次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)要么語法等價于某一協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng),要么無所謂“次

1、次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)要么語法等價于某一協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)，要么無所謂“次協(xié)調(diào)”莊朝暉(廈門大學(xué)計算機(jī)科學(xué)系軟件研究所，福建 廈門 361005，電子郵件：chzhuang)摘要：本文首先介紹了次協(xié)調(diào)邏輯的發(fā)展情況及其基本概念，然后介紹了科斯塔創(chuàng)建的C1系統(tǒng)。文章認(rèn)為，C1系統(tǒng)里所謂的“”并不是經(jīng)典邏輯意義上的“”，所以該系統(tǒng)并不是真正意義的次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)。而且有趣的是，原系統(tǒng)中復(fù)合而成的“”表達(dá)了經(jīng)典邏輯意義上的“”。基于此，通過把原系統(tǒng)中的“”理解為經(jīng)典邏輯意義上的“”，而把原系統(tǒng)中的“”理解為另一一元連接詞，這時的C1就是一種協(xié)調(diào)邏輯。使用這種方法，大部分的次協(xié)調(diào)邏輯對應(yīng)于某個協(xié)調(diào)邏輯，剩下的次協(xié)調(diào)邏

2、輯則是無所謂“次協(xié)調(diào)”意義的。接著，為了更深入地理解形式系統(tǒng)語法的本質(zhì)，本文引入語法等價的概念。如果兩個形式系統(tǒng)通過符號字母間、公式間的替換后是等價的話，稱它們?yōu)檎Z法等價的形式系統(tǒng)。本文對語法等價進(jìn)行了非形式化的探討。最后，本文對“一致性”和“不一致性”進(jìn)行一系列的思考：“一致性”不能脫離形式系統(tǒng)而談、形式系統(tǒng)的“一致性”與形式系統(tǒng)中“”的關(guān)系密切、對象語言的一致性與元語言的一致性關(guān)系密切、哥德爾在第一不完全性定理的證明中之所以能夠生成自引用式的哥德爾語句，一個本質(zhì)性的原因就在于元語言與對象語言之間存在的自引用數(shù)學(xué)與邏輯的相互引用。關(guān)鍵詞：次協(xié)調(diào)邏輯；形式系統(tǒng)的語法等價；不一致；自引用中圖分類

3、號： B81 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A1 次協(xié)調(diào)邏輯簡介次協(xié)調(diào)邏輯英文為Paraconsistent Logic，中文有時翻譯為非協(xié)調(diào)邏輯1，有時亦為亞相容邏輯2，或者次協(xié)調(diào)邏輯3，甚至超協(xié)調(diào)邏輯4。中文的翻譯，還沒有一個比較一致的看法。本文統(tǒng)一以次協(xié)調(diào)邏輯稱之。次協(xié)調(diào)邏輯在國際上方興未艾，頂級學(xué)術(shù)期刊和學(xué)術(shù)會議上都常有論及。在國內(nèi)哲學(xué)界，社科院的張清宇，武漢大學(xué)的桂起權(quán)，南京大學(xué)張建軍等學(xué)者對次協(xié)調(diào)邏輯都有若干研究和著述；在國內(nèi)計算科學(xué)界，北京大學(xué)的林作銓，李未對一類次協(xié)調(diào)邏輯悖論邏輯也作過研究。次協(xié)調(diào)邏輯在國外主要有兩個派別，一派是巴西科斯塔（N.C.A. da Costa，1929）創(chuàng)建的Cn(

4、1<=n<=)，一派是澳大利亞普瑞斯特（Priest）創(chuàng)建的悖論邏輯（Logic of Paradox）。如果有一種邏輯系統(tǒng)允許A和A同時成立，那么這個系統(tǒng)稱為不協(xié)調(diào)（或稱不一致，又稱不相容）的。由反證法規(guī)則可以推導(dǎo)出，在不協(xié)調(diào)的系統(tǒng)里，所有的公式都是真的。這種公式全真的系統(tǒng)，我們稱之為“不足道的系統(tǒng)”，也就是沒有研究價值的系統(tǒng)。如此可以看出，“不協(xié)調(diào)的系統(tǒng)”（通過反證法規(guī)則）一定是“不足道的系統(tǒng)”。那么，我們能不能構(gòu)造一個“不協(xié)調(diào)但又足道的系統(tǒng)”呢？次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)的目標(biāo)就是建立這樣的“不協(xié)調(diào)但又足道的系統(tǒng)”，但前提是次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)不能承認(rèn)反證法。2 科斯塔的C1命題演算系統(tǒng)置疑1

5、系統(tǒng)C1的公理是具有以下形式之一的公式：(A1)A(BA)(A2)(AB) (A(BC) (AC)(A3)A(BAB)(A4)ABA(A5) ABB(A6)(A C) (BC) (ABC)(A7)A AB(A8) BAB(A9)A A(A10) AA(A11) (BB) (AB) (AB) A)(A12) (AA) (BB) (AB) (AB) (AB) (AB)由以上公理模式特別是A11可以看出，在C1系統(tǒng)里面并不滿足關(guān)于“”的反證律。（1）系統(tǒng)C1的否定符本身雖是一種弱的否定，但由它定義的卻相當(dāng)于古典命題邏輯中的否定。C1中的是這樣定義的：AdefA(AA)。關(guān)于這個“”可以得到如下定理成

6、立：（AB）（AB）B），這正是關(guān)于“”的反證律。并且在C1中，連接詞“”、“”、“”、“”分別具有經(jīng)典命題演算中非、與、或、蘊(yùn)涵的一切經(jīng)典性質(zhì)。在次協(xié)調(diào)邏輯與人工智能和哲學(xué)邏輯研究里面都提到這個特性。但是，現(xiàn)在我們要問：壓根到底，“”與“”都只是C1系統(tǒng)中的符號,為什么說“”是C1系統(tǒng)的否定符，為什么不說“”是C1系統(tǒng)的否定符？我們用個簡單的符號替換，把“”與“”對換一下，把“”當(dāng)作系統(tǒng)中的否定符，那么這時的C1系統(tǒng)其實還是協(xié)調(diào)邏輯，而“”只是這個系統(tǒng)里面的某個一元連接詞。由此看來，所謂的次協(xié)調(diào)邏輯C1其實本質(zhì)上可以對應(yīng)于某個協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)。按照這種方法，我們可以把大部分的次協(xié)調(diào)邏輯對應(yīng)為一種

7、協(xié)調(diào)邏輯。如果該次協(xié)調(diào)系統(tǒng)可以定義出經(jīng)典否定符，那么我們就把它定為該系統(tǒng)的否定符，這樣該次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)就對應(yīng)為協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)；如果該次協(xié)調(diào)系統(tǒng)不能定義出經(jīng)典否定符，那么這個該次協(xié)調(diào)系統(tǒng)也沒必要稱為次協(xié)調(diào)邏輯，因為所謂“不協(xié)調(diào)”是針對經(jīng)典否定來講的。為了研究這種對應(yīng)性，我們第三部分將引入形式系統(tǒng)語法等價的概念。為了研究“不協(xié)調(diào)”與經(jīng)典否定的關(guān)系，我們第四部分對“不一致”進(jìn)行更深入的思考。在此意義上，所謂的次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)要么是對應(yīng)于協(xié)調(diào)系統(tǒng)的，要么根本沒意義。其實，1995年澳大利亞學(xué)者斯萊特爾（B.H.Slater）在Journal of Philosophical Logic已經(jīng)發(fā)表了“Para

8、consistent logics？”一文，對次協(xié)調(diào)的否定并不等于經(jīng)典否定提出了置疑。斯萊特爾主要在語義方面，批評普瑞斯特LP系統(tǒng)中的否定并不等于經(jīng)典否定。但可惜的是，斯萊特爾的置疑并沒有引起足夠的重視。本文則側(cè)重從形式系統(tǒng)的語法方面，對次協(xié)調(diào)邏輯提出置疑。3 形式系統(tǒng)的語法等價一個非形式化的描述在上面，我們看到次協(xié)調(diào)邏輯C1可以對應(yīng)于另一個協(xié)調(diào)邏輯。這種對應(yīng)關(guān)系是怎樣產(chǎn)生的呢？從形式系統(tǒng)的語法間，我們是否可以把捉到它們某種更本質(zhì)的聯(lián)系？首先，引入一個定義。如果兩個形式系統(tǒng)通過符號字母間、公式間的替換后是等價的話，我們稱它們?yōu)檎Z法等價的形式系統(tǒng)。舉個簡單的例子：在形式系統(tǒng)Z1中只有一個公理模式

9、：AB，在形式系統(tǒng)Z2中也只有一個公理模式：DA。雖然這兩個形式系統(tǒng)表面不一樣，但其實我們只要把Z1中的A對應(yīng)為Z2中的D，把Z1中的對應(yīng)為Z2中的，把Z1中的B對應(yīng)為Z2中的A， 我們可以發(fā)現(xiàn)Z1和Z2說的是一個東西，我們就稱它們?yōu)檎Z法等價的。上面的次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)C1也是語法等價于一個協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)（假設(shè)為Z3）。這里面的對應(yīng)關(guān)系稍微復(fù)雜一點(diǎn)，C1的AdefA(AA)，我們是把C1上的一個公式對應(yīng)于Z3上的經(jīng)典否定符修飾的原子公式。4 對“形式系統(tǒng)的不一致”的思考我們有必要對“形式系統(tǒng)的不一致”這個概念進(jìn)行思考，我們也有必要對元語言進(jìn)行思考。形式系統(tǒng)的一致性指的是不存在公式A，使得在這個形式系

10、統(tǒng)內(nèi)A并且A；而形式系統(tǒng)的不一致性指的是存在公式A，使得在這個形式系統(tǒng)內(nèi)A并且A。考察這個定義，我們可以發(fā)現(xiàn)，形式系統(tǒng)的一致性與什么叫“”，與什么叫“”有關(guān)。而什么叫“”，與形式系統(tǒng)的字母表，公式集，公理集，推理規(guī)則都分不開。另外，什么叫“”，它與“”在形式系統(tǒng)中的出現(xiàn)，與“”和其它符號的關(guān)聯(lián)有關(guān)系。舉個例子，比如在數(shù)學(xué)家的邏輯5中所謂L系統(tǒng)的一致性，指的是不存在公式A，使得在這個形式系統(tǒng)內(nèi)A并且A。而這里的“”在L系統(tǒng)中是有特殊定義的，L的公理共有三條：（i）（A（BA）(ii)（A（BC）（AB）（AC）(iii)（A）（B）（BA）在第三條公理里規(guī)定了“”這個符號在L中的出現(xiàn)。我們不能脫

11、離這條公理來談L的一致性，我們也不能脫離形式系統(tǒng)L來談L的一致性。所謂一致性只能是某個形式系統(tǒng)的一致性，而不能是外在于具體某一形式系統(tǒng)而談的一致性，不能是泛泛而言的一致性。每個形式系統(tǒng)中定義的“”可能本質(zhì)是不一樣的，只能在某一具體的形式系統(tǒng)中，我們才可以知道“”有什么作用。知道了具體的形式系統(tǒng)定義和關(guān)于“”的規(guī)則，我們才可以定義什么是該形式系統(tǒng)的一致性。因此，不同形式系統(tǒng)的一致性，往往說的并不是同一個東西。次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)所說的“不一致”與協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)所說的“不一致”根本就不是一個概念，不存在可比性。然而，次協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)所說的“不一致”是相對協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)的“一致性”來說的。在此意義上，我們說次協(xié)

12、調(diào)邏輯系統(tǒng)是無所謂“次協(xié)調(diào)”意義的。如果次協(xié)調(diào)邏輯可以說它是“不一致”的，那么在協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)里面，也可以定義另一個“一元連接詞”，使得A與A都成立，那么是否也可以說協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)里面關(guān)于“”也是“不一致”的?考察這個定義，我們還可以發(fā)現(xiàn)，形式系統(tǒng)不一致的定義與語義是無關(guān)的。形式系統(tǒng)一般要求具有三個性質(zhì)：一致性、可靠性、完備性。一致性與可靠性、完備性的一個區(qū)別是：可靠性與完備性限定是形式系統(tǒng)的語法與語義之間的對應(yīng)關(guān)系，而一致性只是限定形式系統(tǒng)的語法部分。但是，令人驚奇地是，形式系統(tǒng)一致性的證明卻往往要用到形式系統(tǒng)的可靠性定理，如數(shù)學(xué)家的邏輯在證明命題演算的和謂詞演算的一致性，使用了反證法而且都用到

13、了相應(yīng)的可靠性定理（見命題2.17和命題4.42）。然而這種證明方式，不免又讓人產(chǎn)生另一個問題。一致性的證明依賴于可靠性，而可靠性的證明又依賴于形式系統(tǒng)賦值的定義，而形式系統(tǒng)的賦值說道：A的解釋和A的解釋不能一樣。而這種賦值方式其實已經(jīng)規(guī)定了A和A的語義一致性。這樣整個來看，就是用形式系統(tǒng)語義的一致性來證明形式系統(tǒng)語法的一致性。另外，剛才提到，數(shù)學(xué)家的邏輯在證明命題演算的和謂詞演算的一致性，都使用了反證法。而反證法是以一致性為前提的，所以這里已經(jīng)假定了元語言的一致性。也就是，以元語言的一致性作為前提，才推導(dǎo)出對象語言的一致性。思考到這里，我們不得不對定義形式系統(tǒng)的元語言有個更認(rèn)真的思考。一般認(rèn)

14、為，元語言是半形式化的自然語言。在元語言里面，反證法，一致性，矛盾律，數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)概念已經(jīng)被廣泛的認(rèn)同?；蛘呖梢赃@么說，我們是在一個承認(rèn)了反證法，一致性，矛盾律，數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)概念的元語言來定義對象語言的，并推導(dǎo)出對象語言的反證法，一致性，矛盾律等概念。哥德爾在證明第一不完全性定理的時候，使用了哥德爾編碼和對角線的方法，哥德爾語句的直觀理解是：“這個數(shù)論語句在系統(tǒng)中是不可證的?！?通過哥德爾編碼，哥德爾把公式的證明序列編碼成自然數(shù)，又把這個自然數(shù)嵌入到公式中。可證性本來是元語言層的一個概念，哥德爾居然用這種編碼把它拉到了對象語言層。這為何可能？我想，這是因為元語言中已經(jīng)包含了數(shù)學(xué)歸納法等

15、具有自然數(shù)性質(zhì)的公理，并且元語言在定義符號時也用到了自然數(shù)的性質(zhì)。而作為對象語言的形式系統(tǒng)只要包含了數(shù)論，它就可以描述自然數(shù)性質(zhì)。元語言和對象語言均包含自然數(shù)性質(zhì)，這正是哥德爾第一不完全性定理得以證明的重要基礎(chǔ)。羅素認(rèn)為邏輯可以作數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但是定義邏輯系統(tǒng)的元語言又離不開數(shù)學(xué)，在此意義上，只能先有數(shù)學(xué)，再有邏輯；反過來，如果是先有數(shù)學(xué)，那么數(shù)學(xué)的一致性，不矛盾性又由誰來定義，看來也只能由邏輯。這樣來看，邏輯又要在數(shù)學(xué)之前。這種自引用式的循環(huán)，正是哥德爾第一不完全性定理的基礎(chǔ)，自引用式的哥德爾語句正是建構(gòu)在這種更高層次的自引用之上的。參考文獻(xiàn)：1張清宇，郭世銘，李小五著.哲學(xué)邏輯研究M.社會科

16、學(xué)文獻(xiàn)出版社，19972張建軍著.邏輯悖論研究引論M.南京大學(xué)出版社,20023桂起權(quán),陳自立,朱福喜著.次協(xié)調(diào)邏輯與人工智能M.武漢大學(xué)出版社,20024林作銓，李未.悖論邏輯的表演算J.軟件學(xué)報,1996,7(6):345-3535A.G.Hamilton著,駱如楓譯.數(shù)學(xué)家的邏輯M.商務(wù)印書館,1989.86侯世達(dá)著,郭維德等譯.哥德爾、艾舍爾、巴赫集異壁之大成M.商務(wù)印書館,1996Paraconsistent Logic System is syntax-equivalent to some Consistent Logic System or having not the sens

17、e of “Paraconsistent”ZHUANG Chao-hui(Inst. of Software of Computer Science Dept. of Xiamen Univ., Xiamen 361005, P.R.China)Abstract：In this article, the development of paraconsistent logic is introduced first. Then C1 system, developed by Costa, is discussed. This article argued that the “” symbol o

18、f C1 System is not the classical negation symbol, so this system is not the genuine paraconsistent logic. But the “” symbol defined in C1 System has the characters of classical negation symbol. Based on it, C1 system could be translated into some consistent logic system by exchanging “” symbol and “

19、” symbol. Using this method, most of the paraconsistent logic systems could be translated into some consistent logic system. The rest paraconsistent logic systems, which could not be translated into some consistent logic system, are having not the sense of “paraconsisent”. For understanding the essence of formal system further, the concept of syntax-equivalent is put forward. Two formal systems are syntax-equivalent, if these two formal systems are equivalent in the method of substitution of symbols or formulas. Then syntax-equivalent of formal system is discussed in an infor