二元函數(shù)的積分中值定理的探究

1、目錄摘要I關(guān)鍵詞IAbstractIIKey wordsII前言11預(yù)備知識11.1相關(guān)定理12 多元函數(shù)積分中值定理的各種形式22.1 曲線積分中值定理的推廣2第一型曲線積分中值定理2第二型曲線積分中值定理42.2二重積分中值定理的探究及推廣52.3曲面積分中值定理的探究及推廣7第一型曲面積分中值定理7第二型曲面積分中值定理7結(jié)論9參考文獻10致謝11 摘要：積分中值定理是數(shù)學(xué)分析的重要定理，我們主要討論了二元函數(shù)的曲線、重積分、曲面的各種形式中值定理，而且還給出了這些定理的證明過程，最后總結(jié)出各類積分中值定理的形式. 關(guān)鍵詞：積分中值定理；第二中值定理；曲線積分中值定理；二重積分中值定理；

2、曲面積分中值定理Study on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables Abstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mean-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. W

3、e obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given. Key words: mean-value theorem integral; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals二元函數(shù)

4、的積分中值定理的探究前言 積分中值定理是微積分中的一個重要定理，主要包含一元函數(shù)及多元函數(shù)的積分中值定理，它在數(shù)學(xué)分析中占有很重要的地位.但是許多文獻，對于多元函數(shù)的曲線積分、曲面積分、重積分的中值定理的探究相對較少或相對淺略.基于這個理由，我們將借鑒一元函數(shù)的第一、第二積分中值定理的研究方法及思想，在文獻1-6的基礎(chǔ)上，主要討論二元函數(shù)的積分中值定理在曲線、曲面、重積分情形上是否成立，通過研究該課題，進一步完善積分中值定理的相關(guān)理論.1預(yù)備知識1.1相關(guān)定理 定理1假設(shè)和分別為函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，且在區(qū)間上可積，則有 成立. 定理2 (一元函數(shù)的介值性定理 ) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)

5、.并且函數(shù)與函數(shù)不相等.如果是介于和之間的任何實數(shù)或，則至少存在一點，使得成立，其中. 定理3 (二元函數(shù)的介值性定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，若為中任意兩點，且，則對任何滿足不等式 的實數(shù)，必存在點，使得. 定理4（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立. 定理5（推廣的第一積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，并且在上是可積的，則在上至少存在一點，使得成立. 定理6（積分第二中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上可積，而在區(qū)間上單調(diào)，則在上至少存在一點，使下式成立 定義1設(shè)平面光滑曲線:，兩端點為和.若在上不變號，稱曲線關(guān)于坐標(biāo)是無反向的. 若在上不變號

6、，稱曲線關(guān)于坐標(biāo)是無反向的.2 多元函數(shù)積分中值定理的各種形式 受文獻1,文獻2的啟發(fā)，本文主要對曲線積分的三種形式，二重積分及曲面積分的三種形式的中值定理進行探討.2.1 曲線積分中值定理的推廣 首先對曲線積分中值定理進行探討，在本文中只討論曲線:為參數(shù)方程的情形，而對于曲線為直角坐標(biāo)形式及其它形式的積分中值定理類似地可得到.（第一型曲線積分中值定理） 定理7 如果函數(shù)在光滑有界曲線:上連續(xù)，則在曲線上至少存在一點.使成立，其中為曲線的弧長，并且. 證明 因為函數(shù)在光滑有界閉曲線上連續(xù)，所以記 由已知條件知在上連續(xù)，在上連續(xù)且非負，則根據(jù)推廣的第一積分中值定理，使 成立.即從而命題得證.在數(shù)

7、學(xué)分析等文獻中僅僅闡述了定理7，而對兩個函數(shù)乘積的曲線積分中值定理未提到，下面我們將對其探究證明,并進行推廣. 定理8如果函數(shù)在光滑有界曲線上連續(xù)，在上不變號，則在曲線上至少存在一點，使 成立. 證明 由于，由條件知,在上不變號，則在上不變號，又在上連續(xù)，由此可知在上也連續(xù). 由定理7可知，使得,有以下式子成立.即從而命題得證. 定理9如果函數(shù)在光滑有界閉曲線:,上連續(xù)可積，在上不變號,其中,，其中.則在曲線上至少存在一點,把曲線分為曲線和曲線,使得成立. 證明 由定理8知，記，則有.記 是關(guān)于點的函數(shù). (1)當(dāng)時，顯然成立. （2）當(dāng), 當(dāng)時，則有；由于，于是有即. 當(dāng)時，則有；由于，于是

8、有,即. （3）當(dāng),類似可討論.綜上由零點存在定理，則至少有一點，使得,即即從而命題得證. 以上給出了二元函數(shù)的第一型曲線積分中值定理的三種形式及證明，而我們僅僅討論了曲線形如的情形，對于直角坐標(biāo)的情形，是否也能得到類似的三個定理，類似可討論.（第二型曲線積分中值定理） 第二型曲線積分中值定理定理是否成立，接下來我們對其進行探討. 如果成立，則有如下命題. 函數(shù)在光滑有向曲線上連續(xù)，其中為光滑有向曲線在軸正向上的投影，其中符號“”是由曲線的方向確定的，則在曲線上至少存在一點，使得 (1)成立. 但有如下例子，設(shè),曲線為圓，方程為.如圖1Y1XO圖1由積分的對稱性知,可得，而,故不可能存在點使（

9、1）成立.于是第二型曲線積分中值定理在此不成立. 由此可見第二型曲線積分中值定理一般不成立，下面我們探討特殊形式的第二型曲線積分中值定理. 定理10設(shè)，在定向光滑曲線上連續(xù)，曲線上任意一點處與方向一致的切線方向與軸余弦為，且在曲線上不變號，則在至少存在一點，使得 證明 因為且，在上連續(xù)，在曲線上不變號，由于曲線光滑，從而在線上連續(xù)，由定理8知，存在,使得即從而命題得證. 定理11設(shè)曲線關(guān)于坐標(biāo)是無反向的，為定義在上的二元函數(shù)，滿足，沿曲線從到關(guān)于坐標(biāo)第二型可積，在上是可介值的，在上不變號.則至少存在一點,使得成立.證明過程參考文獻6.推論1設(shè)曲線關(guān)于坐標(biāo)是無反向的，為定義在上的二元函數(shù)， 在上

10、是可介值的.則至少存在一點,使得成立.即 為光滑有向曲線在軸正向上的投影. 類似的，可以推廣到對坐標(biāo)的曲線積分以及空間曲線積分上的情形.2.2二重積分中值定理的探究及推廣 下面給出二重積分中值定理的三種形式. 定理12假設(shè)函數(shù)在有界是的面積，則在上至少存在一點使得成立. 證明 由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，假設(shè)在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，即.對不等式在區(qū)域上進行二重積分可得,即其中為閉區(qū)域的面積，我們不妨記.有 由于，將不等式除以可得由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，由二元函數(shù)的介值性定理知，則在上至少存在一點使得 成立.將上式兩邊同乘以即可得到從而命題得證. 定理13假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，在上可積且

11、不變號，其中是的面積，則在上至少存在一點使得成立. 證明 不妨設(shè)由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，即,從而若 則 成立.即對任意,等式成立；若由二元函數(shù)的介值性定理，存在.使得即從而命題得證. 定理14假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，在上可積且不變號，其中是的面積，存在兩個區(qū)域滿足,，在，上都可積，記，,其中.則有成立. 證明參照定理9的方法及思想即可以得到.2.3曲面積分中值定理的探究及推廣 下面分別給出第一型曲面積分與第二型曲面積分中值定理的幾種形式.（第一型曲面積分中值定理） 定理15設(shè)為平面上的有界閉區(qū)域，其中為光滑曲面，并且函數(shù),在上連續(xù)，在上不變號，則在曲面上至少存

12、在一點，使成立，其中是曲面的面積. 證明 因為因為，在曲面上連續(xù),可得在上也連續(xù)，由于在上不變號，所以在上不變號.由二重積分的中值定理(定理13)，可知存在,使得，且從而命題得證. 推論2 設(shè)為平面上的有界閉區(qū)域，其中為光滑曲面，并且函數(shù),在上連續(xù)，在上不變號，則在曲面上至少存在一點，使成立，其中是曲面的面積. 定理16設(shè)為平面上的有界閉區(qū)域，其中為光滑曲面，并且函數(shù),在上連續(xù)，在上不變號，存在兩個光滑曲面滿足,在,上都可積，記，.其中則有成立.證明方法參照定理9.在這里我們證明了第一型曲面積分的積分中值定理的幾種類型，并進行了推廣探究，得到了相關(guān)的定理.（第二型曲面積分中值定理） 接下來我們

13、對第二型曲面積分的積分中值定理是否成立?以及有幾種類型進行探討.若成立，則有如下面命題. 若有光滑曲面，其中是有界閉區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，是的投影的面積，由此在曲面上至少存在一點，使 （2）成立.但有如下例子，設(shè)是在的部分，并取球面外側(cè)為正，把曲面表示為參量方程， 可得 他們在平面上的投影區(qū)域如圖2，圖2可知,從而,取，則有.故曲面上不存在一點，使（2）成立. 于是第二型曲面積分中值定理在此不成立.由此可見第二型曲面積分中值定理一般不成立，下面我們探討特殊形式的第二型曲面積分中值定理. 定理17設(shè)，在定側(cè)光滑曲面：，上連續(xù)，在上不變號，則在上至少存在一點，使得 證明 不妨設(shè)曲面：，取上側(cè)，曲面上

14、點處外法向量的方向角為，則，由于，在定側(cè)光滑曲面上連續(xù)，在上不變號，曲面光滑，從而在曲面上連續(xù)不變號，由定理15知，在曲面上至少存在一點，使得又由于即 從而命題得證.結(jié)論本論文主要介紹了二元函數(shù)的曲線、曲面以及重積分的各類積分中值定理.另外，曲線積分中值定理的坐標(biāo)形式，三元及三元以上函數(shù)的積分中值定理在此論文中未進行探究，望大家繼續(xù)研究這些問題，進一步完善積分中值定理.參考文獻1杜紅霞.曲線積分與曲面積分中值定理J.贛南師范學(xué)院報，2006，6:1-2.2馮美強.關(guān)于積分中值定理的改進J.北京機械工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2007,22（4）:1-4.3皺成.二重積分中值定理的改進J.石河子大學(xué)學(xué)報，2006,24（5）：1-4.4王旭光.二重積分中值定理的推廣J.徐州師范大學(xué)，2007,23（4）：1-6.5華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系