高中數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)講義-思想方法滲透

1、個性化輔導(dǎo)講義學(xué)生： 徐鶴綰 科目： 數(shù)學(xué) 第 6 階段第 1 次課 教師： 張洵 時間： 05.23 課 題思想方法滲透教學(xué)目標(biāo)數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的掌握.重點、難點數(shù)形結(jié)合思想分類討論思想考點及考試要求熟練運用數(shù)學(xué)思想在各個題型中的運用教學(xué)內(nèi)容知識版圖善于用數(shù)學(xué)思想武裝自己考點一：函數(shù)與方程思想知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析【思想精要】函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來

2、使問題獲解.方程是從算術(shù)方法到代數(shù)方法中尋找等量關(guān)系的一種質(zhì)的飛躍，有時，還可以將函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的.1.函數(shù)的思想方法函數(shù)的思想方法是用聯(lián)系變化的觀點，將給定的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出所需的結(jié)論.在解題中，要善于挖掘題目隱含的條件.高考中有關(guān)函數(shù)思想的試題主要涉及以下兩個方面：（1）利用有關(guān)初等函數(shù)性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題.（2）在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為簡，化繁為簡的目的.2.方程的思想方法方程的思想方法就是將所求的量（或與所求

3、的量相關(guān)的量）設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中各量之間的關(guān)系列出等式，溝通未知與已知的關(guān)系，從而使問題得以解決.高考中有關(guān)方程的單獨命題較少，在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下三個方面：（1）方程、函數(shù)、不等式的綜合題.（2）求曲線方程及判定曲線的位置關(guān)系.（3）構(gòu)造方程或不等式求解.【思想滲透】一、函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例1】如果方程在上有解，求的取值范圍.【龍文點撥】研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化熟悉的二次方程，進而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決.二、函數(shù)

4、與方程思想在不等式中的應(yīng)用【例2】設(shè)不等式對滿足的一切實數(shù)的取值都成立，求的取值范圍.【龍文點撥】一般地，對于多元問題，需要確定合適的變量和參數(shù)，反客為主，主客換位思考，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新的函數(shù)創(chuàng)造性的使原問題獲解.求解本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式的問題就變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題.三、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例3】設(shè)數(shù)列滿足且，證明：【龍文點撥】在證明有關(guān)數(shù)列的不等式問題中，常?？梢酝ㄟ^構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明.本題通過構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)這個工具，易得證.本題綜合考查了函數(shù)、數(shù)列、不等式及導(dǎo)數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.四、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用【例4

5、】已知直線與拋物線交于不同的兩點、,問：是否存在，使以為直徑的圓過拋物線的焦點.【龍文點撥】是否存在適合題意的按思路的自然流向應(yīng)變?yōu)椋宏P(guān)于的方程是否有解.另外，解得后，經(jīng)過式的檢驗，就是說，時，直線與要確定有兩個不同的交點.五、函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用【例5】平面內(nèi)邊長為的正三角形，直線，交于,現(xiàn)將沿折成的二面角，求在何位置時，折起后到的距離最短，最短距離是多少？【龍文點撥】立體幾何、解析幾何及實際應(yīng)用問題中的最優(yōu)化問題，一般是利用函數(shù)的思想解決，思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，然后再利用有關(guān)知識，求函數(shù)的最值.針對練習(xí)1.拋物線上的點到A的最短距離是 （ ）A.3 B. C.2

6、D.2.已知，則有 （ ）A. B. C. D.3.已知則的值是 4.已知當(dāng)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 5.已知關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.考點二： 數(shù)形結(jié)合思想知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析【思想精要】數(shù)形結(jié)合思想主要是運用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和形的直觀性，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，是抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過圖形的描述，用代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思維方法.1.數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在兩方面：一是以形助數(shù)，即借助形的直觀性來闡述數(shù)之間的聯(lián)系，以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位元；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助解析幾何方法等.二是以數(shù)助形，即

7、借助于數(shù)軸的精確性來闡明形的某些屬性，以數(shù)助形常用的有；借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合等.2.數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是代數(shù)問題與之圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，在利用這一思想時，要注意以下幾點：一要明白一些概念和數(shù)式的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；二是要恰當(dāng)設(shè)參數(shù)，建立關(guān)系，做好數(shù)形的轉(zhuǎn)化；三在轉(zhuǎn)化時要注意等價性原則.3.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題，常與以下內(nèi)容有關(guān).（1實數(shù)與數(shù)軸上的點；（2）函數(shù)、不等式與函數(shù)圖像；（3）曲線與方程；（4）代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；（5）以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念.如向量，可行域與目標(biāo)函數(shù)，復(fù)數(shù)，三角函數(shù)等.【思想滲透】一、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)不

8、等式中的應(yīng)用【例6】設(shè)有函數(shù)和，已知時恒有求實數(shù)的取值范圍.【龍文點撥】利用函數(shù)的圖像解決不等式問題，通常根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€（或多個）函數(shù)（函數(shù)為不熟悉的形式，需要做適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖像，利用圖像的位置，找到數(shù)量關(guān)系，從而解決不等式的問題，這樣往往可以避免復(fù)雜的計算.二、數(shù)形結(jié)合思想在方程中的應(yīng)用【例7】若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.【龍文點撥】用函數(shù)的圖像討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是把方程的兩邊的代數(shù)式（復(fù)雜時做適當(dāng)?shù)淖冃危┰O(shè)為兩個函數(shù)，

9、并在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出兩函數(shù)圖像，圖像交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).此題方程的解實質(zhì)是函數(shù)的零點問題，求有關(guān)解的個數(shù)可將參數(shù)移至一側(cè)，將另一側(cè)轉(zhuǎn)化為簡易的初等函數(shù)，結(jié)合圖像易解.三、數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)，代數(shù)式的取值范圍，最值問題中的應(yīng)用【例8】已知實數(shù)系一元二次方程有兩個根，一個,根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，一個根在區(qū)間（1,2）內(nèi)，求：(1點對應(yīng)區(qū)域的面積；(2的取值范圍；(3的值域.【龍文點撥】研究此類題目，關(guān)鍵在于理解代數(shù)式所表示的幾何意義，利用題目所給的條件，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域，利用數(shù)形結(jié)合思想，題目迎刃而解.四、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用【例8】點在橢圓的左準(zhǔn)線上，經(jīng)過點且方向為的光線，

10、經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，求橢圓的離心率.【龍文點撥】在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，這樣使數(shù)更形象，更直白，充分利用圖像的特征，挖掘題目中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，避免一些復(fù)雜的計算，給解題提供方便.五、數(shù)形結(jié)合思想在向量中的應(yīng)用【例9】設(shè)向量滿足，求的最大值.【龍文點撥】此類題目我們也可以通過向量的計算，結(jié)合不等式來求解，或利用向量的坐標(biāo)形式，求出點所滿足的軌跡方程來求解，但運算量都比較大.本題借助圖形來解答，就很直觀、簡便，同時也很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)點. 針對練習(xí)1.已知函數(shù)滿足下面關(guān)系：（1）（2）當(dāng)時，則方程解的個數(shù)是 （ ）A.5 B.7 C.9 D.102

11、.已知向量，對任意，恒有，則 （ ）A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)此函數(shù)在上有零點，則的取值范圍是 4.已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，是切點，是圓心，四邊形面積的最小值是 5.已知函數(shù)（1）設(shè)求的取值范圍；（2）設(shè)且方程有四個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍.考點三： 分類討論思想知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析【思想精要】在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論.分類討論是許多考生的弱點，也是高考的熱點和難點.分類討論思想在求解三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用.分類討論思想是以概念的

12、劃分、幾何的分類為基礎(chǔ)的思想方法，對分類討論思想要特別注意以下幾個方面：1.分類原則：分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進行，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論.2.分類方法：明確討論對象以及研究的范圍；確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論.3.含參數(shù)問題的分類討論是常見題型.【思想滲透】一、分類討論思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例10】在中，角所對的邊分別為，已知（1）求的值；（2）當(dāng)時，求及的長.【龍文點撥】本題由是銳角還是鈍角的不確定，引起的分類討論.在局部運算中結(jié)果的多種可能性而誘發(fā)分類，在解答題中比較常見.二、分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例11】設(shè)等比數(shù)列的公比為，

13、前項和(1求的取值范圍；(2設(shè)記的前項和為，試比較與的大小.【龍文點撥】數(shù)學(xué)概念、定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的，要進行分類討論.如本題中等比數(shù)列的前項和的的公式，要分和兩種情況.用作差法比較大小時，如果“差”中含有參數(shù)，要進行分類.三、分類討論思想在立體幾何中的應(yīng)用【例12】已知正三棱柱的底面積為S，高為，過點作與底面成角的截面，使,求截面的面積.【龍文點撥】由所涉及圖形的形狀或位置關(guān)系的不確定，通常要分類求答，特別是題中沒有給出圖形的情況下，我們在審題時，應(yīng)注意圖形位置的可變性，以防漏解.四、分類討論思想在解析幾何中的應(yīng)用【例13】已知橢圓的離心率連接橢圓的

14、四個頂點得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點A,B，已知點A的坐標(biāo)為，點Q（在線段AB的垂直平分線上，且求的值.【龍文點撥】本題主要由線段AB的垂直平分線位置的變化而引起的分類，在用點斜式或斜截式設(shè)直線方程時，通常要分直線的斜率存在或不存在兩種情況.五、分類討論思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用【例14】已知其中是自然常數(shù)，.(1當(dāng)時，討論的單調(diào)性及極值；(2是否存在實數(shù)，使的最小值為3？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.【龍文點撥】本題是由參數(shù)的變化引起的分類討論，在分類時，應(yīng)做到不重不漏，不能忘記這一情況.一般地，由參數(shù)變化引起結(jié)論變化的情況，包括（

15、1）含參數(shù)不等式問題；（2）含參數(shù)的方程問題；（3）含參數(shù)的函數(shù)問題；（4）含參數(shù)方程中曲線類型的判定等幾種情況.針對練習(xí)1.一條直線過點（5,2），且在軸，軸上的截距相等，則這條直線與方程為 （ ）A. B.C.或 D.或2.若且則實數(shù)的取值范圍是 ( A. B. C. D.3.已知則 4.在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有 種（用數(shù)字作答）.5.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.考點四： 轉(zhuǎn)化與化歸思想知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析p 【思想精要】轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手

16、段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等.各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容和解題過程中.轉(zhuǎn)化的常用策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等.【思想滲透】 一、轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例15

17、】已知中，三個內(nèi)角，的對邊分別為的外接圓半徑為且（1）求角；（2）求面積的最大值.【龍文點撥】在解決三角形的問題時，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊，以使將題目中的元素統(tǒng)一起來或?qū)l件和結(jié)論統(tǒng)一起來，這是一重要的思維方式，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想中的和諧統(tǒng)一原則.二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例16】已知數(shù)列的首項（1）求的通項公式；（2）證明：對任意的（3）證明：【龍文點撥】第（1）小題借助遞推關(guān)系變形，將問題化歸為我們熟悉的基本數(shù)列等比數(shù)列來解決.第（2）小題從函數(shù)入手，將函數(shù)表達式進行配方，再進行放縮，當(dāng)然也可對函數(shù)求導(dǎo)來達到目的，這里體現(xiàn)了將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的處理思想.第（

18、3）小題是對（2）累加的基礎(chǔ)上，巧取來實現(xiàn)目標(biāo)的.通常數(shù)列問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題求解.三、轉(zhuǎn)化與化歸思想在；立體幾何中的應(yīng)用【例17】四棱錐中，平面，E為AD的中點，ABCE為菱形，,G、F分別是線段CE、PB上的動點，且滿足(1求證：平面;(2求的值，使得二面角的平面角的正切值為.【龍文點撥】在立體幾何中，證明平行、垂直時，一般都要用到線線平行、線面平行及線線垂直、線面垂直、面面垂直兩兩互相轉(zhuǎn)化的思想.在空間角及距離的計算中，通常要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將空間角的問題轉(zhuǎn)化為平面角處理.本題也可用空間向量求解.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用【例18】橢圓的一個焦點是F（1,0），O為坐標(biāo)原點.（1）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點.若直線繞點任意轉(zhuǎn)動，恒有求的取值范圍.【龍文點撥】本題將恒成立轉(zhuǎn)化為向量恒成立，再轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，最后轉(zhuǎn)化為解不等式這種將幾何問題轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式或基本初等函數(shù)的策略和方法，在解析幾何問題中是比較常見的.五、轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用【例19】已知函數(shù)（1）求函