方型烤箱上平底鍋?zhàn)顑?yōu)設(shè)計

1、如有幫助，歡迎下載。數(shù)學(xué)建模組員：指導(dǎo)老師：方型烤箱上平底鍋?zhàn)顑?yōu)設(shè)計眾所周知在烹飪時矩形鍋的熱集中在四角導(dǎo)致食物被烤焦；而在圓鍋熱烘烤 是，熱量均勻分布在整個外邊緣從而使食物不會被烤焦。由于缺乏烤箱空間利用效率，圓鍋并不是最好的選擇。我們的任務(wù)是解決食物加熱不均勻和容易邊緣烤 焦這一難題，提出了一種用于烘烤盤的優(yōu)化設(shè)計。我們要做的是得到平底鍋的熱 量分布與固定面積的烤箱中所能放的平底鍋的最大數(shù)量和平底鍋的形狀之間的 關(guān)系，本文將通過建立相關(guān)模型，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行求解。問題一，為了說明在一個特定烤盤的熱分布情況，根據(jù)熱傳導(dǎo)規(guī)律對一個三維對象的推導(dǎo)我們首先構(gòu)造了在不同形狀下的平底鍋熱分布模

2、型，如方形、正六邊形、圓形等。其次，引入有限元法求解該二維傳遞模型的穩(wěn)態(tài)解。 并利用Matlab 提供的PDEtool工具得到二維熱傳遞模型的數(shù)值解。最后得到不同多邊形烤盤溫 度方差表，通過表格我們得到了可用邊緣熱分布的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量烤盤熱分布的均 價程度。問題二，我們分為三種情況討論：p=1,p=0,0<p<1,我們著重研究0<p<1時的最 優(yōu)解，在這里我們運(yùn)用遺傳算法對正多邊形進(jìn)行排布，然后分別計算出w/l =5/12,w/l =9/13,w/l =13/14 時，在p=0.25,p=0.5,p=0.75,p=0.9寸正四邊形， 正六邊形，正八邊形，圓對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值

3、。并依照數(shù)據(jù)畫出單一變量對應(yīng)的直 方圖或折線圖，最后得到相應(yīng)的變化趨勢，即動態(tài)最優(yōu)解。問題三，以美食雜志社的身份寫一頁最符合前兩題要求的平底鍋的宣傳廣 告。通過描寫平底鍋的用途和圓角矩形型的平底鍋的材料以及外形，用簡潔明了的語言寫出平底鍋在加熱和空間利用率方面比其他平底鍋的優(yōu)勢。關(guān)鍵詞：熱分布；二維熱傳遞； 遺傳算法；最優(yōu)解一 問題重述隨著人民生活的日益富裕，大家對食物的追求也越來越多樣。各種烤出來 的美食，比如烤煎餅，在一個方形的大烤箱上，可以放上多個平底鍋。從我們的 生活常識中可知，如果平底鍋是方形的，那在烤餅時，熱量會集中在四個角上， 導(dǎo)致食物的四個角先被烤焦，而同時邊上因受熱不足卻沒熟

4、透。如果這些平底鍋 是圓形的，則整個邊沿受熱都會均衡，烤的效果會很理想。但是，現(xiàn)行使用的大 部分的烤箱都是方形的，用圓形平底鍋在烤箱內(nèi)烤東西的話空間利用率會很低。 在深入考慮這些問題之前我們先做必要的約定：1. 烤箱是一個寬長之比值為w的方形烤箱；l2. 每個平底鍋的面積都相同，記為 s，也就是不管你選擇什么形狀的平底 鍋，其面積都不能變；3. 左右兩個底座架子水平地支撐著大型烤箱，烤箱面板的各處受熱均勻。在此基礎(chǔ)上，我們將通過建立模型來求解以下問題：問題一：建立一個模型，分析不同形狀的平底鍋，例如圓形、方形或者圓跟 方之間其他的任意變形，烤東西時的熱量分布情況。問題二：在以下條件下，建立一個

5、模型來選擇最好的平底鍋形狀：條件1.能在烤箱上放最多的平底鍋；條件2.使熱量分布的均勻程度最大化；條件3.最好地結(jié)合條件1和條件2,假設(shè)兩條件分別占權(quán)重記為p和1 - P，請分析最優(yōu)選擇結(jié)果是如何隨烤爐的寬長比 W及權(quán)重pl的變化而變化的。問題三：以你的研究結(jié)果，以美食雜志社身份向廣大民眾宣傳的角度，寫1頁的宣傳廣告。需要突出你的設(shè)計和結(jié)果。二. 問題分析2.1問題一的分析本題研究的是不同形狀的平底鍋在加熱食物時的熱量分布，要建立一個模型來反映平底鍋的熱量分布情況，首先我們要了解平底鍋受熱時與烤箱和外界空氣 之間的熱傳遞方式。在大部分溫度可控的烤箱中，由于箱內(nèi)氣體溫度可保持恒定， 導(dǎo)致食物邊緣

6、烤焦的不均勻熱源主要來自金屬烤盤。 故本模型應(yīng)著重分析烤盤的 熱傳遞過程。接著我們可以通過熱傳導(dǎo)方程構(gòu)造二維熱傳遞模型來進(jìn)一步分析平 底鍋在不同外形下的熱量分布。通過有限元分析法及Matlab軟件來求得該模型穩(wěn)態(tài)解及數(shù)值解。2.2問題二的分析本題想要選擇一種平底鍋的形狀，使其既能滿足條件1所要求的在烤箱中盡 可能的利用空間，也能滿足條件2提出的熱量分布均勻程度高，面對這樣的情況 我們需要對此問題進(jìn)行最優(yōu)化處理。 而對于此題的最優(yōu)化問題，我們可以運(yùn)用遺 傳算法進(jìn)行排樣優(yōu)化，尋找最優(yōu)排樣圖。條件3要求的對于條件1與2的權(quán)重問 題，我們可以先建立一個關(guān)于此問題的目標(biāo)函數(shù)， 在求得目標(biāo)函數(shù)值最小時的同

7、 時確定我們所需要的平底鍋形狀。2.3問題三的分析此題要求以美食雜志社身份攥寫一篇一頁的宣傳廣告，則我們在具體對平底 鍋進(jìn)行描寫時就不能像往常寫作一樣用字過于生硬。在寫此篇文章時，我們要以 宣傳通過外形設(shè)計的平底鍋的優(yōu)點(diǎn)為主，盡量要用輕松詼諧的語調(diào)讓人看到此篇 文章便能抓住我們設(shè)計的平底鍋的與眾不同。三. 基本假設(shè)1假設(shè)烤箱的溫度達(dá)到一定值時不再發(fā)生變化且導(dǎo)熱性能良好。2. 假設(shè)平底鍋材質(zhì)均勻且導(dǎo)熱性能良好，厚度適中。3. 假設(shè)外界環(huán)境的變化不會對結(jié)果有太大的影響。4. 烤盤溫度逐步增加到保持恒定的過程不是我們主要關(guān)注的問題之一，我們的模 型只考慮烘烤溫度達(dá)到并保持在一個穩(wěn)定的水平。5. 鍋的

8、材料是均勻和出現(xiàn)物理學(xué)各向同性。四. 定義與符號說明符號說明k導(dǎo)熱系數(shù)P平底鍋材質(zhì)密度c比熱容h熱對流系數(shù)u x, y, z導(dǎo)熱體溫度u ext外界溫度qe平底鍋各面法向熱流密度S面積時間Qdfc-nPw / IRDFtNn-iCTfs內(nèi)熱源平面單位法向量權(quán)重烤箱長寬比 零件編碼 臟區(qū)標(biāo)志計數(shù)器零件個數(shù)、平底鍋數(shù)量 面積剩余率邊緣溫度標(biāo)準(zhǔn)差 溫度差異程度 目標(biāo)函數(shù)值 平底鍋面積五. 模型的建立與求解5.1問題一模型的建立與求解問題一模型建立依據(jù)從我們的生活常識中可知，如果平底鍋是方形的，那烤食物時，熱量會集中 在四個角上，導(dǎo)致食物的四個角先被烤焦，而同時邊上因受熱不足卻沒熟透。 如 果這些平底

9、鍋是圓形的，則整個邊沿受熱都會均衡，烤的效果會很理想。根據(jù)上 述現(xiàn)象，不同形狀的平底鍋的熱量分布是不完全相同的。平底鍋的熱量主要由烤箱提供，此題提供的烤箱是單層的，所以外界的溫度 對于平底鍋的熱量分布的影響不容忽視。 根據(jù)熱力學(xué)的基本理論可知，熱傳遞的 方式有熱傳導(dǎo)，熱對流和熱輻射?？紤]本題的具體情況，此時的平底鍋與烤箱之 間的熱傳導(dǎo)方式為熱傳導(dǎo)和熱對流。具體考慮平底鍋接受的熱量傳導(dǎo)方向時，依據(jù)烤箱為單層，此時平底鍋的受 熱面可以近似看成鍋的底面。此時的平底鍋熱流示意圖如圖1所示。平底鍋是由導(dǎo)熱性良好的鐵制成，且鍋厚為2mm,則在烤箱中的平底鍋各個面接受的熱流密度相同。但實(shí)際上平底鍋的不同部分

10、的熱量不一致的， 這主要 是由平底鍋與空氣之間的熱對流以及平底鍋金屬材料之間的熱傳導(dǎo)造成的。已知熱傳導(dǎo)方程為cU _ . ：u = Qd .ft這方程中各個量表示為：表示平底鍋的密度；c表示平底鍋的比熱容；U表示平底鍋的溫度；1表示平底鍋的熱傳導(dǎo)系數(shù)；Qd表示平底鍋的內(nèi)熱源;-2- 2- 2CCC2 2 2 'x y z對于平底鍋，我們可以把它看成單層平壁的穩(wěn)定熱傳導(dǎo)，且假設(shè)其材質(zhì)均勻， 導(dǎo)熱系數(shù)視為常量（或取平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)），根據(jù)圖1假設(shè)在平底鍋底部 的溫度只沿著壁厚度方向變化，是一維熱傳導(dǎo)，等溫面為垂直于 x軸的平行面。在這些條件的基礎(chǔ)上，我們可得導(dǎo)熱量 Qd為A(Ti -T

11、2) ti -T2 ATQ =-bbRA其中R= ; A為導(dǎo)熱面積，即垂直于熱流方向的表面積；b為平底鍋的從厚度。由此可得平底鍋單位時間和面積下的傳導(dǎo)熱量為QT,-T2 ,既A b為了求解出不同形狀的平底鍋的熱量分布情況， 我們將建立模型來反映平底 鍋在受熱穩(wěn)定時這一情況。在此種情況下，可知此時的平底鍋的熱量變化率為口 IA=0,t：。此時傳熱方程為- AU二Qd，也可表示為- UTT2。.tb依據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，在烘烤食物時處于平底鍋邊緣的食物容易烤焦，這很好的說明了平底鍋的邊緣溫度要比內(nèi)部溫度高。 而引起這一現(xiàn)象的原因主要是平底鍋在 烤箱上加溫時，不僅鍋的底部會受熱而且鍋的側(cè)面也同樣具有溫度。在

12、這種情形中，鍋的側(cè)面也會向鍋的底部邊沿傳導(dǎo)熱量。而具體在燒烤時，食物的熱量主要 從平底鍋底部獲得，所以對于平底鍋熱量的分布可以近似簡化為其底部熱量的分 布情況。已知偏微分方程問題如果不是定義在全空間的話必然在一個區(qū)域上，而區(qū)域可以有各種形狀此種邊界條件稱之為第二類邊界條件。 對于此題的偏微分方程想 要研究其邊界熱量情況，我們可以采用第二類邊界條件來進(jìn)行。 單位時間內(nèi)通過 單位面積的熱流量定義為熱流密度，記為 q。通過第二類邊界條件可知，此時平底鍋底部邊沿的熱流密度qe為qe =- -u =qx, y,z,t，cn問題一模型具體建立過程經(jīng)過上述分析過程，我們可以把原先平底鍋的熱量關(guān)于時間和三維立

13、體空間 的關(guān)系簡化成熱量關(guān)于時間和二維空間的關(guān)系模型?；谑聦?shí)依據(jù)與相關(guān)知識可得，不同形狀的平底鍋的熱量分布情況的模型可 表示為：-加=(Text -丁) bueqo 。而平底鍋各參數(shù)與邊界條件如下表，以此為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)表1標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下各物理量參數(shù)值物理量參數(shù)值50/(W/(K m)-/ b2100/(W /(K m )Text330/Kq。100/(W /(s m)在模型求解的過程中，在保持看盤面積不變的情況下，我們將多邊形的 邊數(shù)n從4逐一增加，利用Matlab編程繪出各個多邊形的，并求得各多邊形 的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在 PDEtool工具中繪出多邊形。為了解決偏微分方程，我 們需要獲得邊界條件。每

14、個形狀的具有它自己的邊界條件，我們可以得到了 各種不同的解決方案。這個解決方案，我們不需要得到解析解，與精確解， 而我們只是想找出相對每個形狀的熱分布。因此，我們可以利用Matlab的PDEtool工具來通過與初始值的一些參數(shù)設(shè)置得到數(shù)值解，并顯示每一種形狀 的溫度分布，由上述已知數(shù)據(jù)可以利用PDE畫出各種形狀的平底鍋熱分布圖， 如下圖所示。（1）方形PDE求解CdlOr T HevghL T圖2方形平底鍋熱分布三維示意圖圖3方形平底鍋熱分布三維投影圖圖4方形平底鍋邊緣溫度曲線圖由圖3, 4可知，從中心到邊緣觀察，色彩變得越來越鮮艷，在四角顯著深 紅的顏色，那么溫度也是如此的顯示，也即由中心到

15、邊緣逐漸上升。 這樣的結(jié)果 是準(zhǔn)確闡述了在問題重述中所說的現(xiàn)象一致，即四邊形的棱邊和頂角的溫度相 同，但四個頂角附近高溫區(qū)域更大，所以在烤箱內(nèi)烘焙蛋糕時，四角最容易烤焦， 而這個圖的中心處溫度較低。因?yàn)樵撈降族亝^(qū)域的熱量來自五個方向， 而從底部 的熱量均勻的平面的每一個網(wǎng)格，而其他四個方向不同，因而造成熱量被集中在 四個角落。（2）六邊形PDE求解CoInn T Height TColor T Hoighl: T圖5六邊形平底鍋熱分布三維示意圖圖6六邊形平底鍋熱分布二維投影圖從圖5, 6可知，該形狀的熱分布也類似于方形的熱分布，即溫度也是由中 心到邊緣逐漸上升（3）八邊形PDE求解Cm” T

16、Heighl: T-1-1.53応T Hai腳T圖7八邊形平底鍋熱分布三維示意圖(4) 圓形形PDE求解圖8八邊形平底鍋熱分布二維投影圖Colar T Height: T-1C陰.T HeiqH T圖9圓形平底鍋熱分布三維示意圖圖10圓形平底鍋熱分布二維投影圖從圓形的熱分布圖中可以看出，圓形的邊緣溫度分布比較均勻。在保持面積不變的情況下，我們依次做了從正四邊形到正十二邊形及圓的熱 分布圖，然后得到邊緣溫度曲線的變化規(guī)律，如圖11所示。圖11不同形狀烤盤的邊緣溫度曲線圖并計算了不同多邊形烤盤的溫度方差表，如下表 2所示表2不同多邊形烤盤溫度方差表正多邊形邊數(shù)（m）整體溫度方差（二 W ）邊緣溫度

17、方差（二 m2）邊緣溫度標(biāo)準(zhǔn)差（二 m）標(biāo)幺值44.73812.29131.5137153.18230.69530.83420.551063.05340.34160.58450.386172.73420.17160.41420.273682.61590.09610.31000.204892.55830.07430.27260.1801102.50890.05350.23130.1528122.46550.02010.14180.093700 （圓）2.29680.00000.00000從表2可以看出，隨著多邊形邊數(shù)的增多，整體溫度方差和邊緣溫度方差均 逐漸減小。同時，隨著多邊形邊數(shù)增多，整體溫

18、度方差趨于一個恒定值，邊緣溫 度方差趨于0。邊緣形狀決定了邊緣分布，同時影響著整體熱分布的平均程度。 邊數(shù)越多，邊緣越光滑，整體熱分布越平均。因此，可用邊緣熱分布的標(biāo)準(zhǔn)差來 衡量烤盤熱分布的均勻程度。然后利用表2得到數(shù)據(jù)擬合得到多邊形標(biāo)準(zhǔn)差擬合曲線。我們利用matlab擬合工具箱對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合以后， 建立一條可以反映趨勢的曲線，可以發(fā) 現(xiàn)在這個曲線圖中溫度分布的標(biāo)準(zhǔn)差一邊呈衰減形勢一邊隨擬合曲線趨于穩(wěn)定， 最后必能趨于均勻，擬合圖如圖12所示。圖12多邊形標(biāo)準(zhǔn)差擬合曲線由圖中可知溫度分布的均勻程度以圓形最佳， 當(dāng)邊數(shù)較少時呈現(xiàn)一個衰減的狀態(tài)，本模型及結(jié)果很合理的解釋了方形烤盤邊緣受熱不均

19、勻的問題，同時揭示了烤盤形狀由多邊形向圓形逼近時，邊緣熱分布逐漸平均的變化規(guī)律。5.2模型二的建立與求解521模型的建立對于條件一，烤箱內(nèi)可以放置最多的平底鍋可以看成一個最優(yōu)布局問題。為了問題的解決，我們采用基于并行遺傳算法的矩形件排樣優(yōu)化模型，利用遺傳算法對待排零件進(jìn)行編碼，將矩形件正交排樣問題轉(zhuǎn)化為排列問題。然后采用一種 新的解碼排樣算法一一基于最低水平線的改進(jìn)算法，將每一個體編碼轉(zhuǎn)化為排樣 圖，進(jìn)行適應(yīng)度評價，以驅(qū)動遺傳進(jìn)化，最終尋找出最優(yōu)排樣圖。對于條件二，若要實(shí)現(xiàn)熱量分布的均勻程度最大化， 就需要結(jié)合模型一中的 邊緣溫度標(biāo)準(zhǔn)差來衡量烤盤熱量分布均勻程度的可行性。為了選擇合適的平底 鍋

20、，我們對兩個條件的權(quán)重p和(1-p)進(jìn)行綜合分析，建立一個目標(biāo)函數(shù)，在烤盤 寬長比w /I和權(quán)重p變化時，求得目標(biāo)函數(shù)最小值同時確定平底鍋的形狀。結(jié)合題目要求和模型一可知，熱量分布的均勻程度隨平底鍋形狀的變化而變 化。為優(yōu)化平底鍋，需要考慮平底鍋的面積剩余率和溫度差異程度。1. 面積剩余率NA面積剩余率：=NA，其中：A表示平底鍋的面積；N表示平底鍋的數(shù)量；sS表示烤箱的面積。越小，表示烤箱面積利用率越高。根據(jù)鑲嵌原理，矩形和正六邊形可以實(shí)現(xiàn)平面的無間隙覆蓋且不重疊，因此可以使烤箱的面積利用率最大。對于其他正多變形，會在以后的討論中分析。2. 烤箱溫度差異程度、二y nc烤盤溫度差異程度：&#

21、39;，其中：二i為第i種多邊形的邊緣溫度標(biāo)準(zhǔn)N%差；m為第i種形狀烤盤的數(shù)量；二°為正方形的邊緣溫度標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)定為基準(zhǔn) 值。然后將方差標(biāo)幺化，使之成為無量綱量。 二越小，表示烤盤各部分溫度差異 性越小，熱量分布越均勻。根據(jù)模型一知，正多邊形邊緣的熱量分布平均程度與其邊數(shù)的平方成反比， 所以圓形烤盤的熱均勻程度最高，矩形的熱均勻程度最低。3. 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為：r1na為 imin "p+b(i 一 p)=min R* p(1 )+(1 p) ，sa°N其中，R為修正因子，在計算中我們?nèi)≈禐?基本約束條件為:® - NA 啟 0s.t ZN , nZ

22、+下面根據(jù)不同條件進(jìn)行優(yōu)化。(1) P =1時，即將平底鍋數(shù)量最大化此時只考慮平底鍋的數(shù)量，若要使平底鍋數(shù)量最多，必須使用緊密排布，所以使用矩形平底鍋能滿足要求。其最大數(shù)量為：Nmax二-。ILA(2) p = 0時，即使熱量分布程度最均勻此時只考慮熱量分布均勻程度，因此全部使用圓形平底鍋可以使熱量分布最均勻，其數(shù)量N _ N max二衛(wèi)。(3) 0 ： p : 1 時此時要綜合考慮兩個因素，所以使用權(quán)重p和(1 - p)來衡量用戶的偏向度目標(biāo)函數(shù)為：l1- NA瓦 n mmin "p+<r(1 _ p)=min p(1 _)+(1_P) ，sCoN約束條件為：”s - NA

23、玉 0st.< n4 + n6 + n8 + n = N ,niZ+。令烤箱面積恒定為A =754.8372cm2，平底鍋面積恒定為s=30cm2，模型的求解1 前提條件(1) 烤箱的寬度w 一定，長度I理論上無限長，這里設(shè)置一個較高的常量(2) 矩形個數(shù)有限，設(shè)為N。(3) 排樣滿足BL原則，即每一個排入矩形件不得超出板材范圍(Wl范圍內(nèi)), 也不得與其他已排入矩形相干涉，排入過程中盡量向下向左移動，直至不能再移 動為止。2. 遺傳編碼本文采用十進(jìn)制編碼方式，染色體長度與待排零件數(shù) N相同，染色體中每個 基因?qū)?yīng)著一個零件編號。把所有零件的編號按排放順序排列成串，即構(gòu)成一條 染色體（一

24、個體）：P二R, P2,|，|, Pn ，相對應(yīng)的表現(xiàn)為一種排樣圖。其中，P為 整數(shù)，有正負(fù)之分，且1 <|pN，N表示零件的編號，P為負(fù)值時表示零件作90 度旋轉(zhuǎn)后再排放。通過交叉和變異操作改變P的順序和正負(fù)號，就改變了零件的 排放順序和排放方向，從而產(chǎn)生出不同的排樣圖。3. 解碼排樣算法運(yùn)用基于“最左最下” BL準(zhǔn)則的改進(jìn)后的最低水平線算法。引進(jìn)臟區(qū)標(biāo)志 DF（DF=O表示板材中未排人的區(qū)域，DF=1表示板材中已排入?yún)^(qū)域），提出如下基 于最低水平線的改進(jìn)算法：Stepl:設(shè)置初始板材臟區(qū)標(biāo)志為DF=O,并設(shè)置初始零件最高輪廓線和板材 最低水平線為板材底邊。Step2:每當(dāng)要排入一個零

25、件P時，就對前面已排入的i一 1個零件按其在板 材中定位后矩形上邊界的丫值從小到大排序，每個丫值對應(yīng)一條水平線，這些水 平線與板材以及其中已排零件相交，得到一個臟區(qū)標(biāo)志DF=0的水平線段組集合HLineSet，其中高度丫相等的為一個水平線段組HLine ,每組包含若干條水平線 段Segment這些線段按左端點(diǎn) 值從小到大順序存儲在水平線段組中。 首先選取 最低水平線段組的第一條線段（即最左邊的一段），測試該線段的寬度是否大于或 等于要排入零件的寬度：（1）如果該線段的寬度大于或等于要排人零件 P的寬度，則將該零件在此位 置排放，設(shè)置該零件排放區(qū)域臟區(qū)標(biāo)志 DF=1，更新零件最高輪廓線，并清空當(dāng)

26、 前水平線段組集合，準(zhǔn)備排入下一個零件。（2）如果該線段的寬度小于要排人零件 P的寬度，從零件P所在位置起向后 搜索合適排入的零件，即在P=R, P2,l, Pn 中搜索： 如果有零件P的寬度恰好等于該段水平線的寬度 W，則將零件Pi插人到P 之前排入，此時個體編碼更新為P=R, P2,|, Pj, P,l（）, Pj，Pj1, Pn，設(shè)置 該零件排放區(qū)域臟區(qū)標(biāo)志DF=1，并更新零件最高輪廓線，清空當(dāng)前水平線段組 集合； 如果沒有寬度相等的零件，則在P二 P 1,1, Pj）l , Pn中搜索到零件寬度小于的第一個零件Pj，將零件Pj插入到P之前并排人，設(shè)置該零件排放區(qū)域 臟區(qū)標(biāo)志DF=1，更

27、新個體編碼和零件最高輪廓線，并清空當(dāng)前水平線段組集合； 如果沒有找到可以排人的零件，則選擇最低水平線段組中下一條線段進(jìn)行 上述判斷。若最低水平線段組中所有線段均再找不到能夠排入的零件，則將最低水平線段組提升為其在當(dāng)前水平線段組集合中的下一個線段組，再次進(jìn)行上述判斷。重復(fù)Step3:直至能排入該零件。重復(fù)上述過程，直至所有零件排放完畢。4 適應(yīng)度函數(shù)適應(yīng)度函數(shù)為：F P = H P i 亠 Aera/ h P *w 。其中，H P二H-h(P)，h(P)為排樣高度，H為事先設(shè)定的板材高度值，其值應(yīng)確保使h(P)的值為正。Aera為可再利用余料的面積，是板材的寬度，h P *w為排樣高度以下矩形板

28、材的面積。5.基于遺傳算法的求解過程步驟1初始化種群設(shè)定遺傳代數(shù)的計數(shù)器t=0，對n個待排零件的序號進(jìn)行數(shù)學(xué)的排列組合隨機(jī) 產(chǎn)生3m個編碼個體，構(gòu)成初始種群。步驟2:解碼評價適應(yīng)度遺傳算法經(jīng)過對種群中個體進(jìn)行選擇， 交叉，變異操作后，需要對新一代種 群進(jìn)行適應(yīng)度評價，適應(yīng)度值的計算就需要對染色體進(jìn)行解碼，即將染色體串還原為零件在板材上的排布圖。本文采用基于最低水平線的改進(jìn)算法進(jìn)行解碼求出 當(dāng)前種群中每個染色體的適應(yīng)度函數(shù)值，并將其按適應(yīng)度函數(shù)值由大到小排序。步驟3:選擇算子對3m個個體構(gòu)成的初始種群(此時t=0)，根據(jù)個體適應(yīng)度函數(shù)值由大到小排 序，選擇排在前面的m個個體構(gòu)成第一代操作種群。同

29、時記憶適應(yīng)度函數(shù)值最大 的個體為精英個體并保存。對于第t代種群的m個個體，按適應(yīng)度函數(shù)值大小，進(jìn) 行“輪盤賭”方式的比例選擇 。然后進(jìn)行精英保留：記憶當(dāng)前代適應(yīng)度值最大 和最小個體，用上一代保存的精英個體替換當(dāng)前代適應(yīng)度值最小個體。同時判斷當(dāng)前代適應(yīng)度最大個體是否優(yōu)于上一代精英個體，若是則改變精英個體為當(dāng)前代 適應(yīng)度值最大個體，否則不改變。步驟4:交叉算子對進(jìn)行了選擇運(yùn)算的當(dāng)前種群中的 m個個體以概率Pc隨機(jī)的兩兩配對，進(jìn)行 交叉運(yùn)算，產(chǎn)生m個個體構(gòu)成的子代種群。這里采用的交叉方法是單點(diǎn)交叉和雙 點(diǎn)交叉兩種。這里以隨機(jī)數(shù)0或者1來決定采用哪種交叉方法。交叉后所產(chǎn)生的子個體與父個體一起接受適應(yīng)度

30、評價，選擇適應(yīng)度值大的兩個個體替代原父代個體。步驟5:變異算子對進(jìn)行了交叉操作后產(chǎn)生的m個子代個體，本文先后進(jìn)行兩種變異。第一種 是旋轉(zhuǎn)變異，以概率Pm.隨機(jī)選取染色體中任意一個位置后，變異該位置零件 的旋轉(zhuǎn)標(biāo)志，使零件旋轉(zhuǎn)90度。第二種是位置變異，其包括位置互換變異和位置 倒序變異兩種。這里以隨機(jī)數(shù)0或者1來決定采用哪種位置變異方式。以較小的概 率Pm，在I到n范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生兩個整數(shù)1, 2,對當(dāng)前個體中位于1，2的兩個零 件對調(diào)即為位置互換變異，對當(dāng)前個體中位于后 1，2之間的零件順序反向即為 位置倒序變異。步驟6:停止準(zhǔn)則可以設(shè)定停止準(zhǔn)則為最大繁殖代數(shù) MAXGEN，也可以設(shè)定為排樣利用

31、率達(dá) 到某一預(yù)定閥值。本文設(shè)定兩種停止準(zhǔn)則來驗(yàn)證算法效果。準(zhǔn)則1:最大進(jìn)化代 數(shù)MAXGEN =2000時停止；準(zhǔn)則2:排樣利用率U - 90%時停止。重復(fù)執(zhí)行上述遺傳操作（選擇，交叉，變異），直到最好解的適應(yīng)度值達(dá)到設(shè) 定的要求或最大進(jìn)化代數(shù)，則終止進(jìn)化，輸出最優(yōu)個體及其對應(yīng)的排樣圖。遺傳算法流程如圖13所示。523模型具體的求解數(shù)值由于烤箱的寬長之比并沒有固定的數(shù)值，所以接下來我們講著重對烤箱款寬長比為w/l =5/12,w/l =9/13,w/l =13/14進(jìn)行討論，其中f為我們所求的目標(biāo) 函數(shù)的最小值。(1) 當(dāng) w/l =9/13時，s = 22.86cm* 33.02cm。此時目

32、標(biāo)函數(shù)值變化情況如 表3所示。表3目標(biāo)函數(shù)值變化情況表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772240.76160.52310.28470.1416w/l =9/1363.3981200.34090.29560.25040.223282.4962150.25460.30430.35410.3839oo3.0902150.10100.20190.30290.3634(2) w/l =5/12時，s = 17.74cm* 42.56cm。此時目標(biāo)函數(shù)值變化情況如表4所示。表4目標(biāo)函數(shù)值變化情況表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)

33、f(p=0.9)45.4772210.79140.58270.37410.2489w/l =5/1263.3981140.40050.41490.42920.437982.4962140.26450.32420.38390.4197OO3.0902120.13080.22180.33270.4708(3) w/l =13/14時，s = 26.48cm* 28.51cm。此時目標(biāo)函數(shù)值變化情況如表5所示。表5目標(biāo)函數(shù)值變化情況表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772200.80130.60260.40380.2846w/l =13/1463.3

34、981160.34090.37510.36960.366382.4962160.24460.28450.32430.3482OO3.0902160.09100.18210.27310.3277從表3,表4,和表5中我們可以看出，四邊形的平底鍋在空間節(jié)省率方面 效果最佳，其他多邊形的平底鍋隨著他們邊數(shù)的增加， 具體在烤箱內(nèi)的擺放數(shù)量 先遞減后趨于穩(wěn)定。當(dāng)條件1和條件2的權(quán)重發(fā)生變化時，不同的烤箱寬長比下 的f值不同，這表明好平底鍋的形狀時要看具體情況而定的。(4)單一變量下對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值變化情況取p=0.5時，改變w/l的值后，各正多邊形的目標(biāo)函數(shù)值的變化情況如圖 14所示。m w/l=5/1

35、2 w/l=9/13口w/l=L3/14圖14目標(biāo)函數(shù)值分布直方圖取w/l=9/13時，改變p值后，各正多邊形目標(biāo)函數(shù)值的變化情況如圖15所示w/l=9A30. S0.70. 60, 50. 30, 20.100.25山50.750.9ir(=4rn=8HpOO圖15目標(biāo)函數(shù)值分布折線圖由上邊兩個圖可以看出，當(dāng)長寬比 w/l不變時，權(quán)重p的變化使最優(yōu)解和排 布方式發(fā)生了變化；當(dāng)權(quán)重p不變時，長寬比w/l的變化使最優(yōu)解和排布方式也 發(fā)生了變化。對于家庭而言，追求的是質(zhì)量而不是數(shù)量，所以應(yīng)使熱量分布均勻程度最大 化，因此建議采用圓形平底鍋。對于企業(yè)而言，在產(chǎn)品數(shù)量最優(yōu)化同時也要使熱 量分布較為合適

36、以至于不會過多的影響食品質(zhì)量， 因此我們盡量尋求一個局部的 較優(yōu)解。在已有數(shù)據(jù)中進(jìn)行篩選，發(fā)現(xiàn)正八邊形平底鍋?zhàn)顬楹线m。5.3問題三的廣告設(shè)計基于第一問和第二問的模型，我們可以大致得出如圖 16所示的平底鍋。圖16圓角矩形平底鍋平底鍋的廣告設(shè)計：平底鍋是一種用來煎煮食物，低鍋邊并且向外傾斜的鐵制平底煮食用器具。 現(xiàn)在廠商普遍改用比較輕的鋁作為制造物料。 平底鍋的作用有很多，比如他適合 作為焙、烘、蒸、烤或炒海鮮、肉類和家禽類佳肴，煮蔬菜或便于用手指取食的 健康小吃。平底鍋的使用方法簡單，只需短短幾分鐘，就能烹調(diào)出各式各樣的佳 肴。面對平底鍋如此強(qiáng)大的功能，本次介紹的平底鍋在此基礎(chǔ)上更上一層樓。圓

37、 角矩形平底鍋是一種稀有品質(zhì)與不朽傳奇的化身， 它擁有謎一般的鋼材配方，是 一種極至生活品質(zhì)與盡善盡美精神的經(jīng)典象征。懷揣著卓越的創(chuàng)造精神和為追求盡善盡美的心理， 圓角矩形平底鍋始終保持 著鍋身與人體工程學(xué)的完美結(jié)合這一特性。他將四個直角改為弧度的設(shè)計讓人眼 前一亮，極具視覺的美感，讓人們在烹飪的同時體會到了圓角矩形平底鍋帶來的 快樂，給我們原本平淡的生活帶來了一抹亮麗的色彩?，F(xiàn)在很多人都在為食物粘鍋和烤焦而煩惱， 本來一盤好菜因?yàn)榉N種原因變得 缺失了美感，更有甚者讓人體的健康遭受到了威脅， 圓角矩形平底鍋的出現(xiàn)為你 解決所有煩惱。圓角矩形平底鍋獨(dú)特的圓弧角形狀， 創(chuàng)意的剪裁設(shè)計，符合平底 鍋

38、的不同幾何形狀的熱量分布在一定條件下隨著邊數(shù)的增多和光滑度的增加，平底鍋的整體熱分布越平均。在這一科學(xué)原理的理論支持下，圓角矩形平底鍋真正 做到了拒絕食物的粘鍋與烤焦，食物在圓角矩形平底鍋的加熱下保證均勻受熱保 持其原有的風(fēng)味。圓角矩形平底鍋比普通平底鍋更完美的體型設(shè)計，讓大家吃得 安心吃得健康。跟親朋好友聚會時，去野外露營時，在家給家人準(zhǔn)備營養(yǎng)餐時，你還在為平 底鍋的質(zhì)量和如何節(jié)省烹飪時間而煩惱嗎，圓角矩形平底鍋是你的不二選擇。圓 角矩形平底鍋的獨(dú)特體型符合了大部分烤箱的要求， 在一定表面積的烤箱上圓角 矩形平底鍋的弧度角設(shè)計讓其盡可能的增加了了烤箱的有限空間的利用率，在有限的范圍內(nèi)體現(xiàn)了他

39、比其他形狀的平底鍋在放置數(shù)量上的優(yōu)勢，做到了用心做好鍋寸寸皆有用的設(shè)計理念，給人們的生活帶去了舒適與便捷。用圓角矩形平底鍋，愉悅你的世界。愛生活，愛圓角矩形平底鍋。全新的體驗(yàn)從這里開始，你還在等什么，圓角矩形平底鍋，你值得擁有六. 模型的穩(wěn)定性分析對于問題一所給出的各種形狀的平底鍋的溫度方差，這些數(shù)據(jù)都是基于平底 鍋的材質(zhì)是鐵制的，而現(xiàn)在市場上有很多的平底鍋都改為鋁制的。對于這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，我們可以看到原先在問題一中出現(xiàn)的值將由原來的 50w/K.m變?yōu)?50w/K.m。此時我們可以看到如表 6所示。表6不同形狀鋁鍋的溫度方差表正多邊形邊數(shù)整體溫度方差邊緣溫度方差邊緣標(biāo)準(zhǔn)差（m(6)（二 m）

40、（二 m）40.20360.09840.313760.13010.01400.1184從表6中我們不難看出，當(dāng)平底鍋的材料變化時他的溫度方差也會跟著發(fā)生變化。但同時我們也可以看到問題一所得出的隨著多邊形邊數(shù)的增多，整體溫度方差和邊緣溫度方差均逐漸減小，這一規(guī)律在平底鍋的材料發(fā)生變化時仍然符 合。這表明我們的第一問所建立的模型的誤差是很小的，模型的穩(wěn)定性很好。七模型評價與推廣7.1模型的優(yōu)點(diǎn)模型1:我們利用熱傳遞理論，結(jié)合烤箱的恒溫工作原理進(jìn)行合理化假設(shè)， 在傳導(dǎo)的基礎(chǔ)上建立了含熱對流因素的烤盤傳熱方程。通過簡化并求解其穩(wěn)態(tài) 解，得出了烤盤四角過熱的原因以及變化規(guī)律，由于同時考慮了熱傳導(dǎo)和熱對流

41、， 因而結(jié)果更具說服力。除此之外，模型中采用了有限元思想，將難解的數(shù)學(xué)問題 用數(shù)值解法求解，求解程序編寫思路簡單，容易實(shí)現(xiàn)。模型2:運(yùn)用遺傳算法對正多邊形進(jìn)行排布，準(zhǔn)確得到烤箱所能容納平底鍋 的最多數(shù)量。在建立目標(biāo)函數(shù)時，利用修正因子 R對兩個指標(biāo)進(jìn)行的修正，使得 兩個指標(biāo)隨自變量的變化速度近似相同，以方便加權(quán)優(yōu)化。7.2模型的缺點(diǎn)模型1:在求解前，我們將三維傳熱模型簡化為二維傳熱模型，求得的熱分 布與實(shí)際結(jié)果存在些許誤差。采用有限元的思想，所求的解的精度和劃分的矩形 網(wǎng)格數(shù)有關(guān)，但當(dāng)網(wǎng)格數(shù)較多時，計算的矩陣相應(yīng)增大，是計算機(jī)求解耗時增加 甚至無法求解，而這個矛盾又無法調(diào)和。模型2:忽略了部分

42、正奇數(shù)多邊形，如正五邊形，正七邊形，正九邊形。同 時也忽略了邊數(shù)m 10的情況，因此優(yōu)化結(jié)果局限在有限種圖形的分析。此外， 由于長寬比w/l和權(quán)重p的動態(tài)變化的額，所以不能確定哪種平底鍋?zhàn)詈线m。參考文獻(xiàn)1隗平平，劉斌 .基于并行遺傳算法的矩形件排樣優(yōu)化 . 2011,3:78-82.2 李大潛 .數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用 . 2013,2:62-71.3 熊靜，張薇 . Matlab PDE-tool 在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用 . 2009,4:42-44.4 J.Kidawa-Kukla:Temperature distribution in a rectangular plate heated by

43、amoving heat source, International Journal of Heat and Mass Transfer. 51:865-872.附錄Matlab 編程產(chǎn)生正多邊形圖：clear;clc;n=4; %邊數(shù)theta=pi/n;a=sqrt(1/n*tan(theta); r=a/sin(theta);A=zeros(2,n);theta1=theta;for t=1:nA(1,t)=r*cos(theta1);A(2,t)=r*sin(theta1);theta1=theta1+2*theta;endA(1,:)=A(1,:)-A(1,1);A(2,:)=A(2

44、,:)-A(2,1); plot(A(1,:),A(2,:)PDEtool產(chǎn)生方形圖程序：function pdemodel pde_fig,ax=pdeinit;pdetool( 'appl_cb' ,9);set(ax, 'DataAspectRatio' ,1 2.0999999999999996 1);set(ax, 'PlotBoxAspectRatio' ,1 0.66666666666666674 2); set(ax,'XLim',-1 0);set(ax,'YLim',-1 0.400000000

45、00000002);set(ax,'XTickMode', 'auto');set(ax,'YTickMode', 'auto');% Geometry description: pdepoly( 0,.-1, .-1, .0, ., . 0, .0, .-1, .-1, ., .'P1' );set(findobj(get(pde_fig,'Children'), 'Tag' , 'PDEEval' ), 'String' , 'P1'

46、; )% Boundary conditions: pdetool( 'changemode' pdesetbd(4, .'neu' , .1, .'0' , .'1000' )pdesetbd(3, .'neu' , .1, .'0' , .'1000' )pdesetbd(2, .'neu' , .1, .'0' , .'1000' ) pdesetbd(1, .'neu' , .1, .'0' , .'1000' )% Mesh generation: setappdata(pde_fig, setappdata(pde_fig, setappdata(pde_fig, pdetool( 'initmesh' pdetool( 'refine')pdetool( 'refine')% PDE coefficients: pdeseteq(1, .'50.0' , .'100.0' , . '(0.0)+(100.0).*(330.0)