雙曲面數(shù)學(xué)方程式

1、§5 雙曲面為了較為直觀地理解雙曲面的幾何特征，先看一個例子. 將yz平面上的雙曲線分別繞虛軸（z軸）和實軸（y軸）旋轉(zhuǎn)，得到兩個旋轉(zhuǎn)曲面 和 分別稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面和旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面. 它們的圖形如下所示. 圖1圖21單葉雙曲面定義4.5.1 在直角坐標系下，由方程 (a，b，c >0)(4.51)所表示的圖形稱為單葉雙曲面；而方程(4.51)稱為單葉雙曲面的標準方程. 性質(zhì)與形狀（i）對稱性 單葉雙曲面(4.51)關(guān)于三坐標軸，三坐標平面及原點對稱. 原點是(4.51)的對稱中心. （ii）有界性 由方程(4.51)可知，單葉雙曲面(4.51)是無界曲面（iii）頂點、與坐標

2、軸的交點和與坐標面的交線單葉雙曲面(4.51)與x，y軸分別交于（±a，0，0），（0，±b，0）而與z軸無實交點. 上述四點稱為單葉雙曲面的實頂點，而與z軸的交點（0，0，±ci）稱為它的兩個虛交點. (4.51)與三坐標平面z = 0，y = 0和x = 0交于三條曲線(1)(2)(3)其中（1）叫單葉雙曲面(4.51)的腰橢圓，（2）和（3）均為單葉雙曲面上的雙曲線. （iv）與平行于坐標面的平面的交線為考察(4.51)的形狀，我們先用平行于xy平面的平面z = k去截它，其截線為(4)這是一族橢圓，其頂點為，其半軸為b和a ，當(dāng)k逐漸增大時，橢圓（4）逐漸

3、變大. 可見，單葉雙曲面(4.51)是由一系列“平行”橢圓構(gòu)成的，這些橢圓的頂點分別在二相互“垂直”的雙曲線上變化. 再用一族平行于yz平面的平面x = k去截(4.51)，其截線為(5)當(dāng)k< a時，（6）為一雙曲線，其實軸平行于y軸，虛軸平行于z軸，其頂點為，當(dāng)k= a時，（6）為二相交線，其交點為（k，0，0）當(dāng)k>a時，（6）仍為雙曲線，但其實軸平行于z軸，虛軸平行于y軸，其頂點. 最后，若用一組平行于zx平面的平面去截(4.51)，其截線情況與上述相仿. 截線圖形如上圖所示. 綜上，單葉雙曲面(4.51)的圖形如圖（1）所示. 圖（1）中也畫出了腰橢圓和兩條主雙曲線. 一

4、般的單葉雙曲面可以理解為將本節(jié)開始時得到的旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面在x軸方向作一個伸縮變換而得到. 在直角系下，方程或所表示的圖形也是單葉雙曲面，繪圖時注意須確定其“虛軸”. 二 雙葉雙曲面：1 定義：在直角坐標系下，由方程（a，b，c > 0）(4.52)所表示的圖形稱為雙葉雙曲面；而(4.52)稱為雙葉雙曲面的標準方程. 幾何性質(zhì)與形狀：（i）對稱性 雙葉雙曲面(4.52)關(guān)于三坐標軸，三坐標面及原點對稱，原點為其中心. （ii）有界性 由(4.52)可見，雙葉雙曲面為無界曲面. （iii）與坐標軸的交點及與坐標面的交線 雙葉雙曲面(4.52)與x軸、y軸不交，而與z軸交于（0，0，±

5、;c），此為其實頂點. 雙葉雙曲面(4.52)與三坐標面交于三條曲線(5)(6)(7)（5）是一個虛橢圓，表明雙葉雙曲面(4.52)與xy平面不相交（無實交點）. （6）、（7）均為雙曲線，其實軸為z軸，虛軸分別為y軸和x軸，其頂點為（0，0，±c）. （iv）與平行于坐標面平面的交線：為考察雙葉雙曲面(4.52)的形狀，先用平行于xy面的平面去截(4.52)，其截線為(8)當(dāng)k< c時，(4.52)與z = k無實交點. 當(dāng)k= c時，(4.52)與z = k交于（0，0，±c）當(dāng)k> c時，（8）為橢圓，其頂點為(0，±b，k)，(±a，

6、0，k)，其半軸為b，a. 可見，雙葉雙曲面(4.52)是由z =±c外的一系列“平行”橢圓構(gòu)成. 這些橢圓的頂點在雙曲線（6）和（7）上變化. 若用平行于yz面的平面去截(4.52). 其截線為(9)對任意實數(shù)k，(9)均為雙曲線，其實軸平行于z軸，虛軸平行于y軸，頂點為(k，0，±c).雙葉雙曲面(4.52)的示意圖如前面的圖（2），但準確地說，圖（2）是雙葉雙曲面的示意圖. 最后，若用平行于zx面的平面去截(4.52)，其截線情況與上述相仿. 在直角系下，方程和所表示的圖形也是雙葉雙曲面. 最后談?wù)剢稳~雙曲面和雙葉雙曲面的方程的識別，這一點上有些學(xué)生容易出錯. 兩種雙曲面的方程的左邊都是x，y，z的平方項，有正有負，右邊是1或1. 把方程的右邊都化成1，則左邊有兩項正，一項負的，就表示單葉雙曲面. 而左邊有兩項負，一項正的，就表