平面幾何14--三角形重心性質(zhì)

1、廈門一中2010數(shù)學(xué)競賽講座一平面幾何三角形重心性質(zhì)及運(yùn)用三角形三邊上的中線交點(diǎn)稱為三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性質(zhì)性質(zhì)】設(shè)C為仙C的重心，連AC并延長交眈 于伏則Q為死 的中點(diǎn). 血=寺仙 IC2) - 土財(cái)，且畑 D = 2X.性質(zhì)2 a &為的重心,過&作DE/BC交的于0交北于E.過G作 PF"AC交M于巴交BC于幾過&作KH/AB AC于乩交月C于"，則$- FP KH 2 mDE TO KJ *性質(zhì)孑 設(shè)G為磁 的重心為.4故?內(nèi)任一點(diǎn)，則(DAP2 + CP1 = AG1 BC2 + CC1 + i(2)G4* + CTJ-k

2、GC3=4(4lf2 + BCi + C4a).注 由此性質(zhì)即得到三角形中的擔(dān)布尼域公式，昉+加+少=3昭*寺(血+防+性質(zhì)4設(shè)心為AABC內(nèi)一點(diǎn),G為ABC的重心的充要條件是下列條件之一;(1 ； /點(diǎn)cat = S盤曲 =S魚w =丘厶jtac (2)當(dāng)點(diǎn)G在三邊HC.CA.ABh的射影分別為D,E,F時(shí)，CDGDGF值最大; 當(dāng)AG t BG | CG的延悅線交二邊于B * E* F時(shí)，3亠磯=sug 涇血o® *過G的直線交胭于P,交”于Q時(shí)僅唏 4(5)flC1+3(1=： G42+3G5a = .4j91+3GCsk1性質(zhì)5設(shè)PJE銳角柱比內(nèi)一點(diǎn)，射線曲毋穿 分別交邊BC

3、CA.AB于點(diǎn) D、E/,則P為厶ABCtt心的充分必耍條件是DEFsAABC.性質(zhì)6三角形覓心G到任一條直線的距離，竽于三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到同一條直線的距 離的代數(shù)和的三分之一.性質(zhì)7設(shè)G為AEC的重心，若AG2 + ffG1 = CG2,則兩中線AD和血垂直；反 之.若兩中線AD.RE垂育角【冷* hc2 = r/:2例】 如圖14-6,在片胚中* G為重心，P為形內(nèi)一點(diǎn)，直線PG交直線甌.CAtAB于A''，£7 求證土務(wù) + 二彳例2 如圖14-乩過aa舟C的賈心C枉作一條宜線把這個(gè)三角形分成兩部分試 證:這兩部分面積之差不大于整個(gè)三角形面積的例3 “牛乩工-茶屮吒.

4、P是任意一點(diǎn).證明:在中，其中一個(gè) 面積等于另外兩個(gè)血積的和.（第26屆莫斯科奧林匹克題】例4 如圖14-9,已知P為r?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，0為AC 與ED的交點(diǎn)、分別為PB.PC的中點(diǎn)，Q為AN與DM 的交點(diǎn).求證心）幾0.0二點(diǎn)在一貢線上m卩0 =工皿例 5 如圖 14- 10(BSl CAAB 徑,CT 切©于 P jRiiK1ZJ4PC = ynP7,RD.AB例 6；七4 4二；打吧"哨廠 W ；（, /.'C.!. ?<< 匚線分別交ABQ曲外接圖于A/T,C求證*4練習(xí)L如圖1嘰點(diǎn)0在銳角AX內(nèi)，過0保二焉，試問o為朋£的什么心?5#2 飛八 wpy I"；利 11、r 社色違 Z4C -2/V.',3 門"力門 Ur. M 他二 J,-：皿;4.7人”小瓦 .w.八一釗工出”廠匸丁門性比,：，拝心交佃于點(diǎn)G則務(wù)的值呈多少？（1991