磁場(chǎng)極值與邊界

1、4一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場(chǎng)后沿BC射出，求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。4一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離為L(zhǎng)，如圖所示。不計(jì)重力的影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。分析：由題知P點(diǎn)在磁場(chǎng)之外，且粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r，則 過P沿速度方向作延長(zhǎng)線，交

2、x軸與Q點(diǎn)。粒子在磁場(chǎng)中的軌跡應(yīng)與OQ、PQ相切，且圓心在y軸上，如圖所示，則C為圓心，A為粒子離開磁場(chǎng)的位置。由圖中幾何關(guān)系得 聯(lián)立求得 OA為圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，由幾何關(guān)系得 14如圖所示，一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從點(diǎn)b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E、方向沿x軸負(fù)方向成60角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，通過了b點(diǎn)正下方的c點(diǎn)，如圖所示。粒子的重力不計(jì)，試求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積。（2）c點(diǎn)到b點(diǎn)的距離s。14解析：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)

3、動(dòng)，軌跡半徑為R，則有R=粒子經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)域速度偏轉(zhuǎn)角為120，這表明在磁場(chǎng)區(qū)域中軌跡為半徑為R的圓弧，此圓弧應(yīng)與入射和出射方向相切。作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中實(shí)線所示。軌跡MN為以O(shè)為圓心、R為半徑，且與兩速度方向相切的圓弧，M、N兩點(diǎn)還應(yīng)在所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上。在過M、N兩點(diǎn)的不同圓周中，最小的一個(gè)是以MN為直徑的圓周，所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為yNMO30Ebcx 面積為S=（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)設(shè)從b到c垂直電場(chǎng)方向位移x，沿電場(chǎng)方向位移y，所用時(shí)間為t。則有x=v0t 又 解得 x=mv02/Eq y=6mv02/Eq 7放射源P放出質(zhì)量是m，電荷量是q的正粒子。粒子的初速度大小

4、為v，方向在xOy平面內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若將放射源置于x、y坐標(biāo)系的原點(diǎn)，如圖918所示。圖918(1)試畫出粒子所能達(dá)到的區(qū)域；(2)若在處放置一檔板MN，則擋板上多大范圍內(nèi)有粒子到達(dá)；(3)若磁場(chǎng)限制在x0區(qū)域，則上述擋板上多大范圍內(nèi)有粒子到達(dá)。*7(1)見答圖91；(2)；(3)8、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)垂直紙面向里的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從y軸上a(0，L)點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從x軸上的b點(diǎn)射出磁場(chǎng)，此時(shí)速度的方向與x軸正方向的夾角為60，且此磁場(chǎng)區(qū)域恰好是滿足此電子偏轉(zhuǎn)的最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域(此最

5、小圓形磁場(chǎng)未畫出)，下列說法正確的是：A此圓形磁場(chǎng)區(qū)域邊界不會(huì)經(jīng)過原點(diǎn)OB電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為C該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的圓心坐標(biāo)為(，)D電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)為(0，2L)圖14圖14所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑的兩倍已知該帶電粒子的質(zhì)量為、電荷量為，不考慮帶電粒子的重力（1）推導(dǎo)帶電粒子在磁場(chǎng)空間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；（2）求帶電粒子通過磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角；（3）沿磁場(chǎng)邊界放置絕緣彈性擋板，使粒子與擋板碰撞后以原速率彈

6、回，且其電荷量保持不變?nèi)魪狞c(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子速度已減小為，求該粒子第一次回到點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間解：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，受洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得： 2分1分（2）設(shè)粒子飛出和進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向夾角為，則 x是粒子在磁場(chǎng)中軌跡的兩端點(diǎn)的直線距離x最大值為2R，對(duì)應(yīng)的就是最大值且2R=r所以3分（3）當(dāng)粒子的速度減小為時(shí)，在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 1分故粒子轉(zhuǎn)過四分之一圓周，對(duì)應(yīng)圓心角為時(shí)與邊界相撞彈回，由對(duì)稱性知粒子經(jīng)過四個(gè)這樣的過程后第一次回到點(diǎn)，亦即經(jīng)歷時(shí)間為一個(gè)周期1分粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期所以從O點(diǎn)沿x軸正方向射出的粒子第一次回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間是1分(全國(guó)

7、卷2)26（21分）圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為V;兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量。（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為，求離子

8、乙的質(zhì)量。（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。解析：（1）在粒子進(jìn)入正交的電磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子的速度為v，電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E0，根據(jù)平衡條件得 由化簡(jiǎn)得 粒子甲垂直邊界EF進(jìn)入磁場(chǎng)，又垂直邊界EF穿出磁場(chǎng)，則軌跡圓心在EF上。粒子運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過EG，說明圓軌跡與EG相切，在如圖的三角形中半徑為R=acos30tan15 tan15= 聯(lián)立化簡(jiǎn)得 在磁場(chǎng)中粒子所需向心力由洛倫磁力提供，根據(jù)牛頓第二定律得 聯(lián)立化簡(jiǎn)得 （2）由于1點(diǎn)將EG邊按1比3等分，根據(jù)三角形的性質(zhì)說明此軌跡的弦與EG垂直，在如圖的三角形中，有

9、同理 （10）（3）最輕離子的質(zhì)量是甲的一半，根據(jù)半徑公式離子的軌跡半徑與離子質(zhì)量呈正比，所以質(zhì)量在甲和最輕離子之間的所有離子都垂直邊界EF穿出磁場(chǎng)，甲最遠(yuǎn)離H的距離為，最輕離子最近離H的距離為，所以在離H的距離為到之間的EF邊界上有離子穿出磁場(chǎng)。如圖所示，在0xa、oy范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090范圍內(nèi).己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)

10、周期的四分之一，求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的：(1)速度大??；(2)速度方向與y軸正方向夾角正弦。 解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫磁力公式，得，解得：當(dāng)Ra時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，依題意，時(shí)，設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系可得：再加上，解得：如圖1所示，寬度為的豎直狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)（邊界為），存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向上的周期性變化的電場(chǎng)（如圖2所示），電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為，表示電場(chǎng)方向豎直向上。時(shí)，一帶正電、質(zhì)

11、量為的微粒從左邊界上的點(diǎn)以水平速度射入該區(qū)域，沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后，做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，再沿直線運(yùn)動(dòng)到右邊界上的點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，重力加速度為g。上述、為已知量。 (1)求微粒所帶電荷量和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；(2)求電場(chǎng)變化的周期；(3)改變寬度，使微粒仍能按上述運(yùn)動(dòng)過程通過相應(yīng)寬度的區(qū)域，求的最小值。解析： （1）微粒作直線運(yùn)動(dòng)，則 微粒作圓周運(yùn)動(dòng)，則 聯(lián)立得 （2）設(shè)粒子從N1運(yùn)動(dòng)到Q的時(shí)間為t1，作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t2，則 聯(lián)立得 電場(chǎng)變化的周期 （3）若粒子能完成題述的運(yùn)動(dòng)過程，要求 d2R (10)聯(lián)立得 （11）設(shè)N1Q段直線運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為tmin，由（10）（11）得 因t2不變，

12、T的最小值如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形。質(zhì)量為、電荷量為的電子以大小為的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：（1）次勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。解析：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。電子所受到的磁場(chǎng)的作用力應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧的圓心在CB邊或其延長(zhǎng)線上。依題意， 圓心在A、C連線的中垂線上，故B 點(diǎn)即為圓心，圓半徑為按照牛頓定律有 聯(lián)立式得（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小，可知自點(diǎn)垂直于入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線交角為（不妨設(shè)）的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。圖中，圓的圓心為O，pq垂直于BC邊 ，由式知，圓弧的半徑仍為，在D為原點(diǎn)、DC為x軸，AD為軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)為這意味著，在