第4章高斯光束(1)

1、高斯光束：穩(wěn)定腔高斯光束：穩(wěn)定腔所有可能存在的激光光束的概稱。所有可能存在的激光光束的概稱。第四章：高第四章：高 斯斯 光光 束束 理論和實(shí)踐已證明，在可能存在的激光光束形式中，最重理論和實(shí)踐已證明，在可能存在的激光光束形式中，最重要且最具典型意義的就是要且最具典型意義的就是基模高斯光束基模高斯光束。 無(wú)論是方形鏡腔還是圓形鏡腔，基模高斯光束相同，其特?zé)o論是方形鏡腔還是圓形鏡腔，基模高斯光束相同，其特征是：基模在橫截面上的光強(qiáng)分布為一圓斑，中心處光強(qiáng)最征是：基模在橫截面上的光強(qiáng)分布為一圓斑，中心處光強(qiáng)最強(qiáng)，向邊緣方向光強(qiáng)逐漸減弱，呈高斯型分布。因此，將基強(qiáng)，向邊緣方向光強(qiáng)逐漸減弱，呈高斯型分布

2、。因此，將基模激光束稱為模激光束稱為“高斯光束高斯光束”。 高階模激光束的場(chǎng)分布不同于基模，但高階模激光束的場(chǎng)分布不同于基模，但傳輸與變換規(guī)律和傳輸與變換規(guī)律和基模高斯光束相同基模高斯光束相同，稱為高階模高斯光束或，稱為高階模高斯光束或厄米高斯光束厄米高斯光束。主講：杜永兆 博士華僑大學(xué)工學(xué)院 講師Beckman Laser Institute,UCIrvine訪問(wèn)學(xué)者Email:2015年9月10日 Principles of Laser and Technology激光原理與技術(shù)第1章 激光發(fā)展及應(yīng)用概述1. 1. 均勻平面波均勻平面波 沿某方向（如沿某方向（如z z軸）傳播的均勻平面波（

3、即均勻的平行光軸）傳播的均勻平面波（即均勻的平行光束），其電矢量為：束），其電矢量為： ikzeAzyxE 0),(特點(diǎn)：特點(diǎn)：在與光束傳播方向垂直的平面上光強(qiáng)均勻、相位相等。在與光束傳播方向垂直的平面上光強(qiáng)均勻、相位相等。 4.1.1 4.1.1 高斯光束的特點(diǎn)高斯光束的特點(diǎn)4.1 4.1 高斯光束的基本性質(zhì)高斯光束的基本性質(zhì)2. 2. 均勻球面波均勻球面波 由某一由某一點(diǎn)光源點(diǎn)光源（位于坐標(biāo)原點(diǎn)）向外發(fā)射的均勻球面光波，（位于坐標(biāo)原點(diǎn)）向外發(fā)射的均勻球面光波，其電矢量為：其電矢量為： 22200222( , , )expexp()AAE x y zikxyzikrRxyz 近軸近軸（ ，

4、）：）：zyx ,zR 222222xyrxyzzR 220( , , )exp()2AxyE x y zik zRR 3. 3. 高斯光束高斯光束 高斯光束既不是均勻的平面光波，也不是均勻的球面光高斯光束既不是均勻的平面光波，也不是均勻的球面光波，而是一種比較特殊的球面波。波，而是一種比較特殊的球面波。 )()(2exp)()(exp)(),(222220zizzRyxikzyxzAzyxE 振幅因子振幅因子 相位因子相位因子 0 腰斑半徑（腰斑半徑（束腰束腰）( )z z z處的處的光斑半徑光斑半徑( )R zz z處的處的波面曲率半徑波面曲率半徑220020( )11zzzf 1. 1.

5、 振幅分布及光斑半徑振幅分布及光斑半徑)(zz00FF4.1.2 4.1.2 高斯光束的基本性質(zhì)高斯光束的基本性質(zhì)光能主要分布在雙錐體內(nèi)光能主要分布在雙錐體內(nèi)( ) z 隨隨z z以雙曲線函數(shù)變化以雙曲線函數(shù)變化0 雙曲線頂點(diǎn)坐標(biāo)為雙曲線頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，共焦參數(shù)，共焦參數(shù)由3-157式計(jì)算2. 2. 波面曲率半徑波面曲率半徑2220( )11()fR zzzzz Z=0（束腰處）（束腰處）20z 20|z 20|z Z= R(z) (束腰處等相面為平面）束腰處等相面為平面）（極小值）（極小值）20|( ) |2R z 逐漸減小，逐漸減小，曲率中心在曲率中心在2200(,) |( ) |R z逐漸

6、增加，逐漸增加，曲率中心在曲率中心在2200(,) |( )|R z|R(z)|z| (無(wú)限遠(yuǎn)處等相面為平面）無(wú)限遠(yuǎn)處等相面為平面）3. 3. 遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角ffzz 128. 126367. 02)(2lim000 全角：全角：曲率中心和曲率半徑隨傳播過(guò)程而改變；曲率中心和曲率半徑隨傳播過(guò)程而改變；振幅和強(qiáng)度在橫截面內(nèi)為高斯分布。振幅和強(qiáng)度在橫截面內(nèi)為高斯分布。等相位面近似為球面；等相位面近似為球面；高斯光束高斯光束非均勻球面波非均勻球面波總結(jié)總結(jié): : 基模高斯光束特點(diǎn)基模高斯光束特點(diǎn)幅度非均勻的變曲率中心的球面波。幅度非均勻的變曲率中心的球面波。20( )1zzf2( )1fR z

7、zz0f 20f （共焦參量）（共焦參量）4.1.3 4.1.3 高斯光束的特征參數(shù)高斯光束的特征參數(shù)00( )( )zzR z ，1. 腰斑腰斑0 （或共焦參量（或共焦參量 ）與腰位置）與腰位置fz0( )( )zR zz2. 任一任一 坐標(biāo)坐標(biāo) 處的光斑半徑處的光斑半徑 及等相面曲率半徑及等相面曲率半徑( )z ( )R zz211iq(z)R(z)(z) 復(fù)曲率半徑復(fù)曲率半徑( )q z22220002( , )expexp()( )( )( )2( )xyxyux y zci k zzzzR z 3. 3. 高斯光束的高斯光束的 q q 參數(shù)參數(shù)02200 xyu ( , , )cex

8、p(z)(z)(z)2q(z)x y zi k 2200( , , )exp()2uxyu x y zi k zRR 均勻球面波：均勻球面波：可將基模高斯光束看作具有可將基模高斯光束看作具有復(fù)數(shù)曲率半徑的球面波光束復(fù)數(shù)曲率半徑的球面波光束211iq(z)R(z)(z) 211( )( )11( )( )emRR zq zIzq z 20111iqq(0)R(0)(0) 200qiif 光腰處：光腰處：2121()()R zR zzz101LABLTCD（遵循（遵循ABCD變換法則）變換法則）121ARBRCRD （1 1）自由空間傳輸）自由空間傳輸4.2 4.2 高斯光束的傳輸與變換規(guī)律高斯光

9、束的傳輸與變換規(guī)律1. 普通球面波的傳輸與變換規(guī)律普通球面波的傳輸與變換規(guī)律21111RRF 1011FABTCDF 1( )Rz2( )Rz1O2OF（遵循（遵循ABCD變換法則）變換法則）121ARBRCRD （2）經(jīng)過(guò)薄透鏡的變換規(guī)律）經(jīng)過(guò)薄透鏡的變換規(guī)律（3）經(jīng)過(guò)球面鏡反射）經(jīng)過(guò)球面鏡反射DCRBARR 112 1201RDCBA200(0)zifi ，q q束腰處：束腰處：1Z 01 LT 自由空間變換矩陣：自由空間變換矩陣：由由ABCDABCD法則：法則：2220202( ) 1 ( ) 1 zzfR zzz 結(jié)論：結(jié)論：高斯光束高斯光束q q參數(shù)在自由空間的變換規(guī)律滿足參數(shù)在自由

10、空間的變換規(guī)律滿足ABCDABCD法則法則2. 高斯光束的傳輸與變換規(guī)律高斯光束的傳輸與變換規(guī)律（1 1） 高斯光束在自由空間的傳輸高斯光束在自由空間的傳輸zifzq )(1R2RF1M2M21111RRF12 22222112211111()11()111qqFiiRRFiRF 結(jié)論：結(jié)論：高斯光束高斯光束q q參數(shù)經(jīng)薄透鏡的變換規(guī)律滿足參數(shù)經(jīng)薄透鏡的變換規(guī)律滿足ABCDABCD法則法則（2 2）高斯光束經(jīng)過(guò)薄透鏡的變換）高斯光束經(jīng)過(guò)薄透鏡的變換121AqBqCqD 1011FABTCDF 透鏡兩邊波面的透鏡兩邊波面的曲率半徑分別為曲率半徑分別為R1R1，R2.R2.求：求：CCR 、已知：

11、已知：0lF 、 、 、方法一：方法一：z=0z=0處：處：200qi A處：處：0Aqql B處：處：111BAqqF C處：處：CBCqql 21111eCCmCCRRqIq 3. 實(shí)例分析實(shí)例分析cl1101111010111CCCClllllllFFMlFFF 方法二：方法二：121A qBqC qD 211122111()1()DDiDCCqRBBiBqAAqR 2212122122BABR 222211 iRq DCBA212211122212BABRRBDACBDRR 2200220022222222()(1) ()()()CCCClllABllFF 1R入射光束的光腰處：入射光

12、束的光腰處： ，把，把A、B、C、D代入得到：代入得到：12RR 202222200222200()()FDC fFl 變換前后的束腰大變換前后的束腰大小關(guān)系小關(guān)系變換前后的束腰位置關(guān)系變換前后的束腰位置關(guān)系特例：求特例：求0l 、0 0 c 0qAqBqCqABClCll （變換后的焦斑大小和焦斑距離）（變換后的焦斑大小和焦斑距離）當(dāng)物點(diǎn)位于透鏡前焦點(diǎn)，像點(diǎn)不在無(wú)窮遠(yuǎn)處，與幾何光線不同當(dāng)物點(diǎn)位于透鏡前焦點(diǎn)，像點(diǎn)不在無(wú)窮遠(yuǎn)處，與幾何光線不同使激光束會(huì)聚為極小點(diǎn)，得到光能集中的小光斑使激光束會(huì)聚為極小點(diǎn)，得到光能集中的小光斑4.3.1 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦4.3 4.3 高斯光束的聚焦和

13、準(zhǔn)直高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直0 0 F1. 一定時(shí)，一定時(shí)，0 ll隨隨與與的變化情況的變化情況 20 fF為透鏡焦距，為透鏡焦距，f為共焦參數(shù)為共焦參數(shù) 不管不管l多少，聚焦點(diǎn)在透鏡像方空間；入射高斯光束光多少，聚焦點(diǎn)在透鏡像方空間；入射高斯光束光腰在物方焦平面時(shí)，出射光束光腰在像方焦平面上。腰在物方焦平面時(shí)，出射光束光腰在像方焦平面上。（1）lF 0 隨隨l的減小而減小的減小而減小腰斑放大率：腰斑放大率：020111kfF 0l 時(shí)，時(shí)，00 不論透鏡焦距不論透鏡焦距F為多大，都有一定為多大，都有一定 的聚焦作用；的聚焦作用；F越小，聚焦作用越好；越小，聚焦作用越好；腰斑的位置處在透鏡腰斑的位

14、置處在透鏡后焦點(diǎn)以內(nèi)后焦點(diǎn)以內(nèi)。結(jié)論結(jié)論00(min)21()fF 0l 時(shí)：時(shí)：當(dāng)當(dāng)21FlFFf 光腰在透鏡處光腰在透鏡處（2）lF l 時(shí)：時(shí)：當(dāng)當(dāng)00lF ，0 隨隨l的增大而單調(diào)減小的增大而單調(diào)減小當(dāng)當(dāng)lF，時(shí)：時(shí)：00Fl lf時(shí)，時(shí)，F(xiàn)l越大，越大，越小，聚焦效果越好。越小，聚焦效果越好。lF，結(jié)論結(jié)論（3）lF 0 達(dá)到極大值達(dá)到極大值000FFf 且：且：lF 結(jié)論結(jié)論Ff 無(wú)聚焦作用；無(wú)聚焦作用；Ff 有聚焦作用。有聚焦作用。 0 l2. 一定時(shí)，一定時(shí)，隨隨的變化情況的變化情況 FfR lll2( )1() 2220022222(),()()FlFFlFFlfFlf （1

15、）FR l 1( )2時(shí)：時(shí)：ll 00，透鏡對(duì)高斯光束實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變換透鏡對(duì)高斯光束實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變換FR l 1( )2（2）時(shí)：時(shí)： 00有聚焦作用有聚焦作用（3）FR l 1( )2時(shí)：時(shí)： 00無(wú)聚焦作用無(wú)聚焦作用欲獲得小值欲獲得小值 ，以獲得較好的聚焦效果，可采用：，以獲得較好的聚焦效果，可采用：0 F1. 短焦距透鏡會(huì)聚，減小短焦距透鏡會(huì)聚，減小0l fF2. ，即把入射高斯光束腰斑放在透鏡表面，即把入射高斯光束腰斑放在透鏡表面， 并增大入射光束腰，使并增大入射光束腰，使3. 增大束腰至透鏡前焦點(diǎn)距離增大束腰至透鏡前焦點(diǎn)距離腰斑小，光束發(fā)散角大，發(fā)散得快；腰斑小，光束發(fā)散角大，發(fā)散得快

16、；腰斑大，光束發(fā)散角小，發(fā)散得慢。腰斑大，光束發(fā)散角小，發(fā)散得慢。002 壓縮光束發(fā)散角使能量集中壓縮光束發(fā)散角使能量集中 4.3.2 4.3.2 高斯光束的準(zhǔn)直高斯光束的準(zhǔn)直1. 單透鏡準(zhǔn)直單透鏡準(zhǔn)直 002, 0022()FlFf 20 f原則上說(shuō)，原則上說(shuō)，不可能用單透鏡將高斯光束轉(zhuǎn)換成平面波。不可能用單透鏡將高斯光束轉(zhuǎn)換成平面波。2200220211(1)()lFF lF 時(shí)，時(shí)，0 達(dá)到極大值達(dá)到極大值0 達(dá)到極小值達(dá)到極小值00(max)0(min)0022F F F，2000fFF 1fF時(shí)，有較好的準(zhǔn)直效果。時(shí)，有較好的準(zhǔn)直效果。00F F 當(dāng)透鏡的焦距當(dāng)透鏡的焦距 一定時(shí)，若

17、入射高斯光束的束腰處在透一定時(shí)，若入射高斯光束的束腰處在透鏡的前焦面上，則光束發(fā)散角達(dá)到極小。鏡的前焦面上，則光束發(fā)散角達(dá)到極小。F越大，越大，0 越??；越??；0 越小，越小，0 越小。越小。先用一個(gè)先用一個(gè)短焦距短焦距透鏡將高斯光束聚焦，以獲得極小腰斑；透鏡將高斯光束聚焦，以獲得極小腰斑；再用一個(gè)長(zhǎng)焦距透鏡改善其方向性。再用一個(gè)長(zhǎng)焦距透鏡改善其方向性。2. 望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直時(shí)：時(shí)： 將高斯光束聚焦于將高斯光束聚焦于L L1 1透鏡后焦面上得一極透鏡后焦面上得一極小光斑小光斑10( )Fl 1Fl 入射光束的光腰與透鏡入射光束的光腰與透鏡F1的距離為的距離為l。準(zhǔn)直倍率：準(zhǔn)直倍率：0000

18、0021000000210000200( )( )( )1FFlFlMFllMM ，與望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)與望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)M21FF有關(guān)，且與高斯參數(shù)有關(guān)。有關(guān)，且與高斯參數(shù)有關(guān)。2.12 2.12 高斯光束的自再現(xiàn)變換與模式匹配高斯光束的自再現(xiàn)變換與模式匹配 當(dāng)一個(gè)高斯光束通過(guò)透鏡后，其結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，即：當(dāng)一個(gè)高斯光束通過(guò)透鏡后，其結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，即：一、自再現(xiàn)變換一、自再現(xiàn)變換1. 1. 利用透鏡實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變換利用透鏡實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)變換 當(dāng)透鏡的焦距等于高斯光束入射在透鏡表面上的波面曲當(dāng)透鏡的焦距等于高斯光束入射在透鏡表面上的波面曲率半徑一半時(shí)，透鏡對(duì)該高斯光束作自再現(xiàn)變換。率半徑一半時(shí)，透鏡對(duì)該

19、高斯光束作自再現(xiàn)變換。2. 2. 球面反射鏡的自再現(xiàn)變換球面反射鏡的自再現(xiàn)變換 當(dāng)入射在球面鏡上的高斯束波面曲率半徑等于球面鏡的當(dāng)入射在球面鏡上的高斯束波面曲率半徑等于球面鏡的曲率半徑時(shí)，在反射時(shí)高斯光束的參數(shù)不發(fā)生變化。曲率半徑時(shí)，在反射時(shí)高斯光束的參數(shù)不發(fā)生變化。ll ，00 )(21lRF )(lRR 4.4 4.4 高斯束的匹配高斯束的匹配 高斯光束被匹配反射鏡作高斯光束被匹配反射鏡作自再現(xiàn)變換自再現(xiàn)變換這一事實(shí)在諧振腔這一事實(shí)在諧振腔理論中有重要意義。理論中有重要意義。 如果將高斯束的兩個(gè)等相位面用相同曲率半徑的球面反如果將高斯束的兩個(gè)等相位面用相同曲率半徑的球面反射鏡來(lái)代替，則構(gòu)成

20、一個(gè)穩(wěn)定腔，而且由于該光束被腔的兩射鏡來(lái)代替，則構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定腔，而且由于該光束被腔的兩個(gè)反射鏡作自再現(xiàn)變換，所以它將成為腔的個(gè)反射鏡作自再現(xiàn)變換，所以它將成為腔的自再現(xiàn)模自再現(xiàn)模。 反之。對(duì)任意穩(wěn)定腔而言，只要適當(dāng)選擇高斯束的光腰位反之。對(duì)任意穩(wěn)定腔而言，只要適當(dāng)選擇高斯束的光腰位置及大小，就可使它成為該穩(wěn)定腔的本征模。置及大小，就可使它成為該穩(wěn)定腔的本征模。 設(shè)高斯光束從腔內(nèi)某一位置（參考面）出發(fā)的設(shè)高斯光束從腔內(nèi)某一位置（參考面）出發(fā)的q q參數(shù)為參數(shù)為 ，往返一次變?yōu)橥狄淮巫優(yōu)?，則，則mqmq DCqBAqqmmm 一、一、 高斯束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔高斯束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面

21、腔DCqBAqqqqmmmmm 利用利用BADiBADqm4/)(1212 可以求出高斯模在可以求出高斯模在參考面上參考面上的波面曲率半徑和光斑尺寸為：的波面曲率半徑和光斑尺寸為：2/122/12/1)2(1/)/()/(2 ADBADBR ，121122 ADAD由于要求光斑尺寸由于要求光斑尺寸 為實(shí)數(shù)，則得到：為實(shí)數(shù)，則得到： 這正是由幾何光學(xué)導(dǎo)出的這正是由幾何光學(xué)導(dǎo)出的腔的穩(wěn)定性條件。腔的穩(wěn)定性條件。利用這一關(guān)系可求出多鏡腔、折疊腔的光束參數(shù)。利用這一關(guān)系可求出多鏡腔、折疊腔的光束參數(shù)。模式匹配：模式匹配：當(dāng)一個(gè)諧振腔產(chǎn)生的單模高斯光束入射到另一個(gè)當(dāng)一個(gè)諧振腔產(chǎn)生的單模高斯光束入射到另一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)透鏡變換透鏡變換后在光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)也產(chǎn)生基模，而不后在光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)也產(chǎn)生基模，而不激發(fā)其它模式。激發(fā)其它模式。如何匹配：如何匹配：經(jīng)透鏡變換后在光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的光束的光腰位置和經(jīng)透鏡變換后在