1+A2+An)=BA1+BA2+BAn.v由于由于A1+A2+An互不相容，故互不相容，故BA1, BA2, BAn也互不相容

20、也互不相容.v由概率加法公式和乘法定理得由概率加法公式和乘法定理得 )()()()(21nBAPBAPBAPBP)()()()(21nBAPBAPBAPBP)|()()|()()|()(2211nnABPAPABPAPABPAPniiiABPAP1)|()(v“全概率公式名稱的來由全概率公式名稱的來由v “全部概率全部概率P(B)被分解成了許多部分之被分解成了許多部分之和和.v它的理論和實用意義在于它的理論和實用意義在于:v 在較復(fù)雜的情況下直接計算在較復(fù)雜的情況下直接計算P(B)不不易，但易，但B總是隨某個總是隨某個Ai伴出，適當(dāng)去構(gòu)造這伴出，適當(dāng)去構(gòu)造這一組一組Ai (i=1,2,n)往往

21、可以簡化計算往往可以簡化計算.121( )()()()() (|)nniiiP BP BAP BAP BAP A P B Av“全概率公式還可以從另一個角度去理解全概率公式還可以從另一個角度去理解:v 把把Ai (i=1,2,n)看成是導(dǎo)致發(fā)生看成是導(dǎo)致發(fā)生B的一的一種可能途徑種可能途徑.v對不同的途徑對不同的途徑Ai，B發(fā)生的概率即條件概率發(fā)生的概率即條件概率vP(B|Ai)v 各不相同，各不相同，v 而采取哪個途徑卻是隨機的而采取哪個途徑卻是隨機的.v直觀上易理解直觀上易理解:v 在這種機制下，在這種機制下，B的綜合概率的綜合概率vP(B)v 應(yīng)在最小的應(yīng)在最小的P(B|Ai)和最大的和最

22、大的P(B|Ai)之之間，間，v 但也不一定是所有但也不一定是所有P(B|Ai)的算術(shù)平均，的算術(shù)平均，v因為各途徑被使用的機會因為各途徑被使用的機會P(Ai)各不相同，各不相同，v 正確的答案如所預(yù)期，應(yīng)是諸正確的答案如所預(yù)期，應(yīng)是諸vP(B|Ai) (i=1,2,n)，v 以以P(Ai)(i=1,2,n)為權(quán)的加權(quán)平均值為權(quán)的加權(quán)平均值.v形象的例子如下形象的例子如下:v某中學(xué)有若干個畢業(yè)班，各班的升學(xué)率不某中學(xué)有若干個畢業(yè)班，各班的升學(xué)率不同，其同，其v總升學(xué)率，總升學(xué)率，v 是各班升學(xué)率的加權(quán)平均，其權(quán)與各班是各班升學(xué)率的加權(quán)平均，其權(quán)與各班學(xué)生數(shù)成比例學(xué)生數(shù)成比例.v又如若干工廠生產(chǎn)

23、同一產(chǎn)品，其廢品率各又如若干工廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，其廢品率各不相同，若將各廠的產(chǎn)品匯總，則總廢品不相同，若將各廠的產(chǎn)品匯總，則總廢品率為各廠廢品率的加權(quán)平均，其權(quán)與各廠率為各廠廢品率的加權(quán)平均，其權(quán)與各廠產(chǎn)量成比例產(chǎn)量成比例.v例例2.2.2 一個工廠有甲、乙、丙三個車間生一個工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)同一種產(chǎn)品，v 每個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的每個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%，35%，40%，v 而產(chǎn)品中的次品率分別為而產(chǎn)品中的次品率分別為5%，4%，2%.v 今將這些產(chǎn)品混在一起，并隨機地抽取今將這些產(chǎn)品混在一起，并隨機地抽取一個產(chǎn)品，問它是次品的概率為多少？一個產(chǎn)品，問它是

24、次品的概率為多少？v解解 設(shè)設(shè)vB表示抽到的一個產(chǎn)品是次品的事件；表示抽到的一個產(chǎn)品是次品的事件；v A1,A2,A3分別表示抽到的產(chǎn)品是甲、乙、分別表示抽到的產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的事件丙車間生產(chǎn)的事件. v由于由于BA1+A2+A3，且，且A1,A2,A3互不相互不相容，故由全概率公式容，故由全概率公式31)|()()(iiiABPAPBPv又因又因10040)(,10035)(,10025)(321APAPAP1002)|(,1004)|(,1005)|(321ABPABPABPv故故31( )() (|)255354402100 100100 100100 1000.0345iiiP

25、 BP A P B A第二章第二章 條件概率與獨立性條件概率與獨立性v2.3 貝葉斯貝葉斯(Bayes)公式公式 v仍從例子仍從例子(2.2節(jié)的例節(jié)的例2.2.2)講起講起.v例例2.3.1 一個工廠有甲、乙、丙三個車間生一個工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的產(chǎn)量的25%，35%，40%，而產(chǎn)品中的次品，而產(chǎn)品中的次品率分別為率分別為5%，4%，2%.v 今將這些產(chǎn)品混在一起，并隨機地抽取今將這些產(chǎn)品混在一起，并隨機地抽取一個產(chǎn)品，問它是次品的概率為多少？一個產(chǎn)品，問它是次品的概率為多少？v若抽到的一件產(chǎn)品是次品，試問這件次

26、品若抽到的一件產(chǎn)品是次品，試問這件次品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的概率各為多少？是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的概率各為多少？v 又哪一個概率最大？又哪一個概率最大？v解解 設(shè)設(shè)vB表示抽到的一個產(chǎn)品是次品的事件；表示抽到的一個產(chǎn)品是次品的事件；v A1,A2,A3分別表示抽到的產(chǎn)品是甲、乙、分別表示抽到的產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的事件，那么丙車間生產(chǎn)的事件，那么v問題即為求問題即為求vP(A1|B)，P(A2|B)，P(A3|B). 11()(|)( )P A BP ABP Bv由條件概率的定義，并利用乘法定理和全由條件概率的定義，并利用乘法定理和全概率公式得概率公式得 111131()() (|)(|)(

27、 )() (|)2551001000.3620.0345iiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Av同理可得同理可得 23(|)0.406,(|)0.232.P ABP ABv由此可知，抽出的次品是乙車間生產(chǎn)的概由此可知，抽出的次品是乙車間生產(chǎn)的概率最大率最大.v在本例中，若將在本例中，若將vAi(i=1,2,3)v 看成是引起看成是引起vBv 次品發(fā)生的次品發(fā)生的“緣由緣由”，那么此例的問題可，那么此例的問題可以這樣提出：以這樣提出：v 若在實驗中若在實驗中B發(fā)生了，問引起發(fā)生了，問引起B(yǎng)發(fā)生的原發(fā)生的原因是因是Ai(i=1,2,3)的概率是多少？的概率是多少？v 又

28、哪一個原因發(fā)生的可能性最大？又哪一個原因發(fā)生的可能性最大？v類似的問題是很多的類似的問題是很多的.v 例如，在診病問題中，已知出現(xiàn)某種癥例如，在診病問題中，已知出現(xiàn)某種癥狀狀(例如發(fā)燒例如發(fā)燒)有多種原因，有多種原因，v 假如在一次診病中出現(xiàn)了這種癥狀，就假如在一次診病中出現(xiàn)了這種癥狀，就需要研究引起這種癥狀的各種病因的概率需要研究引起這種癥狀的各種病因的概率是多少？是多少？v 哪一種病因的概率最大？哪一種病因的概率最大？v解決這樣的問題的方法，就是如下的貝葉解決這樣的問題的方法，就是如下的貝葉斯斯(Bayes formula)公式公式.v定理定理2.3.1 (貝葉斯公式貝葉斯公式)v 設(shè)設(shè)A

29、1,A2,An是互不相容的事件，且是互不相容的事件，且P(Ai)0(i=1,2,n)，若對任一事件，若對任一事件B，有，有A1+A2+AnB，且，且P(B)0，那么，那么njjjiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(ni, 2 , 1v貝葉斯貝葉斯(Bayes formula)公式，是概率論中公式，是概率論中的一個著名的公式的一個著名的公式.v 這個公式首先出現(xiàn)在英國學(xué)者這個公式首先出現(xiàn)在英國學(xué)者T. Bayes在其去世后的在其去世后的1763年所發(fā)表的一部著作中年所發(fā)表的一部著作中.v從形式推導(dǎo)上看，貝葉斯公式平淡無奇，從形式推導(dǎo)上看，貝葉斯公式平淡無奇，它不過是條件概

30、率定義與全概率公式的簡它不過是條件概率定義與全概率公式的簡單推論單推論.v 其所以著名，在其現(xiàn)實以致哲理意義的其所以著名，在其現(xiàn)實以致哲理意義的解釋上解釋上.v其所以著名，在其現(xiàn)實以致哲理意義的解其所以著名，在其現(xiàn)實以致哲理意義的解釋上釋上:v 先看先看vP(Ai)(i=1,2,n).v 它們是在沒有進一步的信息它們是在沒有進一步的信息(不知事件不知事件B是否發(fā)生是否發(fā)生)的情況下，人們對諸事件的情況下，人們對諸事件Ai(i=1,2,n)發(fā)生可能性大小的認識，發(fā)生可能性大小的認識，v 現(xiàn)在有了新的信息現(xiàn)在有了新的信息(知道知道B發(fā)生發(fā)生)，人們對，人們對Ai(i=1,2,n)發(fā)生可能性大小有了

31、新的估發(fā)生可能性大小有了新的估價價.v這種情況在日常生活中也屢見不鮮這種情況在日常生活中也屢見不鮮:v 原以為不甚可能的一種情況，可以因為原以為不甚可能的一種情況，可以因為某種事件的發(fā)生而變得甚為可能，或者相某種事件的發(fā)生而變得甚為可能，或者相反反.v 貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化.v如果我們把事件如果我們把事件B看成看成“結(jié)果結(jié)果”，把諸事件，把諸事件Ai(i=1,2,n)看成導(dǎo)致這結(jié)果的可能的看成導(dǎo)致這結(jié)果的可能的“緣緣由由”，則可以形象地把全概率公式看成為，則可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”，v 而貝葉斯公式則恰好相反，其作用在

32、于而貝葉斯公式則恰好相反，其作用在于“由結(jié)果推原因由結(jié)果推原因”:現(xiàn)在有一個現(xiàn)在有一個“結(jié)果結(jié)果B已發(fā)已發(fā)生了，在眾多可能的生了，在眾多可能的“緣由中到底是哪一緣由中到底是哪一個導(dǎo)致了這結(jié)果個導(dǎo)致了這結(jié)果?v 這是一個在日常生活和科學(xué)技術(shù)中常要這是一個在日常生活和科學(xué)技術(shù)中常要問到的問題問到的問題.v貝葉斯公式說，各原因貝葉斯公式說，各原因vAi(i=1,2,n)v 可能性大小與可能性大小與vP(B|Ai)v 成比例成比例.v例如，某地區(qū)發(fā)生了一個刑事案件，按平例如，某地區(qū)發(fā)生了一個刑事案件，按平日掌握的資料，嫌疑犯有張三、李四日掌握的資料，嫌疑犯有張三、李四等人，等人，v 在不知道案情細節(jié)在

33、不知道案情細節(jié)(事件事件B)之前，人們對之前，人們對上述諸人作案的可能性有個估計上述諸人作案的可能性有個估計(相當(dāng)于相當(dāng)于P(Ai)(i=1,2,n)，那是基于他們過去在局，那是基于他們過去在局子里的記錄子里的記錄.v 但在知道了案情細節(jié)以后，這個估計就但在知道了案情細節(jié)以后，這個估計就有了變化有了變化.比方說，原來以為不甚可能的張比方說，原來以為不甚可能的張三，現(xiàn)在成了重點嫌疑犯三，現(xiàn)在成了重點嫌疑犯.v貝葉斯公式在統(tǒng)計學(xué)上有重要的作用，貝葉斯公式在統(tǒng)計學(xué)上有重要的作用，v 由于在統(tǒng)計學(xué)中，就是依靠收集的數(shù)據(jù)由于在統(tǒng)計學(xué)中，就是依靠收集的數(shù)據(jù)(相當(dāng)于貝葉斯公式中的事件相當(dāng)于貝葉斯公式中的事件

34、B)去尋找所感去尋找所感興趣的問題的答案的，興趣的問題的答案的，v 根本就是一個根本就是一個“由結(jié)果找原因性質(zhì)的過由結(jié)果找原因性質(zhì)的過程，程，v 因此貝葉斯公式有用武之地因此貝葉斯公式有用武之地.v事實上，依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一事實上，依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法，叫做整套統(tǒng)計推斷方法，叫做v“貝葉斯統(tǒng)計貝葉斯統(tǒng)計”.v證證)()()|(BPBAPBAPiiv對分子對分子P(AiB)分母分母P(B)分別應(yīng)用乘法定理分別應(yīng)用乘法定理和全概率公式即得貝葉斯公式和全概率公式即得貝葉斯公式.v貝葉斯公式中的貝葉斯公式中的P(Ai)稱為先驗概率，這種稱為先驗概率，這種概率一般在試驗

35、前就是已知的，它常常是概率一般在試驗前就是已知的，它常常是以往經(jīng)驗的總結(jié)以往經(jīng)驗的總結(jié).vP(Ai|B)稱為后驗概率，它反映了試驗之后稱為后驗概率，它反映了試驗之后對各種原因發(fā)生的可能性大小的新知識對各種原因發(fā)生的可能性大小的新知識.v貝葉斯公式實際上就是根據(jù)先驗概率貝葉斯公式實際上就是根據(jù)先驗概率(Prior Probability)求后驗概率求后驗概率(Posterior Probability)的公式的公式.v在例在例2.3.1“一個工廠有甲、乙、丙三個車間一個工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的總產(chǎn)量的25%，35%，

36、40%，而產(chǎn)品中的次，而產(chǎn)品中的次品率分別為品率分別為5%，4%，2%.今將這些產(chǎn)品混今將這些產(chǎn)品混在一起，并隨機地抽取一個產(chǎn)品，若抽到在一起，并隨機地抽取一個產(chǎn)品，若抽到的一件產(chǎn)品是次品，試問這件次品是甲、的一件產(chǎn)品是次品，試問這件次品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的概率各為多少？又哪一乙、丙車間生產(chǎn)的概率各為多少？又哪一個概率最大？個概率最大？”中若設(shè)事件中若設(shè)事件B表示抽到的一表示抽到的一個產(chǎn)品是次品；事件個產(chǎn)品是次品；事件A1,A2,A3分別表示抽分別表示抽到的產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，到的產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，那么那么v在例在例2.3.1中若設(shè)事件中若設(shè)事件B表示抽到的一個產(chǎn)品

37、表示抽到的一個產(chǎn)品是次品；事件是次品；事件A1,A2,A3分別表示抽到的產(chǎn)分別表示抽到的產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，那么品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，那么v先驗概率先驗概率P(Ai)(i=1,2,3)的值依次為的值依次為v25%，35%，40%；v而后驗概率而后驗概率P(Ai|B)(i=1,2,3)的值依次為的值依次為v0.362，0.406，0.232.v例例2.3.2 設(shè)患肺病的人經(jīng)過檢查，被查出的設(shè)患肺病的人經(jīng)過檢查，被查出的概率為概率為0.95，v 而未患肺病的人經(jīng)過檢查，被誤認為有而未患肺病的人經(jīng)過檢查，被誤認為有肺病的概率為肺病的概率為0.002；v 又設(shè)在全城居民中患有肺病的

38、概率為又設(shè)在全城居民中患有肺病的概率為0.1%.v若從居民中隨機抽一人檢查，診斷為有肺若從居民中隨機抽一人檢查，診斷為有肺病，求這個人確實患有肺病的概率？病，求這個人確實患有肺病的概率？v解解 設(shè)設(shè)A表示某居民患肺病的事件，則表示某居民患肺病的事件，則Ac即即表示某居民無肺病表示某居民無肺病.v 設(shè)設(shè)B為檢查后診斷為有肺病的事件，于為檢查后診斷為有肺病的事件，于是問題就是求是問題就是求vP(A|B).v由于由于BA+Ac，又，又A與與Ac互不相容，故由互不相容，故由貝葉斯公式貝葉斯公式 )|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAPv而而999. 0)(,001. 0

39、)(APAP002. 0)|(,95. 0)|(ABPABPv故故3223. 0999. 0002. 095. 0001. 095. 0001. 0)|(BAPv類例類例2.3.2 設(shè)患肺病的人經(jīng)過檢查，被查出設(shè)患肺病的人經(jīng)過檢查，被查出的概率為的概率為0.95，v 而未患肺病的人經(jīng)過檢查，被誤認為有而未患肺病的人經(jīng)過檢查，被誤認為有肺病的概率為肺病的概率為0.002；v 又設(shè)在全城居民中患有肺病的概率為又設(shè)在全城居民中患有肺病的概率為10%(0.1%).v若從居民中隨機抽一人檢查，診斷為有肺若從居民中隨機抽一人檢查，診斷為有肺病，求這個人確實患有肺病的概率？病，求這個人確實患有肺病的概率？v

40、解解 設(shè)設(shè)A表示某居民患肺病的事件，則表示某居民患肺病的事件，則Ac即即表示某居民無肺病表示某居民無肺病.v 設(shè)設(shè)B為檢查后診斷為有肺病的事件，為檢查后診斷為有肺病的事件，v于是問題就是求于是問題就是求vP(A|B).v由于由于BA+Ac，又，又A與與Ac互不相容，故由互不相容，故由貝葉斯公式貝葉斯公式 )|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAPv而而( )0.1,( )0.9P AP A002. 0)|(,95. 0)|(ABPABPv故故0.1 0.95(|)0.1 0.950.0020.90.981405P A Bv類例類例2.3.2 設(shè)患肺病的人經(jīng)過檢查，

41、被查出設(shè)患肺病的人經(jīng)過檢查，被查出的概率為的概率為0.95，而未患肺病的人經(jīng)過檢查，而未患肺病的人經(jīng)過檢查，被誤認為有肺病的概率為被誤認為有肺病的概率為0.002；又設(shè)在全；又設(shè)在全城居民中患有肺病的概率為城居民中患有肺病的概率為10%(0.1%).若若從居民中隨機抽一人檢查，診斷為有肺病，從居民中隨機抽一人檢查，診斷為有肺病，求這個人確實患有肺病的概率？求這個人確實患有肺病的概率？v解解 假設(shè)假設(shè)vP(A)=10%(0.1%)，v那么那么vP(A|B)98%(0.3223).v這說明，當(dāng)某種疾病在人群中只占很小的這說明，當(dāng)某種疾病在人群中只占很小的比例比例(P(A)=0.1%)，v 即使一種

42、診斷方法把健康人誤診為患者即使一種診斷方法把健康人誤診為患者的可能性很小，但是僅靠這種方法診斷某的可能性很小，但是僅靠這種方法診斷某人患此疾病的準確性還是比較低的人患此疾病的準確性還是比較低的(P(A|B)0.3223).v 在此情況下仍需對可疑者用另外的辦法在此情況下仍需對可疑者用另外的辦法診斷，才能減少誤診診斷，才能減少誤診. vP(A)=10%，有一定的癥狀，有一定的癥狀，P(A|B)98%. vSARS，甲流，甲流全概率公式、貝葉斯公式往屆考全概率公式、貝葉斯公式往屆考題題v例例1 v例例1 (1987，試卷一，試卷一，3分分) 填空題填空題v(補補12.)三個箱子，第一個箱子中有三個

43、箱子，第一個箱子中有4個黑球，個黑球，1個白球，第二個箱子中有個白球，第二個箱子中有3個黑球，個黑球，3個白個白球，第三個箱子中有球，第三個箱子中有3個黑球，個黑球，5個白球個白球.v現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，這個球為白球的概率為出一個球，這個球為白球的概率為 ( )；v已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€箱已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€箱子的概率為子的概率為( ).v解：設(shè)解：設(shè)vA表示事件表示事件“任取一球為白球任取一球為白球”，vBi表示事件表示事件“取到第取到第i個箱子個箱子”，i=1,2,3，v 那么那么vAB1+B2+B3，

44、v從而，根據(jù)全概率公式得從而，根據(jù)全概率公式得31( )() (|)iiiP AP B P A B31( )() (|)iiiP AP B P A B181516131511313131CCCCCC12053v由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得 222() (|)(|)( )P BP A BP BAP A120/536/15320v例例2 (1987，試卷四，試卷四，8分分) v(11.)假設(shè)有兩箱同種零件，第一箱內(nèi)裝假設(shè)有兩箱同種零件，第一箱內(nèi)裝50件，其中有件，其中有10件一等品，第二箱內(nèi)裝件一等品，第二箱內(nèi)裝30件，件，其中有其中有18件一等品件一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選出現(xiàn)從兩箱中隨意挑選出

45、一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件件(取出的零件均不放回取出的零件均不放回).求：求：v（1先取出的零件是一等品的概率先取出的零件是一等品的概率p；v（2在先取出的零件是一等品的條件下，在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率第二次取出的零件仍然是一等品的概率q.v解：設(shè)解：設(shè)vA表示表示“先取出的零件是一等品先取出的零件是一等品”，vC表示表示“第二次取出的零件是一等品第二次取出的零件是一等品”，v再設(shè)再設(shè)Bi表示表示“取到第取到第i箱箱”，i=1,2，v 那么那么vAB1+B2，v(1)根據(jù)全概率公式得根據(jù)全概率公式得112

46、2( )( ) ( |)( ) ( |)pP AP B P A BP B P A B)|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAPp30182150102152v(2)法法1()( | )( )P ACqPC AP A52291730182149950102148557. 0v(2)法法2()( | )( )P ACqPC AP A221018225030112225CCCCv例例3 (1988，試卷四，試卷四，7分分) v(12.)玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各只，假設(shè)各箱含箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和和0.1.一顧

47、客欲購一箱玻璃杯，購買時，一顧客欲購一箱玻璃杯，購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨意地察售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨意地察看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，求：否則退回，求： v(1)顧客買下該箱的概率顧客買下該箱的概率；v(2)在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率的概率.v(答案：答案： 0.94；=0.85.)v解：設(shè)解：設(shè)vA表示表示“顧客買下該箱玻璃杯顧客買下該箱玻璃杯”，v再設(shè)再設(shè)Bi表示表示“箱中恰有箱中恰有i個殘次品個殘次品”，i=0,1,2,v 那么那么vA=B0A+B1A+B2A，

48、v(1)根據(jù)全概率公式得根據(jù)全概率公式得20( )( ) ( |)iiiP AP B P A B20( )( ) ( |)iiiP AP B P A B4204184204191 . 01 . 018 . 0CCCC94. 0v(2)根據(jù)貝葉斯公式得根據(jù)貝葉斯公式得000() ( |)(| )( )P B P A BP B AP A94. 08 . 085. 0v例例4 (2019，試卷一，試卷一，3分分) 填空題填空題v設(shè)工廠設(shè)工廠A和工廠和工廠B生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為為1%和和2%.v 現(xiàn)從由工廠現(xiàn)從由工廠A和工廠和工廠B的產(chǎn)品分別占的產(chǎn)品分別占60%和和40%的一

49、批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則次品屬于是次品，則次品屬于A生產(chǎn)的概率是生產(chǎn)的概率是( ).v(答案：答案： 3/7.)v解：設(shè)解：設(shè)vC表示表示“產(chǎn)品為次品產(chǎn)品為次品”，v再設(shè)再設(shè)A表示表示“產(chǎn)品由工廠產(chǎn)品由工廠A生產(chǎn)生產(chǎn)”，B表示表示“產(chǎn)產(chǎn)品由工廠品由工廠B生產(chǎn)生產(chǎn)”，v 那么那么vCAB，v而所求的概率為而所求的概率為vP(A|C) .v由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得)|()()|()()|()()|(BCPBPACPAPACPAPCAP%2%40%1%60%1%6073v例例5 (2019，試卷三，試卷三，9分分) v(13.)設(shè)有來自三個地區(qū)各設(shè)有來自

50、三個地區(qū)各10名，名，15名和名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別名考生的報名表，其中女生的報名表分別為為3份，份，7份和份和5份份.v 隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份，抽出兩份，v（1求先抽出的一份是女生表的概率求先抽出的一份是女生表的概率p；v（2已知后抽到的一份是男生表，求先抽已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率到的一份是女生表的概率q.v解：設(shè)解：設(shè)vA1表示抽到的是女生表，表示抽到的是女生表，vA2表示抽到的是男生表，表示抽到的是男生表，vHi表示地區(qū)，表示地區(qū)，i=1,2,3，v 那么那么vAH1+H2+H3，

51、v(1)由全概率公式得由全概率公式得3111)|()()(iiiHAPHPAPp3111)|()()(iiiHAPHPAPp125151151711013313131CCCCCC9029v(2)由全概率公式得由全概率公式得6120)()()|(22121APAAPAAPqv其中其中9061)(1)(12APAP312121)|()()(iiiHAAPHPAAP124120125151141811517191711013313131CCCCCCCCCCCC929020v例例6 (2019，試卷一，試卷一，5分分) v已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有

52、箱中裝有3件合格品和件合格品和3件次品，乙箱中僅件次品，乙箱中僅裝有裝有3件合格品件合格品.v從甲箱中任取從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱，求從乙箱件產(chǎn)品放入乙箱，求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率？中任取一件產(chǎn)品是次品的概率？v(答案：答案：p=1/4.)v解：設(shè)解：設(shè)vA表示事件表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，vAi表示事件表示事件“從甲箱中任取的三件產(chǎn)品中有從甲箱中任取的三件產(chǎn)品中有i件次品件次品”，i=0,1,2,3，那么，那么vAH0+H1+H2+H3，v從而根據(jù)全概率公式得從而根據(jù)全概率公式得30()()(|)iiiP AP AP AA30()()(|

53、)iiiP AP AP AA312213111333333312331313166666660CC CC CCCCCCCCCCCC41v例例7 一箱中有一箱中有10件產(chǎn)品，次品件產(chǎn)品，次品0，1，2為等為等可能可能.v開箱，任取一件，若判定是次品，則拒收開箱，任取一件，若判定是次品，則拒收.v正品被判定為次品的概率為正品被判定為次品的概率為0.002，次品被，次品被判定為正品的概率為判定為正品的概率為0.1，v求檢驗一箱不拒收的概率？求檢驗一箱不拒收的概率？v(答案：概率答案：概率=0.9082.)v解：設(shè)解：設(shè)vA表示表示“檢驗一箱不拒收檢驗一箱不拒收”，B1表示表示“取一件取一件取到正品取

54、到正品”，B2表示表示“取一件取到次品取一件取到次品”，v 那么那么vAB1+B2，v 由全概率公式得由全概率公式得)|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP)(1 . 0)()002. 01 (21BPBP9082. 0v再設(shè)再設(shè)vCi表示表示“箱中有箱中有i只次品只次品”，i=0,1,2, v 那么那么vAC0+C1+C2，v 從而根據(jù)全概率公式得從而根據(jù)全概率公式得2011)|()()(iiiCBPCPBP10910831109311312022)|()()(iiiCBPCPBP1011023110131031v例例8 (10.)已知一批產(chǎn)品中有已知一批產(chǎn)品中有96%是合格

55、品，是合格品，v 檢驗產(chǎn)品時，一件合格品被誤認為是次檢驗產(chǎn)品時，一件合格品被誤認為是次品的概率為品的概率為0.02，一件次品被誤認為是合格，一件次品被誤認為是合格品的概率為品的概率為0.05，v 求經(jīng)檢驗是合格品的確實是合格品的概求經(jīng)檢驗是合格品的確實是合格品的概率？率？v解：設(shè)解：設(shè)vA表示表示“任取一件產(chǎn)品經(jīng)檢驗是合格品任取一件產(chǎn)品經(jīng)檢驗是合格品”，vB表示表示“任取一件產(chǎn)品確實是合格品任取一件產(chǎn)品確實是合格品”，v 則由貝葉斯公式得則由貝葉斯公式得)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP05. 0)96. 01 ()02. 01 (96. 0)02. 01 (96. 0998. 0v例例9 三個盒子中各裝有三個盒子中各裝有5個球，其中第個球，其中第i號盒號盒內(nèi)含有內(nèi)含有i個白球與個白球與5i個黑球，個黑球，i=1,2,3.v 現(xiàn)從現(xiàn)從1號盒內(nèi)任取一個球放入號盒內(nèi)任取一個球放入2號中，再號中，再從從2號盒內(nèi)任取一個球放入號盒內(nèi)任取一個球放入3號中，最后從號中，最后從3號盒內(nèi)任取一個球放入號盒內(nèi)任取一個球放入1號內(nèi)，號內(nèi)，v 求三個盒子內(nèi)球的組成不變的概率？求三個盒子內(nèi)球的組成不變的概率？v解：設(shè)解：設(shè)vA