分數(shù)階傅里葉變換

1、 分數(shù)階傅里葉變換簡介簡介定義與特點發(fā)展與現(xiàn)狀 應用Definition & Characteristics 傅里葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法, 傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結(jié)構(gòu)動力學等領(lǐng)域都有著廣泛的應用。 例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量分數(shù)階傅里葉變換，是經(jīng)典傅里葉分析法的一種改進方式，是基于坐標軸的旋轉(zhuǎn)思想提出的，從分數(shù)階傅里葉域與時、頻域間的關(guān)系可以看出分數(shù)階傅里葉變換實質(zhì)上是一種統(tǒng)一的時頻變換同時反映了信號在時、頻域的信息。由于它是線性變換，因此避免了傳統(tǒng)時頻分布

2、的二次變換的交叉項問題。分數(shù)階傅里葉變換對許多種信號都具有能量聚集特性，通過把信號聚集在一起，能夠更加合理的去進行信號分析，是一種非常有效的方法。 分數(shù)階Fourier變換是信號在時頻平面內(nèi)坐標軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度后構(gòu)成的分數(shù)階Fourier域上的表示方法，是一種廣義的Fourier變換?，F(xiàn)在很多人總喜歡拿分數(shù)階傅里葉變換與短時傅里葉變換、小波變換以及威格納變換這些時頻分析做比較，從此懷疑分數(shù)階傅里葉變換的實用價值。這是對分數(shù)階傅里葉變化的廣義時頻分析特點認識不足所致。首先，必須聲明的一點是分數(shù)階傅里葉變換并不是傳統(tǒng)意義上的時頻分析，它只是一種廣義的時頻分析，它并沒有完全解決傳統(tǒng)傅里葉變

3、換在時頻定位以及分辨率上的局限性。所以，我們要做的工作是在分數(shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的時頻分析體系，例如短時分數(shù)階傅里葉變換、分數(shù)階小波包變換等。關(guān)于分數(shù)階傅里葉變換階次的表示問題。很多人都習慣用分數(shù)階傅里葉域相對時域的旋轉(zhuǎn)角度來表示相對分數(shù)階傅里葉域的階次，這沒有對“分數(shù)階”三字的進行充分認識。所謂分數(shù)階傅里葉域是指該變換域相對時域的旋轉(zhuǎn)角度是90度的分數(shù)倍，不同于以往的FFT、IFFT分別為90度的+1、-1倍，因此稱該種變換為分數(shù)階傅里葉變換，因此，使用旋轉(zhuǎn)角度來表示分數(shù)階的階次極為不妥。Development & Current Situation1807年法國科學家傅里葉

4、為了得到熱傳導方程的簡便解法首次提出了傅里葉分析，由此傅里葉分析被廣泛的應用在各種科學研究和工程技術(shù)方面，并且在這些領(lǐng)域中發(fā)揮了非常關(guān)鍵的作用傅里葉變換對于分析和處理平穩(wěn)信號是一種非常準確和有效地工具，可隨著所研究的對象和范圍不斷地擴展，傅里葉變換的局限性也逐漸的顯現(xiàn)出來，傅里葉變換將信號在整體上分解為具有不同頻率的正弦（復指數(shù)）分量，所得的是信號的整體頻譜，而得不到信號的局部特性，不能對非平穩(wěn)信號進行有效地分離，而局部特性對于非平穩(wěn)信號是最基本最關(guān)鍵的性質(zhì)。所以人們?yōu)榱四軌蚪鉀Q這一難題，提出并且在所提出的觀點上發(fā)展了一系列有效信號分析的方法，如分數(shù)階傅里葉變換.、小波變換等等，而其中作為傅里

5、葉變換的廣義形式，分數(shù)階傅里葉變換以自身的旋轉(zhuǎn)特性和值的靈活運用，受到了業(yè)界人士的高度重視并廣泛的應用在眾多領(lǐng)域中。分數(shù)階傅里葉變換實際是一種統(tǒng)一的時頻變換，同時也反映出了信號在時域和頻域的信息，而與常用的二次型時頻分布的不同在于分數(shù)階傅里葉變換用單一的變量來表示時頻信息，并且還沒有交叉項的干擾。相比于傳統(tǒng)的傅里葉變換，分數(shù)階傅里葉變換十分的適用于處理非平穩(wěn)信號，尤其大部分的類信號，并且多了一個自由的變換階數(shù)。所以分數(shù)階傅里葉變換在同等條件下能夠得到傳統(tǒng)時頻分析或者傅里葉變換得到不同的效果，并且所得到的效果比其它方法有著更高的分辨率并且提高了性噪比，而且有力的消除了帶來的一些噪聲。由于分數(shù)階傅里葉變換具有比較成熟的快速離散算法，因此在得到更好效果的同時還不需要付出更多的計算代價。Applicat