22[1]32一元二次方程的應(yīng)用——面積問(wèn)題

1、一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用 面積問(wèn)題馮東霞一、基礎(chǔ)回顧：一、基礎(chǔ)回顧： 1.一根20m長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)矩形，若一邊長(zhǎng)為2m，則另一邊長(zhǎng)為_(kāi)m ,所圍成的矩形的面積為_(kāi)平方米，若設(shè)一邊長(zhǎng)是x m，則另一邊長(zhǎng)為_(kāi)m ,若圍成的矩形的面積為24 平方米，則所得的方程是_ ，x的值是_。 2.一塊正方形的鐵皮，四周截去一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的小正方形后，做成一個(gè)底面積為64cm的無(wú)蓋容器，設(shè)正方形的鐵片的邊長(zhǎng)為xcm,則可列方程_。例例1: 1: 有一塊矩形鐵皮有一塊矩形鐵皮, ,長(zhǎng)長(zhǎng)100100, ,寬寬5050, ,在它的四角各切去一個(gè)正方形在它的四角各切去一個(gè)正方形, ,然后將四然后將四周突

2、出部分折起周突出部分折起, ,就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒, ,如果要制作的方盒的底面積為如果要制作的方盒的底面積為36003600平方平方厘米厘米, ,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形? ?1001005050 解:設(shè)切去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm.依題意可列方程 （100-2x）（50-2x）=3600 整理得 x2-75x+350=0 分解為 (x-70)(x-5)=0 x=70, x=5 當(dāng)x=70時(shí)（50-2x）0，x=5 答：切去的小正方形的邊長(zhǎng)為5cm. 例例2：某農(nóng)戶(hù)利用某農(nóng)戶(hù)利用25米長(zhǎng)的墻為一邊，用米長(zhǎng)的墻為一邊，用39 米長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)當(dāng)

3、三邊，圍成了一個(gè)面積為米長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)當(dāng)三邊，圍成了一個(gè)面積為99 m2 的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，(1)求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各是求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各是多少？多少？(2)怎樣圍能使雞場(chǎng)面積最大怎樣圍能使雞場(chǎng)面積最大 ？解解:設(shè)垂直于墻壁的一邊長(zhǎng)為設(shè)垂直于墻壁的一邊長(zhǎng)為x 米，則平行于墻壁的一邊米，則平行于墻壁的一邊長(zhǎng)為（長(zhǎng)為（392x）米。根據(jù)題）米。根據(jù)題意得意得:xx25米米例例3 3：某校為了美化校園某校為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)32米米,寬寬20米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑若干條等寬的道路米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑若干條等寬的道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,草坪草坪面積面積為為540540米米2

4、 2，現(xiàn)在有位現(xiàn)在有位學(xué)生設(shè)計(jì)了一種方案學(xué)生設(shè)計(jì)了一種方案,根據(jù)設(shè)計(jì)方案列出方程根據(jù)設(shè)計(jì)方案列出方程,求圖中道路的寬是多少求圖中道路的寬是多少?則橫向的路面面積為則橫向的路面面積為 ，分析：此題的相等關(guān)系是矩分析：此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等于形面積減去道路面積等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如如圖，設(shè)道路的寬為圖，設(shè)道路的寬為x x米，米，32x 32x 米米2 2縱向的路面面積為縱向的路面面積為 。20 x 20 x 米米2 2注意：這兩個(gè)面積的重疊部分是注意：這兩個(gè)面積的重疊部分是 x x2 2 米米？(1) 所列方程是不是所列方程是不是 3220-(32x+20

5、 x)=540 圖中道路面積不是圖中道路面積不是 (32x+20 x)平方米平方米正確的方程是：正確的方程是：232 203220540 xxx化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，2521000,xx0)50)(2(xx122,50 xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去，超出了原矩形的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去，所以所以x=2x=2。答：所求道路的寬為答：所求道路的寬為2 2米。米。解法二：解法二： 我們利用我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變它的面積大小不會(huì)改變”的道理，的道理，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（

6、目的是求出路面的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）的位置修路）(2)(2)解法二解法二如圖，設(shè)路寬為如圖，設(shè)路寬為x x米米草坪矩形的長(zhǎng)（橫向）為草坪矩形的長(zhǎng)（橫向）為 。 （32-x)32-x)米米草坪矩形的寬（縱向）為草坪矩形的寬（縱向）為 。(20-x)(20-x)米米相等關(guān)系是：草坪長(zhǎng)相等關(guān)系是：草坪長(zhǎng)草坪寬草坪寬=540=540米米2 2即即3220540.xx化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：212521000,50,2xxxx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去超出了原矩形的長(zhǎng)和寬，應(yīng)舍去. .所以所以x=2x=2。 答：所求道路的寬為答：

7、所求道路的寬為2 2米。米。小結(jié)小結(jié)列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟與列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟與 列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類(lèi)似，列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類(lèi)似，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答 這里要特別注意:在列一元二次方在列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，由于所得的根一程解應(yīng)用題時(shí)，由于所得的根一般有兩個(gè)，所以要檢驗(yàn)這兩個(gè)根般有兩個(gè)，所以要檢驗(yàn)這兩個(gè)根是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求 練習(xí)練習(xí)1：一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的：一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，倍，如果在如果在4個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為5cm的小正方的小正方形，然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有形，然后

8、把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有蓋的盒子，盒子的容積是蓋的盒子，盒子的容積是3000 cm3，求鐵板的長(zhǎng)和寬求鐵板的長(zhǎng)和寬 解：設(shè)解：設(shè)5(2x-10)(x-10)=30002 2、用、用20cm20cm長(zhǎng)的鐵絲能否折成面積為長(zhǎng)的鐵絲能否折成面積為30cm30cm2 2的矩形的矩形, ,若能夠若能夠, ,求它的長(zhǎng)與寬求它的長(zhǎng)與寬; ;若不能若不能, ,請(qǐng)說(shuō)明請(qǐng)說(shuō)明理由理由. .解解:設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為xcm,則寬為則寬為 cm,)220(x30)220( xx即即x2-10 x+30=0這里這里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此方程無(wú)解此方程無(wú)解.用用20

9、cm長(zhǎng)的鐵絲不能折成面積為長(zhǎng)的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形的矩形.3.如圖是寬為如圖是寬為20米米,長(zhǎng)為長(zhǎng)為32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同樣寬的三條道路同樣寬的三條道路(兩條縱向兩條縱向,一條橫向一條橫向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地,要使試驗(yàn)要使試驗(yàn)地的面積為地的面積為570平方米平方米,問(wèn)問(wèn):道路寬為多少米道路寬為多少米?解解: :設(shè)道路寬為設(shè)道路寬為x x米，米，則則570)20)(232(xx化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去超出

10、了原矩形的寬，應(yīng)舍去.答答:道路的寬為道路的寬為1米米.4.如圖如圖,長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路圍環(huán)繞著寬度相等的小路,已知小路的面積為已知小路的面積為246m2,求小路的寬度求小路的寬度.ABCD解解: :設(shè)小路寬為設(shè)小路寬為x x米，米，則則2015246)215)(220(xx化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的寬為小路的寬為3米米.5、學(xué)校課外生物小組的實(shí)驗(yàn)園地是一塊長(zhǎng)、學(xué)校課外生物小組的實(shí)驗(yàn)園地是一塊長(zhǎng)40 米，寬米，寬 26 米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開(kāi)辟一橫兩米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開(kāi)辟一橫兩縱三條等寬的小道，要使種植面積為縱三條等寬的小道，要使種植面積為 864 平方米，平方米，求小道的寬？求小道的寬？ 設(shè)小道的寬為設(shè)小道的寬為x 米。米。 根據(jù)題意得根據(jù)題意得:(402x)(26x) = 864088462 xx0)44)(2( xx21 x442 x（不合題意，舍去）（不合題意，舍去） 答：答：小道的寬為小道的寬為2米。米。 小道小道小道小道26404