Erlangen綱領(lǐng)幾何學(xué)

1、Erlangen綱領(lǐng)幾何學(xué)"非歐幾何" 的發(fā)現(xiàn)是19世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)進(jìn)展之一. 主要的先驅(qū)人物是俄國的羅巴切夫斯基, 匈牙利的鮑耶, 和德國的高斯. 非歐幾何的故事已經(jīng)流傳很廣了, 它與歐氏幾何的不同就在于所謂歐氏平行公理: 過直線外一點有且只有一條直線與直線平行. 如果把這條公理改成 "過直線外一點有兩條以上的直線與直線平行", 而保持其它公理不變, 就得到一種新的幾何, 稱為非歐幾何. 關(guān)于非歐幾何的文章發(fā)表于 1830 年左右. 有跡象說明高斯在早些年就得到了一些結(jié)果. 然而非歐幾何這個名稱在 1854 年黎曼的就職演講發(fā)表以后含義就不夠精確了(因為

2、黎曼提供了無窮多種“非歐的幾何形態(tài)), 現(xiàn)在大局部數(shù)學(xué)家把上述這種公理化幾何稱為"雙曲幾何".19世紀(jì)還出現(xiàn)了一種幾何叫射影幾何. 研究這種幾何的動機是非常貼近生活的 - 它主要研究 "中心投影" 現(xiàn)象。通俗一點說, 如果有一盞燈, 它照射在紙面上, 那么紙面上的圖形在地面上的投影是怎么樣的? 最明顯的就是, 紙面上的圓周在燈光下的影子一般不再是圓周, 可能是個橢圓周; 然后注意到, 如果紙面不平行于地面, 紙面上兩條平行的直線在燈光下的投影可能不再平行; 更奇異的現(xiàn)象是, 如果紙面足夠大 ,它上面的一個圓周也足夠大, 使得圓周上有些點比電燈所處位置更高

3、, 那么這個圓周在地面上的投影就會是雙曲線. (記得高中的解析幾何課本封面上繪有一個圓錐面, 用不同的平面去截就得到不同的圓錐曲線. 如果把錐的頂點視為一盞燈, 就容易看到所有這些圓錐曲線都可以互為中心投影.)還有一種幾何是研究平行投影下列圖形怎么變化的, 叫做 "仿射幾何". 如果把上面的燈換成太陽, 由于距離太遠(yuǎn), 在小范圍內(nèi)是非常精確的平行投影 - 紙面上兩條平行直線總是投射為地面上的平行直線. 圓周會投射為橢圓周, 但決不會是雙曲線。在 1872 年, 所有這些幾何把數(shù)學(xué)家搞懵了 - 到底什么是幾何? 這時候 23 歲的德國人克萊因在愛爾朗根大學(xué)為其教授就職演講準(zhǔn)備

4、了一篇講稿 - 這篇稿子后來被稱為愛爾朗根綱領(lǐng) -雖然他后來的演講并沒有講這個講稿上的內(nèi)容. 這篇講稿提出, 每一種幾何對應(yīng)一個變換群, 這種幾何研究的對象是各種形體在相應(yīng)變換群下不變的性質(zhì)."群" 是描述對稱性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 變換群被伽羅瓦創(chuàng)造出來研究代數(shù)方程的可解性. 而克萊因的合作者挪威人李(Lie)到 1872 年已經(jīng)研究了某些連續(xù)的變換群, 現(xiàn)在稱為 Lie 群. 以上所說的這幾種幾何都對應(yīng)到不同的 Lie 群.現(xiàn)在我們從克萊因的愛爾朗根綱領(lǐng)來看待以上提到的這些幾何:歐氏幾何是 "最小" 的幾何, 研究的就是長度啊, 全等啊這些性質(zhì). 對應(yīng)的群就

5、是所謂 "歐氏變換群", 它里面的元素包括平移, 旋轉(zhuǎn), 反射以及它們的累次作用. 這些變換保持長度不變; 我們說兩個圖形是 "全等" 的當(dāng)且僅當(dāng)有一個歐氏變換把一個圖形變?yōu)榱硪粋€.我們初中高中的時候還研究相似三角形. 這種包含“相似性的幾何對應(yīng)到什么變換群?我們可以把 "歐氏變換群" 擴大, 即, 參加 "伸縮" 這個變換, 這樣就得到更大的 "相似變換群". 我們能用相似變換把不同長度的對象 "等同" 起來, 比方不同半徑的圓周, 在相似幾何中就被視為同樣的圖形. 三角形

6、的 "相似" 就是相似幾何中的 "全等". 這個相似變換群包含歐氏變換群, 所以在這個群下不變的性質(zhì)自然在歐氏變換群下不變, 也就是說, "相似幾何" 的概念都是歐氏幾何的概念. 反過來就不對, 舉個例子, 長度是歐氏幾何的概念, 但不是相似幾何的概念. 這句話說得直白一點就是 ,幾何體的長度在歐氏變換群下不變 ,但在相似變換群下有可能改變。仿射幾何是更大的幾何. 對應(yīng)的群叫 "仿射變換群", 包括平移, 線性變換以及它們的累次作用. 線性變換的意思根本上就是那些把直線還變到直線的變換。由于旋轉(zhuǎn), 反射, 伸縮都是

7、特殊的線性變換, 所以仿射變換群包含相似變換群. 在仿射幾何里, 圓和橢圓是同一種圖形; 所有的平行四邊形都 "全等" . 在這個幾何里, 長度, 角度都失去意義, 能談?wù)摰闹荒苁瞧叫行再|(zhì), 或者共線三點的分比(單比), 等等這些很 "粗略" 的性質(zhì).射影幾何是以上提到的幾何中 "最大" 的幾何. 從仿射幾何到射影幾何的擴張, 比之前的幾次擴張要復(fù)雜得多. 特別地, 我們需要給平面添上 "無窮遠(yuǎn)直線" 來使得射影變換是一對一變換. 這其實很容易理解 ,如果紙面不平行于地面 ,那么從光源水平射出的光線就只與紙面相交而

8、不與地面相交 ,這樣它與紙面的交點在射影變換下就沒有像。如果我們假設(shè)地面的無窮遠(yuǎn)處存在所謂“無窮遠(yuǎn)點 ,那么就可以把這些無窮遠(yuǎn)點作為水平光線與地面的交點。平面的所有無窮遠(yuǎn)點構(gòu)成無窮遠(yuǎn)直線。在射影幾何中, 所有圓錐曲線 - 橢圓, 雙曲線, 拋物線, 都是 "全等" 的圖形. 所以射影幾何研究的性質(zhì)是最 "粗略" 的性質(zhì), 比方曲線的 "次數(shù)": 直線是由一次方程定義的曲線, 圓錐曲線是由二次方程定義的曲線; 再比方共線四點的交比. 射影幾何是非常有趣的幾何, 有很多 "巧合", 局部原因就是這個幾何的變換群非常大,

9、 對稱性高. 同志們?nèi)绻麑嵲陂e得無聊, 可以找本書看看, 書名一般叫做 "Projective geometry".對于熟悉計算機的同志, 可以看出在每種幾何里我們都 "重載" 了 "全等" 這個概念 -這正是關(guān)鍵所在 - 但凡能用一個變換互相轉(zhuǎn)換的對象, 我們都看成同樣的對象. 自愛爾朗根綱領(lǐng)提出以來, 對稱性(群論)日益收到重視, 到了今天, 已經(jīng)成為根深蒂固的觀念. 物理學(xué)中, 自相對論、量子力學(xué)以來, 對稱性也被作為根本原理, 到了 1970 年代, 物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)自然界四種根本相互作用的根源都是對稱性. 由此可見伽羅瓦, 李,

10、 克萊因這些前輩的深刻洞察力.其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。觀察內(nèi)容的選擇 ,我本著先靜后動 ,由近及遠(yuǎn)的原那么 ,有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的 ,能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的 ,是相當(dāng)有趣的

11、,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等 ,孩子一邊觀察 ,一邊提問 ,興趣很濃。我提供的觀察對象 ,注意形象逼真 ,色彩鮮明 ,大小適中 ,引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀察 ,保證每個幼兒看得到 ,看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法 ,即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察 ,觀察與說話相結(jié)合 ,在觀察中積累詞匯 ,理解詞匯 ,如一次我抓住時機 ,引導(dǎo)幼兒觀察雷雨 ,雷雨前天空急劇變化 ,烏云密布 ,我問幼兒烏云是什么樣子的 ,有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時 ,我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽

12、到雷聲驚叫起來 ,我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨 ,我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了 ,我就舀一盆水往下一倒 ,作比擬觀察 ,讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后 ,我又帶幼兒觀察晴朗的天空 ,朗誦自編的一首兒歌：“藍(lán)天高 ,白云飄 ,鳥兒飛 ,樹兒搖 ,太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情 ,幼兒不僅印象深刻 ,對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快 ,記得牢 ,而且會應(yīng)用。我還在觀察的根底上 ,引導(dǎo)幼兒聯(lián)想 ,讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)驗聯(lián)系起來 ,在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的 ,尖尖的 ,硬硬的 ,像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣 ,給大樹開刀治病。通過聯(lián)想 ,幼兒能夠生動形象地描述觀察對象。最近俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼解決了百萬美元問題 "龐加萊猜測" 及更廣泛的 "瑟斯頓幾何化猜測". 后面這個猜測就是天才的瑟斯頓繼承愛爾朗根綱領(lǐng)的精神給出的解決三維流形分類問題的藍(lán)圖. 具體內(nèi)容如何, 且待下回分解.課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題