人教版高中數(shù)學(xué)必修一至必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、高中數(shù)學(xué)必修一常用公式及結(jié)論歸納總結(jié)1、集合的含義與表示一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性：確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為：元素|元素的特征，例如2、常用數(shù)集及其表示方法（1）自然數(shù)集N（又稱非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、（2）正整數(shù)集N*或N+ ：1、2、3、（3）整數(shù)集Z：-2、-1、0、1、（4）有理數(shù)集Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等（5）實(shí)數(shù)集R：全體實(shí)數(shù)的集合（6）空集：不含任何元素的集合3、元素與集合的關(guān)系：屬于，不屬于例如：a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA4、集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等

2、（1）子集的概念BAA,B(圖1)或如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如圖1)，記作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，記作（2）真子集的概念BA(圖2)若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如圖2). AB或BA.（3）集合相等：若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.5、重要結(jié)論（1）傳遞性：若，則（2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.AB6、含有個(gè)元素的集合,它的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有1個(gè)；非空子集有1個(gè)(即不計(jì)空集)；非空的真子集

3、有2個(gè). 7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集（1）一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xBAB（2）一般地，對(duì)于給定的兩個(gè)集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做A,B的并集記作AB（讀作A并B），即AB=x|xA，或xB（3）若A是全集U的子集，由U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合， A叫做A在U中的補(bǔ)集，記作, 注：討論集合的情況時(shí)，不要發(fā)遺忘了的情況。8、映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念如果A，B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定

4、義域，象的集合C（CB）叫做函數(shù)y=f(x)的值域.函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù)f(x).9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。如 10、求函數(shù)的定義域的原則：（解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域）分式的分母不為零；偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零；對(duì)數(shù)的底數(shù)大于且不等于；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于；指數(shù)為的底不能為零；,則11、函數(shù)的奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）（1）奇函數(shù)滿足， 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）偶函數(shù)滿足， 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； 注：具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 若奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)

5、、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。12、函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)考慮）當(dāng)時(shí)，都有，則在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升；當(dāng)時(shí)，都有，則在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做單調(diào)（增/減）區(qū)間13、一元二次方程 （1）求根公式: （2）判別式：（3）時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)根；時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根；時(shí)方程無實(shí)根。（4）根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理:，14、二次函數(shù)：一般式； 兩根式xy0（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）對(duì)稱軸方程為：x=；（3）當(dāng)時(shí)，圖象是開口向上的拋物線，在x=處取得最小值 當(dāng)時(shí)，圖象是開口向下的拋物線，在x=

6、處取得最大值（4）二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和判別式的關(guān)系： 時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）；時(shí)，無交點(diǎn)。15、函數(shù)的零點(diǎn)使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。注：函數(shù)有零點(diǎn) 函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 方程有實(shí)根16、函數(shù)零點(diǎn)的判定：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在。17、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 （，且）（1）.如；(2) . 如；（3）；xy01y圖象10x性質(zhì)（1）定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1（4）在 R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.18、有理指數(shù)冪的運(yùn)算

7、性質(zhì)（）（1）； （2）； （3）19、指數(shù)函數(shù)（且），其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是R20、若，則 叫做以 為底的對(duì)數(shù)。記作：（，）其中，叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)。注：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式：21、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即中；（2）1的對(duì)數(shù)等于0，即 ；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即22、常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為：自然對(duì)數(shù)：以e(e=2.71828)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記為：23、對(duì)數(shù)恒等式：24、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;(3) （注意公式的逆用）25、對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論或； .26、對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）

8、：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是圖像x1y01x0性質(zhì)定義域：(0, )值域：R過定點(diǎn)（1，0）增函數(shù)減函數(shù)取值范圍0x1時(shí)，y1時(shí)，y00x0 x1時(shí)，y 0時(shí)，有. 小于取中間或.大于取兩邊(2)、解一元二次不等式 的步驟：求判別式 求一元二次方程的解： 兩相異實(shí)根 一個(gè)實(shí)根 沒有實(shí)根畫二次函數(shù)的圖象 結(jié)合圖象寫出解集解集 R解集 注：解集為R 對(duì)恒成立 （3）高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)（4）分式不等式：先移項(xiàng)通分，化一邊為0，再將除變乘，化為整式不等式，求解。如解分式不等式 ：先移項(xiàng) 通分直線再除變乘，解出。87、線性規(guī)劃：（1）一條直線將平面分為三部分（

9、如圖）：（2）不等式表示直線某一側(cè)的平面區(qū)域，驗(yàn)證方法：取原點(diǎn)（0，0）代入不等式，若不等式成立，則平面區(qū)域在原點(diǎn)所在的一側(cè)。假如直線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則取其它點(diǎn)來驗(yàn)證，例如取點(diǎn)（1，0）。（3）線性規(guī)劃求最值問題：一般情況可以求出平面區(qū)域各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，最大的為最大值。選修1-188、充要條件 （1）若，則是充分條件，是必要條件.（2）若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.89、邏輯聯(lián)結(jié)詞。“p或q”記作：pq; “p且q”記作：pq; 非p記作：p 90、四種命題： 原命題：若p，則q 逆命題：若q，則p否命題：若p，則q 逆否命題：若q，

10、則p注意：（1）原命題與逆否命題同真同假，但逆命題的真假與否命題之間沒有關(guān)系； （2）p是指命題P的否定，注意區(qū)別“否命題”。例如命題P：“若，則”，那么P的“否命題”是：“若，則”，而p是：“若，則”。91、全稱命題：含有“任意”、“所有”等全稱量詞（記為）的命題，如P：特稱命題：含有“存在”、“有些”等存在量詞（記為）的命題，如q：注：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如上述命題p和q的否定：p：， q：92、橢圓定義：若F1，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且(為常數(shù))則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸: ； 焦點(diǎn)在y軸: ； 長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=2b 焦距：2c 恒等式：

11、a2-b2=c2 離心率：93、雙曲線定義：若F1，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，（為常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。圖形：如圖標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸: 焦點(diǎn)在y軸: 實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=2b， 焦距：2c 恒等式：a2+b2=c2 離心率：漸近線方程：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，漸近線方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，漸近線方程為等軸雙曲線：當(dāng)時(shí)，雙曲線稱為等軸雙曲線，可設(shè)為。94、拋物線 定義：到定點(diǎn)F距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)M的軌跡是拋物線（如左下圖MF=MH）。F準(zhǔn)線FMH 圖形：方程 焦點(diǎn)： F F F F準(zhǔn)線方程： 注意：幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=；95導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示曲線在處的切線的斜率；

12、導(dǎo)數(shù)的物理意義：表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻處的瞬時(shí)速度。96、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) （C為常數(shù)）. (2) .(3) . (4) . (5) ；. (6) ;. （7）97、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）. （2）. （3）.98函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間（a , b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。 注：若函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則 若函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則極大值99、判別是極大（?。┲档姆椒?1)求導(dǎo)；極小值（2）令=0，解方程，求出所有實(shí)根（3）列表，判斷每一個(gè)根左右兩側(cè)的正負(fù)情況：如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值； 如果在附近

13、的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.100、求函數(shù)在閉區(qū)間a , b上的最值的步驟： （1）求函數(shù)的所有極值； （2）求閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值； （3）將各極值與比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。注意：（1）無論是極值還是最值，都是函數(shù)值，即，千萬不能寫成導(dǎo)數(shù)值。 （2）若在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則不用與端點(diǎn)比較也知道這個(gè)極值就是函數(shù)的最值。選修1-2101、復(fù)數(shù)，其中叫做實(shí)部，叫做虛部(1)復(fù)數(shù)的相等 .（） (2)當(dāng)a=0,b0時(shí),z=bi為純虛數(shù);(3)當(dāng)b=0時(shí),z=a為實(shí)數(shù);(4)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是(5)復(fù)數(shù)的模=.(6)i2 =-1, （-i）2 =-1.(7) 復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，10

14、2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則 (1)加：;(2)減：;(3)乘：;類似多項(xiàng)式相乘(4)除：（分子、分母乘分母共軛復(fù)數(shù)，此法稱為“分母實(shí)數(shù)化”）103、常用不等式：（1）重要不等式:若，則(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))（2）基本不等式:若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào)) 基本不等式的適用原則可口訣表示為：一正、二定、三相等 當(dāng)為定值時(shí)，有最小值，簡(jiǎn)稱“積定和最小” 當(dāng)為定值時(shí)，有最大值，簡(jiǎn)稱“和定積最大”104、推理：（1）合情推理：包含歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊）（2）演繹推理：從一般到特殊。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情況）

15、、結(jié)論（根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷）105、證明：（1）直接證明：包括綜合法（又叫由因?qū)Чǎ┖头治龇ǎㄓ纸袌?zhí)果索因法）（2）間接證明：又叫反證法，通常假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立。極點(diǎn)O極徑點(diǎn)M)極角極軸yx坐標(biāo)系與參數(shù)方程106、極坐標(biāo)系：其中 （1）如圖，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：; ，107、參數(shù)方程形如（*）參數(shù)方程是借助參數(shù)，間接給出之間的關(guān)系,而普通方程是直接給出與的關(guān)系，如（1）圓的參數(shù)方程是（2）橢圓的參數(shù)方程（3）參數(shù)方程與普通方程的互化：消去參數(shù)方程的參數(shù)，得到普通方程。 消去參數(shù)的方法

16、有：公式法：用公式等 代入法：方程（*）中，由解出，代入 加減消元法：方程（*）中，兩式相加（減）消去參數(shù)請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍鴮A的參數(shù)方程，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程_，說說你用的是什么方法？提示：解參數(shù)方程問題，通常先將參數(shù)方程化為普通方程，再求解。幾何證明選講108平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分國(guó)一腰109平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 推論：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）

17、，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例110判定兩個(gè)三角形相似的方法：預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形相似判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似引理：若一條直線截三角形兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么直線平行第三邊111相似三角形的性質(zhì)定理：1）相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比都等于相似比2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比3）相似三角形面積的比等于相似比的平方CABD112直角三角形的射影定理如圖ABC中，CD是斜邊AB上的高，則（1） （2）（3）；113圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù) 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角為直角114圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 推論1：經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)1（2