2019級第13次課第三節(jié)高階導數(shù)ppt課件

1、上一頁下一頁返回第三節(jié)第三節(jié) 高階導數(shù)高階導數(shù)一、高階導數(shù)的定義一、高階導數(shù)的定義二、高階導數(shù)求法舉例二、高階導數(shù)求法舉例三、小結(jié)三、小結(jié)上一頁下一頁返回一、高階導數(shù)的定義一、高階導數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設設)()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfx

2、fx 0上一頁下一頁返回記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導導數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導導數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導導數(shù)數(shù)相相應應地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf上一頁

3、下一頁返回二、二、 高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).上一頁下一頁返回例例2 2.),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy

4、, !n ) !()1( nyn. 0 上一頁下一頁返回例例3 3.),1ln()(nyxy求求設設 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n n階導數(shù)時階導數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導數(shù)階導數(shù).(.(數(shù)學歸納數(shù)學歸納法證明法證明) )上一頁下一頁返回例例4 4.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22s

5、in( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得上一頁下一頁返回例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求為為常常數(shù)數(shù)設設 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 上一頁下一頁返回2. 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則:則則階階導導數(shù)數(shù)具具有有和和設設

6、函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()()()()()()()()(!)()(!)()()(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 02111213萊布尼茲公式萊布尼茲公式上一頁下一頁返回例例6 6.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex上

7、一頁下一頁返回3.3.間接法間接法: :常用高階導數(shù)公式常用高階導數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導數(shù)公式利用已知的高階導數(shù)公式, 通過四則通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導數(shù)階導數(shù).上一頁下一頁返回例例7 7.,11)5(2yxy求求設設 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(

8、! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx上一頁下一頁返回例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求設設 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn上一頁下一頁返回三、小結(jié)三、小結(jié)高階導數(shù)的定義及物理意義高階導數(shù)的定義及物理意義;高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導數(shù)的求法階導數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.

9、上一頁下一頁返回第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)確定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率相關變化率一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)四、小結(jié)四、小結(jié)上一頁下一頁返回一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)定義定義: :.)(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: :

10、用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.上一頁下一頁返回例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導導數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 上一頁下一頁返回例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線CCxyyxC 解解,求導求導方程兩邊對方程兩

11、邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.上一頁下一頁返回例例3 3.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點點求求設設yyxyx 解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求導導得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy上一頁下一頁返回二

12、、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu上一頁下一頁返回例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy 4ln21ln311lnln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求

13、設設xx1)(ln 上一頁下一頁返回例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上一頁下一頁返回一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 上一頁下一頁返回三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程

14、所確定的函數(shù)的導數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? ?t上一頁下一頁返回),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設函數(shù)設函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導導再再設設函函數(shù)數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(

15、tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx上一頁下一頁返回,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即上一頁下一頁返回例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax上一頁下一頁返回.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)1

16、2( axay)22( axy即即上一頁下一頁返回例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運動方程為其運動方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt上一頁下一頁返回)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtv

17、dxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 上一頁下一頁返回例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 上一頁下一頁返回四、小結(jié)四、小結(jié)隱