四川省遂寧二中2012屆高三數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料（6） 反函數(shù)和二次函數(shù)

1、（6）反函數(shù)和二次函數(shù)知識梳理（一）反函數(shù)1.反函數(shù)定義：若函數(shù)y=f（x）（xA）的值域?yàn)镃，由這個函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=（y）.如果對于y在C中的任何一個值，通過x=（y），x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=（y）（yC）叫做函數(shù)y=f（x）（xA）的反函數(shù)，記作x=f1（y）.在函數(shù)x=f1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f1（x）.2.反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)

2、才有反函數(shù)。3.求反函數(shù)的步驟：（1）解關(guān)于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y對換位置，得到y(tǒng)=f1（x）.（3）求出并說明反函數(shù)的定義域即函數(shù)y=f（x）的值域.4.反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（1）函數(shù)y=f（x）的定義域是它的反函數(shù)y=f1（x）的值域；函數(shù)y=f（x）的值域是它的反函數(shù)y=f1（x）的定義域；（2）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y=f（x）與y=f1（x）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對稱.反之，如果單調(diào)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f（x）與y=g（x）互為反函數(shù)。（3）若函數(shù)y=f（x）與y=f1（x）互

3、為反函數(shù)，且在y=f（x）的圖象上，則在y=f1（x）的圖象上。（4）若函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)，則它的反函數(shù)y=f1（x）的單調(diào)性和原函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性相同。（5）非單元集的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，若存在，則反函數(shù)也是奇函數(shù)。4.二次函數(shù)的基本性質(zhì)一般式頂點(diǎn)式兩根式解析式圖象對稱軸頂點(diǎn)單調(diào)性最值點(diǎn)擊雙基1.函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的反函數(shù)為（ ）A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）2.函數(shù)f（x）=（x）的反函數(shù)（ ）A.在，+）上為增函數(shù)B.在，+）上為減函數(shù)C.在（，0上為增

4、函數(shù)D.在（，0上為減函數(shù)3.二次函數(shù)y=x22（a+b）x+c2+2ab的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且a、b、c為ABC的三邊長，則ABC為A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形D.等腰三角形4.若函數(shù)f（x）=，則f1（）=_.5.若函數(shù)y=x2+（a+2）x+3，xa，b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則b=_.6.設(shè)函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的反函數(shù)，則f（4x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為A.0，+） B.（，0 C.0，2）D.（2，0典例剖析【例1】 求函數(shù)f（x）=的反函數(shù).【例2】 已知函數(shù)f（x）是函數(shù)y=1（xR）的反函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x1成軸對稱圖

5、形，記F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定義域.（2）試問在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在這樣兩個不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直?若存在，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【例3】 設(shè)x、y是關(guān)于m的方程m22am+a+6=0的兩個實(shí)根，則（x1）2+（y1）2的最小值是A.12B.18 C.8 D. 【例4】已知函數(shù)的最大值為，求的值 【例5】已知函數(shù)與非負(fù)軸至少有一個交點(diǎn)，求的取值范圍闖關(guān)訓(xùn)練1.函數(shù)y=+1（x1）的反函數(shù)是（ ）A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）2.記函數(shù)y=1+3x

6、的反函數(shù)為y=g（x），則g（10）等于（ ）A.2 B.2 C.3 D.13. 已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（ ）A.B. C.D.4.要使y=x2+4x（xa）有反函數(shù)，則a的最小值是（ ）A. 4 B. 2 C.2 D.45.（2010全國卷，理2）函數(shù)的反函數(shù)是（ ）A. B. C. D. 6.(2008陜西理7)已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若,則的值為（ ）A. 2 B. 1 C. 4 D.107. 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. 或 B. C. 或 D.或8.若點(diǎn)（2，）既在函數(shù)y2axb的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則a=_，b=_.9.若對任意實(shí)數(shù)x，sin

7、2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍_.10.若不等式對一切總成立，則的最小值為_.11.已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=3x1，設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（8）=_.12.已知函數(shù)f（x）=mx2+（m3）x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.13.已知函數(shù)（a0，且a1）.（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.14.已知函數(shù)f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函數(shù)f1（x）；（2）判定f1（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若不

8、等式（1）f1（x）a（a）對x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（6）反函數(shù)和二次函數(shù)知識梳理（一）反函數(shù)1.反函數(shù)定義：若函數(shù)y=f（x）（xA）的值域?yàn)镃，由這個函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=（y）.如果對于y在C中的任何一個值，通過x=（y），x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=（y）（yC）叫做函數(shù)y=f（x）（xA）的反函數(shù)，記作x=f1（y）.在函數(shù)x=f1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f1（x

9、）.2.反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)。3.求反函數(shù)的步驟：（1）解關(guān)于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y對換位置，得到y(tǒng)=f1（x）.（3）求出并說明反函數(shù)的定義域即函數(shù)y=f（x）的值域.4.反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（1）函數(shù)y=f（x）的定義域是它的反函數(shù)y=f1（x）的值域；函數(shù)y=f（x）的值域是它的反函數(shù)y=f1（x）的定義域；（2）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y=f（x）與y=f1（x）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對稱.反之，如果單調(diào)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f（x）與y=

10、g（x）互為反函數(shù)。（3）若函數(shù)y=f（x）與y=f1（x）互為反函數(shù)，且在y=f（x）的圖象上，則在y=f1（x）的圖象上。（4）若函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)，則它的反函數(shù)y=f1（x）的單調(diào)性和原函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性相同。（5）非單元集的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，若存在，則反函數(shù)也是奇函數(shù)。4.二次函數(shù)的基本性質(zhì)一般式頂點(diǎn)式兩根式解析式圖象對稱軸頂點(diǎn)單調(diào)性最值點(diǎn)擊雙基1.函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的反函數(shù)為（ ）A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）解析：函數(shù)y=log2（x+1）+1（

11、x0）的值域?yàn)閥|y1，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y11.函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的反函數(shù)為y=2x11（x1）.答案：A2.函數(shù)f（x）=（x）的反函數(shù)（ ）A.在，+）上為增函數(shù)B.在，+）上為減函數(shù)C.在（，0上為增函數(shù)D.在（，0上為減函數(shù)解析：函數(shù)f（x）=（x）的值域?yàn)閥|y0，而原函數(shù)在，+）上是減函數(shù)，所以它的反函數(shù)在（，0上也是減函數(shù).答案：D3.二次函數(shù)y=x22（a+b）x+c2+2ab的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且a、b、c為ABC的三邊長，則ABC為A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形D.等腰三角形解析：y=x（a+b）2+c2+2ab

12、（a+b）2=x（a+b）2+c2a2b2.頂點(diǎn)為（a+b，c2a2b2）.由題意知c2a2b2=0.ABC為直角三角形.答案：B4.若函數(shù)f（x）=，則f1（）=_.解法一：由f（x）=，得f1（x）=.f1（）=1.解法二：由=，解得x=1.f1（）=1.答案：1評述：顯然解法二更簡便.5.（2003年春季上海）若函數(shù)y=x2+（a+2）x+3，xa，b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則b=_.解法一：二次函數(shù)y=x2+（a+2）x+3的圖象關(guān)于直線x=1對稱，說明二次函數(shù)的對稱軸為1，即=1.a=4.而f（x）是定義在a，b上的，即a、b關(guān)于x=1也是對稱的，=1.b=6.解法二：二次函數(shù)y=

13、x2+（a+2）x+3的對稱軸為x=1，f（x）可表示為f（x）=（x1）2+c，與原二次函數(shù)的表達(dá)式比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得a+2=2.a=4，b的計算同解法一.解法三：二次函數(shù)的對稱軸為x=1，有f（x）=f（2x），比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，a=4，b的計算同解法一.答案：66.設(shè)函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的反函數(shù)，則f（4x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為A.0，+） B.（，0 C.0，2）D.（2，0解析：f（4x2）=log2（4x2）.x（2，0時，4x2單調(diào)遞增；x0，2）時，4x2單調(diào)遞減.答案：C典例剖析【例1】 求函數(shù)f（x）=的反函數(shù).解：當(dāng)x1時，y=x212，且有x=，此時反函數(shù)為y=（

14、x2）.當(dāng)x1時，y=x+12，且有x=y+1，此時反函數(shù)為y=x+1（x2）.f（x）的反函數(shù)f1（x）= 評述：分段函數(shù)應(yīng)在各自的條件下分別求反函數(shù)式及反函數(shù)的定義域，分段函數(shù)的反函數(shù)也是分段函數(shù).【例2】 已知函數(shù)f（x）是函數(shù)y=1（xR）的反函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x1成軸對稱圖形，記F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定義域.（2）試問在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在這樣兩個不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直?若存在，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）由y=1（xR），得10x=，x=lg.f（x）=lg（1x1）.

15、設(shè)P（x，y）是g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于直線y=x1的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+y，x1）.由題設(shè)知點(diǎn)P（1+y，x1）在函數(shù)y=的圖象上，x1=.y=，即g（x）=（x2）.F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定義域?yàn)閤|1x1.（2）f（x）=lg=lg（1+）（1x1）是減函數(shù)，g（x）=（1x1）也是減函數(shù)，F(xiàn)（x）在（1，1）上是減函數(shù).故不存在這樣兩個不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直.評述：本題是一道綜合題，解決第（2）小題常用的方法是反證法，但本題巧用單調(diào)性法使問題變得簡單明了.深化拓展若F（x）當(dāng)xa，b時是單調(diào)函數(shù)，則F（x）圖象上任兩點(diǎn)A、B連線的斜率都不為

16、零.【例3】 設(shè)x、y是關(guān)于m的方程m22am+a+6=0的兩個實(shí)根，則（x1）2+（y1）2的最小值是A.12B.18 C.8 D. 剖析：由=（2a）24（a+6）0，得a2或a3.于是有（x1）2+（y1）2=x2+y22（x+y）+2=（x+y）22xy2（x+y）+2=（2a）22（a+6）4a+2=4a26a10=4（a）2.由此可知，當(dāng)a=3時，（x1）2+（y1）2取得最小值8.答案：C【例4】已知函數(shù)的最大值為，求的值 分析：令，問題就轉(zhuǎn)二次函數(shù)的區(qū)間最值問題解：令，對稱軸為，（1）當(dāng)，即時，得或（舍去）（2）當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞增，由，得（3）當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，由

17、，得（舍去）綜上可得：的值為或【例5】已知函數(shù)與非負(fù)軸至少有一個交點(diǎn)，求的取值范圍解法一：由題知關(guān)于的方程至少有一個非負(fù)實(shí)根，設(shè)根為則或，得解法二：由題知或，得解法三：當(dāng)函數(shù)與非負(fù)軸沒有交點(diǎn)時，則或，得或函數(shù)與非負(fù)軸至少有一個交點(diǎn)時的取值范圍為闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2004年全國）函數(shù)y=+1（x1）的反函數(shù)是（ ）A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）解析：y=+1（x1）y1，反解xx=（y1）2+1x=y22y+2（y1），x、y互換y=x22x+2（x1）.答案：B2.（文）（2004年全國，文3）記函數(shù)y=1+3x的反

18、函數(shù)為y=g（x），則g（10）等于（ ）A.2 B.2 C.3 D.1解析：g（10）的值即為10=1+3x中x的值3x=32，x=2.答案：B3. 已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（ ）A.B. C.D.解析：，結(jié)合圖象可知，選D。答案：D4.要使y=x2+4x（xa）有反函數(shù)，則a的最小值是（ ）A. 4 B. 2 C.2 D.4解析：要使y=x2+4x（xa）有反函數(shù)，則y=x2+4x在a，+）上是單調(diào)函數(shù).a2.答案：B5.（2010全國卷，理2）函數(shù)的反函數(shù)是（ ）A. B. C. D. 答案：D6.(2008陜西理7)已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若,則的值為（ ）A. 2 B. 1 C

19、. 4 D.10解析：由，得，因此，答案：A7. 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. 或 B. C. 或 D.或答案：B8.若點(diǎn)（2，）既在函數(shù)y2axb的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則a=_，b=_.解析：點(diǎn)（2，）在函數(shù)y2axb的反函數(shù)的圖象上，根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的對稱關(guān)系，點(diǎn)（，2）在函數(shù)y2axb的圖象上.把點(diǎn)（2，）與（，2）分別代入函數(shù)y2axb可得.答案： 9.若對任意實(shí)數(shù)x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍_.k>1-10.若不等式對一切總成立，則的最小值為_.解析：，在上是增函數(shù)，最大值為，故答案：11.（200

20、4年全國，15）已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=3x1，設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（8）=_.解析：當(dāng)x0時，x0，f（x）=3x1.又f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x），即f（x）=3x1.f（x）=13x.f（x）= f1（x）=f1（8）=g（8）=log3（1+8）=log332=2.答案：2培養(yǎng)能力12.已知函數(shù)f（x）=mx2+（m3）x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：若m=0，則f（x）=3x+1，顯然滿足要求.若m0，有兩種情況：原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個，則m0；都在原點(diǎn)右側(cè)，則解得0m1.綜上可得m（，1.13.

21、已知函數(shù)f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.解：（1）化簡，得f（x）=.設(shè)y=，則ax=.x=loga.所求反函數(shù)為y=f1（x）=loga（1x1）.（2）f1（x）=loga=loga（）1=loga=f1（x），f1（x）是奇函數(shù).（3）loga1.當(dāng)a1時，原不等式a0. x1. 當(dāng)0a1時，原不等式解得1x.綜上，當(dāng)a1時，所求不等式的解集為（，1）；當(dāng)0a1時，所求不等式的解集為（1，）.探究創(chuàng)新14.已知函數(shù)f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函數(shù)f1（x）；（2）

22、判定f1（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若不等式（1）f1（x）a（a）對x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）由y=（）2，得x=.又y=（1）2，且x1，0y1.f1（x）=（0x1）.（2）設(shè)0x1x21，則0，10，10.f1（x1）f1（x2）=0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函數(shù).（3）由題設(shè)有（1）a（a）.1+a2a，即（1+a）+1a20對x，恒成立.顯然a1.令t=，x，t，.則g（t）=（1+a）t+1a20對t，恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1a2是關(guān)于t的一次函數(shù)，g（）0且g（）0，即解得1a.評述：本題（3）巧用換元法，通過構(gòu)造一次函數(shù)，借助函數(shù)圖象求解.思悟小結(jié)1.反函數(shù)的定義域和值域分別是原