二次函數(shù)動(dòng)軸與動(dòng)區(qū)間問(wèn)題

1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、 知識(shí)要點(diǎn)：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題，核心是函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對(duì)稱軸為 當(dāng)時(shí)，它的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在m，n上的最值：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值是 當(dāng)時(shí)，可類比得結(jié)論。二、例題分析歸類：（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。此類問(wèn)題包括以

2、下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1. 軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1. 函數(shù)在區(qū)間0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函數(shù)是定義在區(qū)間0，3上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開(kāi)口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在0，3上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖1練習(xí). 已知，求函數(shù)的最值。解：由已知，可得，即函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開(kāi)口向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)

3、的最小值為，最大值為。圖22、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例2. 如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。解：函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），圖象開(kāi)口向上。圖1 圖2 圖3如圖1所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，例3. 已知，當(dāng)時(shí)，求的最大值解：由已知可求對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性若即時(shí)，若即時(shí)，（3）當(dāng)即時(shí)，綜上，觀察前

4、兩題的解法，為什么最值有時(shí)候分兩種情況討論，而有時(shí)候又分三種情況討論呢？這些問(wèn)題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。第一個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)是開(kāi)口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個(gè)理解，不難解釋第二個(gè)例題為什么這樣討論。對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下： 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)3、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著

5、參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例4. 已知，且，求函數(shù)的最值。解：由已知有，于是函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)，將配方得：二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程是頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開(kāi)口向上由可得，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間的左側(cè)或左端點(diǎn)上。函數(shù)的最小值是，最大值是。圖3例5. (1) 求在區(qū)間-1,2上的最大值。(2) 求函數(shù)在上的最大值。解：(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)即時(shí)，； 當(dāng)即時(shí)，。綜上所述：。(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，應(yīng)分，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3） 時(shí)；由圖可知；即4. 軸變區(qū)

6、間變二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例6. 已知，求的最小值。解：將代入u中，得，即時(shí)，即時(shí)，（二）、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。 解：（1）若，不符合題意。（2）若則，由，得（3）若時(shí)，則，由，得綜上知或例8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3最大值是3，求，的值。解法1：討論對(duì)稱軸中1與的位置關(guān)系。若，則，解得若，則，無(wú)解若，則，無(wú)解若，則，無(wú)解綜上，解析2：由，知，則，又在上當(dāng)增大時(shí)也增大所以，解得評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過(guò)整個(gè)定義

7、域上的最值，縮小了，的取值范圍，避開(kāi)了繁難的分類討論，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。例9. 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值。這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過(guò)程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過(guò)程就簡(jiǎn)明多了。具體解法為：（1）令，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意；（3）若，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意。綜上，或解后反思：若函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸均不確定，且動(dòng)

8、區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得，不妨令之為最值，驗(yàn)證參數(shù)的資格，進(jìn)行取舍，從而避開(kāi)繁難的分類討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。三、鞏固訓(xùn)練1函數(shù)在上的最小值和最大值分別是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函數(shù)在區(qū)間 上的最小值是 （） 23函數(shù)的最值為 （）最大值為8，最小值為0不存在最小值，最大值為8 （C）最小值為0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函數(shù)的取值范圍是_5已知函數(shù)上的最大值是1，則實(shí)數(shù)a的值為 6如果實(shí)數(shù)滿足，那么有 （ ） (A)最大值為 1 , 最小值為 (B)無(wú)最大值，最小值為 （C）)最大值為 1, 無(wú)最小值 (D)最大值為1，最小值為7已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值為_(kāi)9設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值_10設(shè)求函數(shù)的最小值的解析式。11已知，在區(qū)間上的最大值為，求的最小值。12.（2009江蘇卷）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式的解集.【解析