混合分數布朗運動環(huán)境下的歐式期權定價

1、 第4 期 * 2 余 2 征等 ： 混合分數布朗運動環(huán)境下的歐式期權定價 9 定義 d2 =ln （ K ）-T+ T2H+ T， 則 S 2 2 * 軒 tS（T）>K=E 軒 t （B +WT）= E x>d T 2 H d2 乙姨2（ （T 1-t * 2H 2 2H ）+2（T-t ） e x- （BH （t ）+W （t ） 22（T2H-t2H）+2（T-t ） 2 dx= （BH （t ）+W （t ）-d2 * d2 - （BH （t ）+W （t ） * 乙 1 e 姨2 -z 2 2 姨2（T2H-t2H）+2（T-t ） dz= - 乙 1 e 姨2 -z

2、2 2 dz=N（d2） （20 ） 姨2（T2H-t2H）+2（T-t ） 考慮過程 BH*（t）+W*（t）=（BH（t）-t2H）+（W（t）-t） 并且記 （21 ） Z（t）=exp（BH（t）+W（t）- 1 2t2H- 1 2t） 2 2 則定理 3 給出 （22 ） 軒 tST S（T）>K（BH（T）+W（T）=erT E 軒 tZ（T） （BH（T）+W（T）=erT Z（t）E 軒 t* S（T）>K（BH*（T）+W*（T） E x>d * 2 注意 ln（S （T）=lnS+T- T2H- T+（BH（T）+W（T）= 2 2 lnS+T+ T2H+

3、 T+（BH*（T）+W*（T） 2 2 則可記 2 2 2 2 （23 ） d1 =ln（ K ）-T- T2H- T S 2 2 * 2 2 軒 t* S（T）>K（BH*（T）+W*（T）=E 軒 t* （BH*（T）+W*（T）= E x>d * 1 d1 乙姨2（ （T 1-t * 2H 2 2H ）+2（T-t ） e x- （BH （t ）+W （t ） 22（T2H-t2H）+2（T-t ） * * 2 dx= （BH * （t ）+W* （t ）-d1 * d1 - （BH （t ）+W （t ） * * 乙 * 1 e 姨2 -z 2 2 姨 （T -t ）+

4、（T-t ） 2 2H 2H 2 dz= - 乙 1 e 姨2 -z 2 2 dz=N（d1） （24 ） 姨2（T2H-t2H）+2（T-t ） 于是獲得 軒 tS （T） S（T）>K（BH（T）+W（T）=erT Z（t）N（d1）=erT e-rt S （t）N（d1）=er（T-t）S （t）N（d2） E 則上述定價公式得證 。 參考文獻 ： （25 ） 1 Biagini F ，Hu Y ，Ksendal B ， et al. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motions and ApplicationsM. Ber

5、lin ：Springer-Verlag ，2008. 2 Cheridito P. Regularizing Fractional Brownian Motion with a Miew towards Stock Price ModelingM. Zurich ：Dissertation in Zurich University ， 2002. 10 蘇州科技學院學報 （ 自然科學版 ） 8 年 3 Bender C ，Sottine T ，Valkeila E. Arbitrage with fractional Brownian motionJ. Theory of Stochasti

6、c Processes ，2006 ，12 （3 ）：1-12. 4 Bender C ，Sottine T ，Valkeila E. Pricing by hedging and absence of regular arbitrage beyond semimartingalesJ. Finance and Stochastics ，2008 ， 12 （4 ）：441-468. 5 Cheridito P. Mixed fractional Brownian motionJ. Bernoulli ，2001 ，7 ：913-934. 6 Mishura Y. Stochastic Cal

7、culus for Fractional Brownian Motions and Related ProcessesM. Berlin ：Springer ，2008 ：1929. 7 Nualart D. Malliavin Calculus and Related TopicsM. 2ndedn. Berlin ：Springer-Verlag ，2006. 8 Hu Y ，Oksendal B. Fractional white noise calculus and applications to financeJ. Infin Dimens Anal Quantum Probab ，

8、2003 ，6 ：1-32. European Call Option Pricing under a Mixed Fractional Brownian Motion Environment YU Zheng ， YAN Li-tan （School of Science ，Donghua University ，Shanghai 201620 ，China ） Abstract: The purpose of this paper is to obtain a mixed fractional Black -Scholes formula for the price of a Europe

9、an call option and a risk -neutral evaluation theorem on condition that the underlying is driven by the mixed fractional Brownian motion. Key words: mixed fractional Brownian motion ；quasi-conditional expectation ；option 責任編輯 ： 蔡熹蕓 ： （ 上接第 3 頁 ） 4 Sullivan D. Itération des fonctions analytiques

10、 complexesJ. C R Acad Sci Paris （série ），1982 ，294 ：301-303. 5 Douady A ，Hubbard J H. Itération des polynomes quadratiques complexesJ. C R Acad Sci Paris （série ），1982 ，294 ：123-126. 6 Hinkkanen A ，Martin G J. The dynamics of semigroups of rational functions J. Proc London Math Soc ，1

11、996 ，73 ：358-384. 7 Hinkkanen A ，Martin G J. Julia sets of rational semigroupsJ. Math Z ，1996 ，222 （2 ）：161-169. 8 Sumi H. On dynamics of hyperbolic rational semigroupsJ. J Math Kyoto Univ ，1998 ，37 （4 ）：717-733. 9 Huang zhigang. The dynamics of semigroups of transcendental meromorphic functionsJ. Tsinghua Science and Technology ，2004 ，9 （4 ）：472-47