高中全程復習方略配套兩直線的位置關系ppt課件

1、第二節(jié) 兩直線的位置關系內(nèi)容內(nèi)容要求要求A AB BC C直線的平行關系與垂直關系直線的平行關系與垂直關系兩條直線的交點兩條直線的交點兩點間的距離，點到直線兩點間的距離，點到直線的距離的距離高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關系兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關系直線直線l1 、l2不重合，斜率不重合，斜率分別為分別為k1，k2且都存在且都存在l1l2k1=k2l1l2k1k2=-1【即時運用】【即時運用】(1)(1)知直線知直線l1l1過點過點A(-1,1)A(-1,1)和和B(-2,-1),B(-2,-1),直線直線l2l2過過點點C(1,0)C(1,0)和和D

2、(0,a),D(0,a),假設假設l1l2,l1l2,那么那么a=_a=_；(2)(2)直線直線l l的傾斜角為的傾斜角為3030，假設直線，假設直線l1ll1l，那么直線，那么直線l1l1的斜率的斜率k1=_k1=_；假設直線；假設直線l2l,l2l,那么直線那么直線l2l2的斜率的斜率k2=_.k2=_.【解析】【解析】(1) l1(1) l1與與l2l2的斜率分別為的斜率分別為 由由l1l2l1l2可知：可知：a=-2.a=-2.(2)(2)由直線斜率的定義知，直線由直線斜率的定義知，直線l l的斜率的斜率k=tan30k=tan30= =11 1k22 1 ，2a0ka,0 1 33，

3、 l1l l1l ，k1=k= ll2,k2k=-1,k1=k= ll2,k2k=-1,k2k2答案：答案：(1)-2 (2)(1)-2 (2)3,313.k 3332.2.兩條直線的交點兩條直線的交點直線直線l1l1：A1x+B1y+C1=0A1x+B1y+C1=0與與l2l2：A2x+B2y+C2=0A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標與方程的公共點的坐標與方程組組 的解一一對應的解一一對應. .相交相交方程組有方程組有_，交點坐標就是方程組的解；，交點坐標就是方程組的解；平行平行方程組方程組_；重合重合方程組有方程組有_._.111222A xB yC0A xB yC0獨一解獨一解無解

4、無解無數(shù)組解無數(shù)組解【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：如何用兩直線的交點判別兩直線的位置關系？思索：如何用兩直線的交點判別兩直線的位置關系？提示：當兩直線有一個交點時，兩直線相交；無交點時，兩直提示：當兩直線有一個交點時，兩直線相交；無交點時，兩直線平行；有無數(shù)個交點時，兩直線重合線平行；有無數(shù)個交點時，兩直線重合. .(2)(2)直線直線l1l1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2l2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交點的交點P P的坐標是的坐標是_._.【解析】由直線【解析】由直線l1l1與與l2l2所組成的方程組所組成的方程組 得得直線直線l1l1：5x+2

5、y-6=05x+2y-6=0與與l2l2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交點的交點P P的坐標是的坐標是(2, -2).(2, -2).答案：答案：(2,-2)(2,-2)5x2y603x5y 160，x2y2 ，(3)(3)直線直線l1l1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2l2：5x+2y-16=05x+2y-16=0的位置關系是的位置關系是_._.【解析】【解析】由直線由直線l1l1與與l2l2所組成的方程組所組成的方程組 無解，無解，直線直線l1l1與與l2l2平行平行. .答案：平行答案：平行5x2y605x2y 1603.3.距距 離離兩條平行線兩條平行線Ax

6、+By+C1=0Ax+By+C1=0與與Ax Ax +By+C2 =0+By+C2 =0間的間隔間的間隔點點P0(x0,y0)P0(x0,y0)到直線到直線l:Ax +By +C =0l:Ax +By +C =0的的間隔間隔點點P1(x1,y1),P1(x1,y1),P2(x2,y2)P2(x2,y2)之間的間之間的間隔隔22122121PP(x -x ) (y -y )0022 Ax By Cd A B1222C -Cd A B【即時運用】【即時運用】(1)(1)原點到直線原點到直線x+2y-5=0 x+2y-5=0的間隔是的間隔是_；(2)(2)知知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,1

7、0)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，那么，那么a=_a=_；(3)(3)兩平行線兩平行線y=2xy=2x與與2x-y=-52x-y=-5間的間隔為間的間隔為_._.【解析】【解析】(1)(1)由于由于d d (2)(2)依題設及兩點間的間隔公式，得依題設及兩點間的間隔公式，得 解得解得a=a=8 8；2202 055.12 22a05 1017, (3)(3)由于兩平行線方程可化為：由于兩平行線方程可化為：2x-y=02x-y=0與與2x-y+5=0.2x-y+5=0.因此，兩平因此，兩平行線間的間隔為：行線間的間隔為：d d答案：答案：(1) (2)(1) (2)8 (3)8

8、(3)22505.2155 直線平行、垂直關系的判別及運用直線平行、垂直關系的判別及運用【方法點睛】【方法點睛】兩直線平行、垂直的判別方法兩直線平行、垂直的判別方法(1)(1)知兩直線的斜率存在知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線垂直兩直線垂直兩直線的斜率之積等于兩直線的斜率之積等于-1.-1.(2)(2)知兩直線的普通方程知兩直線的普通方程可利用直線方程求出斜率，轉(zhuǎn)化為第一種方法，或利用以下方可利用直線方程求出斜率，轉(zhuǎn)化為第一種方法，或利用以下方法求解：法求解： A1A2+B1B2=0 A1A2+B1B2

9、=0 l1與與l2 重合重合 的充分條件的充分條件 l 1與與l2 相交相交 的充分條件的充分條件 l1與與l2 平行平行 的充分條件的充分條件 l1與與l2 垂直垂直 的充要條件的充要條件 l1: l2: 直線方程直線方程22111112222222A xB yC0(AB0)A xB yC0(AB0)111222222ABC(A B C0)ABC112222AB(A B0)AB111222222ABC(A B C0)ABC【例【例1 1】(1)(2021(1)(2021浙江高考浙江高考) )假設直線假設直線x-2y+5=0 x-2y+5=0與直線與直線2x+my-2x+my-6=06=0相互

10、垂直，那么實數(shù)相互垂直，那么實數(shù)m=_.m=_.(2)(2)知過點知過點A(-2,m)A(-2,m)，B(m,4)B(m,4)的直線與直線的直線與直線2x+y-1=02x+y-1=0平行，那么平行，那么m m的值為的值為_._.(3)(3)知四邊形知四邊形ABCDABCD的四個頂點的坐標分別是的四個頂點的坐標分別是A(0,1)A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),B(1,0),C(3,2),D(2,3),試判別該四邊形的外形試判別該四邊形的外形. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)利用兩直線垂直的充要條件求解；利用兩直線垂直的充要條件求解；(2)(2)可根據(jù)可根據(jù)兩直線平

11、行，斜率相等，得出一個等式，解方程即可求值；兩直線平行，斜率相等，得出一個等式，解方程即可求值；(3)(3)分別求出四條邊的斜率及其邊長，即可判別四邊形的外形分別求出四條邊的斜率及其邊長，即可判別四邊形的外形. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由題意可得由題意可得1 12-2m=0,2-2m=0,解得解得m=1.m=1.答案：答案：1 1(2)(2)由于直線由于直線2x+y-1=02x+y-1=0的斜率的斜率k=-2k=-2，又由于過又由于過A(-2,m)A(-2,m)，B(m,4)B(m,4)的直線與直線的直線與直線2x+y-1=02x+y-1=0平行，所以平行，所以 解得解得m=-8

12、.m=-8.答案：答案：-8-84m2m2 ，(3)(3)由于四邊形的頂點坐標為由于四邊形的頂點坐標為A(0,1)A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),B(1,0),C(3,2),D(2,3),所以所以kAB= =-1kAB= =-1，kBC= =1kBC= =1，kCD= =-1kCD= =-1，kAD= =1.kAD= =1.ABCDABCD，BCADBCAD，且，且ABBCABBC，ABAD.ABAD.又由于又由于|AB|=|AB|=|AD|= |AD|= 即即|AB|AD|AB|AD|，所以，四邊形所以，四邊形ABCDABCD為長方形為長方形. .0 11 0203

13、132233 12022(0 1)1 02，22(02)1 32 2，【互動探求】本例【互動探求】本例(3)(3)中條件不變，試求該四邊形的四條邊所在中條件不變，試求該四邊形的四條邊所在的直線方程的直線方程. .【解析】由于【解析】由于A(0,1)A(0,1)，B(1,0)B(1,0)，所以，所以ABAB邊所在的直線方程為：邊所在的直線方程為： 即即x+y-1=0;x+y-1=0;又由于又由于B(1,0)B(1,0)，C(3,2)C(3,2)，所以，所以BCBC邊所在的直線方程為：邊所在的直線方程為： 即即x-y-1=0 x-y-1=0；同理可得：同理可得：CDCD邊所在的直線方程為：邊所在的

14、直線方程為：x+y-5=0 x+y-5=0；ADAD邊所在的直線方程為：邊所在的直線方程為：x-y+1=0.x-y+1=0.xy1,11y0 x1203 1，【反思【反思感悟】經(jīng)過本例的解析過程可知，處置兩直線的位置感悟】經(jīng)過本例的解析過程可知，處置兩直線的位置關系，在兩直線斜率都存在的前提下，利用兩直線的斜率和在關系，在兩直線斜率都存在的前提下，利用兩直線的斜率和在y y軸上的截距去處置；假設直線的斜率不存在，那么可思索數(shù)形軸上的截距去處置；假設直線的斜率不存在，那么可思索數(shù)形結(jié)合結(jié)合. .【變式備選】假設直線【變式備選】假設直線l l過點過點(-1,2)(-1,2)且與直線且與直線2x-3

15、y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，那么直線那么直線l l的方程為的方程為_._.【解析】方法一：直線【解析】方法一：直線2x-3y+4=02x-3y+4=0的斜率為的斜率為: :設所求直線的斜率為設所求直線的斜率為kk，所求直線與直線所求直線與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，kk=-1,kk=-1,所求直線方程為所求直線方程為y-2=- (x+1),y-2=- (x+1),即即:3x+2y-1=0.:3x+2y-1=0.2k,33k.2 32方法二：由知方法二：由知, ,設所求直線設所求直線l l的方程為：的方程為：3x+2y+C=0.3x+2y+C=0.又又l l過

16、點過點(-1,2),(-1,2),33(-1)+2(-1)+22+C=02+C=0，得，得:C=-1,:C=-1,所以所求直線方程為所以所求直線方程為3x+2y-1=0.3x+2y-1=0.答案：答案：3x+2y-1=03x+2y-1=0 兩直線的交點問題兩直線的交點問題【方法點睛】【方法點睛】1.1.求兩直線交點的方法求兩直線交點的方法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點方程組的解為坐標的點即為交點. .2.2.過兩直線交點的直線系方程過兩直線交點的直線系方程過直線過直線A1x+B1y+C1=

17、0A1x+B1y+C1=0與與A2x+B2y+C2=0A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直線不包括直線A2x+B2y+C2=0) A2x+B2y+C2=0) 【例【例2 2】(1)(1)求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點，且也經(jīng)的交點，且也經(jīng)過點過點A(8,-4)A(8,-4)的直線方程為的直線方程為_._.(2)(2)知兩直線知兩直線l1l1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0與與l2l2

18、：2x+my-1=02x+my-1=0，假設，假設l1l1與與l2l2相交，相交，務虛數(shù)務虛數(shù)m m、n n滿足的條件滿足的條件. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)可求出兩直線的交點坐標，用兩點式處理；也可求出兩直線的交點坐標，用兩點式處理；也可用過兩直線交點的直線系處理；可用過兩直線交點的直線系處理；(2)(2)兩直線相交可思索直線斜兩直線相交可思索直線斜率之間的關系，從而得到率之間的關系，從而得到m m、n n滿足的條件滿足的條件. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)方法一：由于直線方法一：由于直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交的交點

19、坐標為點坐標為(-2,1)(-2,1)，又直線過，又直線過A(8,-4)A(8,-4)，所以所求直線方程為：，所以所求直線方程為： 即即x+2y=0.x+2y=0.方法二：設過直線方法二：設過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點的直線方程為的交點的直線方程為x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，又由于直線過又由于直線過A(8,-4)A(8,-4)，所以，所以8-4+1+(8+4+3)=08-4+1+(8+4+3)=0，解得，解得: :所以，所求直線方程為所以，所求直線方程為x+2y=0.x+2y=0.答案：答案：x+2y=

20、0 x+2y=0y4x81428 ，1,3 (2)(2)由于兩直線由于兩直線l1l1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0與與l2l2：2x+my-1=02x+my-1=0相交，因此，當相交，因此，當m=0m=0時，時，l1l1的方程為的方程為y l2y l2的方程為的方程為 兩直線相交，此兩直線相交，此時，實數(shù)時，實數(shù)m m、n n滿足的條件為滿足的條件為m=0m=0，nRnR；當；當m0m0時，時，兩直線兩直線相交，相交， 解得解得mm4 4，此時，實數(shù)，此時，實數(shù)m m、n n滿足的條件為滿足的條件為mm4 4，nR.nR.n8 ，1x2，m82m，【互動探求】本例【互動探求】本例(1)

21、(1)中的中的“且也經(jīng)過點且也經(jīng)過點A(8,-4)A(8,-4)改為改為“與直線與直線2x-y=02x-y=0垂直垂直, ,求該直線方程求該直線方程. .【解析】方法一：由于直線【解析】方法一：由于直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點坐標的交點坐標為為(-2,1)(-2,1)，又直線與直線，又直線與直線2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直線的斜率垂直，所以所求直線的斜率k=- k=- 因此所求直線方程為：因此所求直線方程為：y-1=- (x+2)y-1=- (x+2)，即，即x+2y=0.x+2y=0.方法二：設過直線方法二：設過直線x+y+1

22、=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點的直線方程為的交點的直線方程為x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，即，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,(1+)x+(1-)y+1+3=0,12，12又由于要求直線與直線又由于要求直線與直線2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直線的斜率垂直，所以所求直線的斜率k=- k=- ，即有，即有解得解得:=- :=- 所以，所求直線方程為所以，所求直線方程為x+2y=0.x+2y=0.121112 ，1,3【反思【反思感悟】本例感悟】本例(1)(1)是求直線方程是求直線方程, ,其關鍵是尋覓確定直線其

23、關鍵是尋覓確定直線的兩個條件的兩個條件, ,可以直接求交點可以直接求交點, ,利用兩點式得出方程利用兩點式得出方程, ,此法要留意此法要留意兩點的縱兩點的縱( (或橫或橫) )坐標一樣時坐標一樣時, ,兩點式方程不適用兩點式方程不適用, ,也可以利用直也可以利用直線系方程求解線系方程求解, ,其關鍵是利用知點求其關鍵是利用知點求的值的值; ;本例本例(2)(2)調(diào)查兩直線相交的條件調(diào)查兩直線相交的條件, ,即斜率不等或有一條直線的斜即斜率不等或有一條直線的斜率不存在率不存在. .【變式備選】當【變式備選】當m m為何值時，三條直線為何值時，三條直線l1l1：4x+y-3=04x+y-3=0與與

24、l2l2：x+y=0,l3x+y=0,l3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能圍成一個三角形能圍成一個三角形? ?【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點，【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點，(1)(1)當當m0m0時時解得：解得：m- m- m- m- 且且m0m0；243m213m ，16，23又由于又由于l1l1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2l2：x+y=0 x+y=0的交點為的交點為(1,-1)(1,-1)，所以，所以2+3m-2+3m-4040，解得，解得mm(2)(2)當當m=0m=0時，時，l3:2x-4=0l3:2x-4=0

25、l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0l1l1與與l3l3的交點為的交點為(2(2，-5)-5)， l1 l1與與l2l2的交點為的交點為(1(1，-1)-1)，l2l2與與l3l3的交的交點點為為(2(2，-2)-2)，能構成三角形，符合題意，能構成三角形，符合題意. .綜上可知：綜上可知：m- m- m- m- 且且m .m .23；16，2323 間隔公式的運用間隔公式的運用【方法點睛】【方法點睛】1.1.兩點間的間隔的求法兩點間的間隔的求法兩點間的間隔，可利用兩點間的間隔公式求解兩點間的間隔，可利用兩點間的間隔公式求解. .(1)(1)當兩點連

26、線平行于當兩點連線平行于x x軸時，其間隔等于這兩點橫坐標之差的軸時，其間隔等于這兩點橫坐標之差的絕對值；絕對值；(2)(2)當兩點連線平行于當兩點連線平行于y y軸時，其間隔等于這兩點縱坐標之差的軸時，其間隔等于這兩點縱坐標之差的絕對值絕對值. .2.2.點到直線的間隔的求法點到直線的間隔的求法點到直線的間隔，可直接利用點到直線的間隔公式，但要留意，點到直線的間隔，可直接利用點到直線的間隔公式，但要留意，此時直線方程必需為普通式此時直線方程必需為普通式. .3.3.兩平行直線間的間隔的求法兩平行直線間的間隔的求法(1)(1)利用利用“化歸法將兩條平行線間的間隔轉(zhuǎn)化為一條直線上恣化歸法將兩條平

27、行線間的間隔轉(zhuǎn)化為一條直線上恣意一點到另一條直線的間隔意一點到另一條直線的間隔. .(2)(2)利用兩平行線間的間隔公式利用兩平行線間的間隔公式. .【提示】運用兩平行線間的間隔公式求間隔時【提示】運用兩平行線間的間隔公式求間隔時, ,要留意兩平行直要留意兩平行直線方程中線方程中x x、y y的系數(shù)必需相等的系數(shù)必需相等. .【例【例3 3】知點】知點A(2A(2，-1)-1)，(1)(1)求過點求過點A A且與原點間隔為且與原點間隔為2 2的直線的直線l l的方程；的方程；(2)(2)求過點求過點A A且與原點間隔最大的直線且與原點間隔最大的直線l l的方程，并求最大間隔；的方程，并求最大間

28、隔；(3)(3)能否存在過點能否存在過點A A且與原點間隔為且與原點間隔為6 6的直線？假設存在，求出方的直線？假設存在，求出方程；假設不存在程；假設不存在. .請闡明理由請闡明理由. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)由于知直線過點由于知直線過點A A，因此可選擇點斜式方程，因此可選擇點斜式方程，利用到原點的間隔為利用到原點的間隔為2 2列方程，解方程即可，但要留意對斜率不列方程，解方程即可，但要留意對斜率不存在的情況進展討論；存在的情況進展討論；(2)(2)易知最大間隔時的直線與易知最大間隔時的直線與AOAO垂直，這垂直，這樣問題即可處理；樣問題即可處理；(3)(3)可由可由(2)(2

29、)知道間隔的最大值，從而得出直知道間隔的最大值，從而得出直線能否存在線能否存在. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)過點過點A A的直線的直線l l與原點間隔為與原點間隔為2 2，而點，而點A A的坐標為的坐標為(2,-1).(2,-1).當斜率不存在時，直線當斜率不存在時，直線l l的方程為的方程為x=2x=2，此時，原點到直線，此時，原點到直線l l的間的間隔為隔為2 2，符合題意；，符合題意；當斜率存在時，設直線當斜率存在時，設直線l l的方程為的方程為y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由知得，由知得解得解得k= k= ，此

30、時直線，此時直線l l的方程為的方程為3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,綜上可知：直線綜上可知：直線l l的方程為的方程為x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y-10=0.22k12,k134(2)(2)由題意易知，過點由題意易知，過點A A與原點與原點O O間隔最大的直線是過點間隔最大的直線是過點A A與與AOAO垂垂直的直線，由直的直線，由lAOlAO，得，得klkOA=-1klkOA=-1，所以，所以 ，由直線，由直線的點斜式得的點斜式得y+1=2(x-2)y+1=2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直線，即直線2x-y-5=02x-y-5=0是過

31、點是過點A A且與原點間隔最大的直線且與原點間隔最大的直線l l的方程，最大間隔是的方程，最大間隔是(3)(3)由由(2)(2)可知，過點可知，過點A A不存在到原點間隔超越不存在到原點間隔超越 的直線，因此的直線，因此不存在過點不存在過點A A且與原點間隔為且與原點間隔為6 6的直線的直線. .OA1k2k l55.55【反思【反思感悟】感悟】1.1.在解答此題時，直線斜率存在時在解答此題時，直線斜率存在時, ,根據(jù)題設條根據(jù)題設條件，由點到直線的間隔公式得關于斜率的方程，這是很關鍵的件，由點到直線的間隔公式得關于斜率的方程，這是很關鍵的問題問題, ,同時留意討論斜率不存在的情況；同時留意討

32、論斜率不存在的情況；2.2.求間隔的最值時，除求間隔的最值時，除了思索間隔公式所要求的條件，以防漏解、錯解外，還要留意了思索間隔公式所要求的條件，以防漏解、錯解外，還要留意數(shù)形結(jié)合思想的運用數(shù)形結(jié)合思想的運用. .【變式訓練】知【變式訓練】知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直線和直線l:4x+3y-2=0l:4x+3y-2=0，在坐標，在坐標平面內(nèi)求一點平面內(nèi)求一點P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且點，且點P P到直線到直線l l的間隔為的間隔為2.2.【解析】設點【解析】設點P P的坐標為的坐標為(a,b)(a,b)，A(4A(4，-3)-3)，B(

33、2,-1)B(2,-1)，線段線段ABAB的中點的中點M M的坐標為的坐標為(3(3，-2)-2)，線段線段ABAB的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為y+2=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.由題意知點由題意知點P(a,b)P(a,b)在上述直線上，在上述直線上，a-b-5=0.a-b-5=0.又點又點P(a,b)P(a,b)到直線到直線l l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的間隔為的間隔為2 2， 即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,聯(lián)立可得聯(lián)立可得 或或所求點所求點P P的坐標為的坐標為(1(1，-4)-4)或或4a3b22,5a1b4 27a

34、7.8b7 278(,).77【變式備選】過點【變式備選】過點P(-1,2)P(-1,2)引不斷線，兩點引不斷線，兩點A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)到到該直線的間隔相等，求這條直線的方程該直線的間隔相等，求這條直線的方程. .【解析】方法一：當斜率不存在時，過點【解析】方法一：當斜率不存在時，過點P(-1,2)P(-1,2)的直線方程為：的直線方程為：x=-1x=-1，A(2,3)A(2,3)到到x=-1x=-1的間隔等于的間隔等于3 3，且，且B(-4,5)B(-4,5)到到x=-1x=-1的間隔也的間隔也等于等于3 3，符合題意；，符合題意；當直線的斜率存在時，設斜

35、率為當直線的斜率存在時，設斜率為k k，過點，過點P(-1,2)P(-1,2)的直線方程為：的直線方程為：y-2=k(x+1)y-2=k(x+1)，即，即kx-y+k+2=0kx-y+k+2=0，依題設知：依題設知：解得：解得：k=-k=-所以，所求直線方程為：所以，所求直線方程為：x+3y-5=0 x+3y-5=0；綜上可知綜上可知, ,所求直線方程為所求直線方程為x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.方法二：依題設知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點方法二：依題設知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點P(-1,2)P(-1,2)與與ABAB平行的直線，另一條是過點平行的

36、直線，另一條是過點P P及及ABAB中點的直線中點的直線. .由于由于A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)，所以，所以222k3k24k5k2,k1k1 13，AB351k243 ，因此，過點因此，過點P P與與ABAB平行的直線的方程為：平行的直線的方程為：y-2=- (x+1),y-2=- (x+1),即即x+3y-5=0;x+3y-5=0;又由于又由于A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)的中點坐標的中點坐標D(-1,4)D(-1,4)，所以過點所以過點P P及及ABAB中點的直線方程為中點的直線方程為x=-1.x=-1.綜上可知綜上可知, ,所求直線方

37、程為所求直線方程為x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.13 對稱問題對稱問題【方法點睛】【方法點睛】1.1.對稱中心的求法對稱中心的求法假設兩點假設兩點A(x1,y1)A(x1,y1)、B(x2,y2)B(x2,y2)關于點關于點P(a,b)P(a,b)對稱，那么由中點坐對稱，那么由中點坐標公標公式求得式求得a a、b b的值，即的值，即2.2.軸對稱的兩個公式軸對稱的兩個公式假設兩點假設兩點M(x1,y1)M(x1,y1)、N(x2,y2)N(x2,y2)關于直線關于直線l l：Ax+By+C=0(A0)Ax+By+C=0(A0)對稱，對稱，那么線段那么線段MNMN的中點

38、在對稱軸的中點在對稱軸l l上，而且連結(jié)上，而且連結(jié)MNMN的直線垂直于對的直線垂直于對1212xxyyab.22，稱軸稱軸l.l.故有故有3.3.對稱問題的類型對稱問題的類型(1)(1)點關于點對稱；點關于點對稱；(2)(2)點關于直線對稱；點關于直線對稱；(3)(3)直線關于點對稱；直線關于點對稱；(4)(4)直線關于直線對稱直線關于直線對稱. .以上各種對稱問題最終化歸為點關于點對稱、點關于直線對稱以上各種對稱問題最終化歸為點關于點對稱、點關于直線對稱. . 12121212xxyyA()B()C022yyBxxA 【例【例4 4】知直線】知直線l l：2x-3y+1=02x-3y+1=

39、0，點，點A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：(1)(1)點點A A關于直線關于直線l l的對稱點的對稱點AA的坐標；的坐標；(2)(2)直線直線l l關于點關于點A A的對稱直線的對稱直線ll的方程的方程. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)可設對稱點可設對稱點AA的坐標為的坐標為(m,n)(m,n)，利用，利用AAAA與直與直線線l l垂直以及線段垂直以及線段AAAA的中點在直線的中點在直線l l上，得出關于上，得出關于m m、n n的方程的方程組，解方程組即可得組，解方程組即可得AA的坐標；的坐標；(2)(2)此題本質(zhì)上是求直線的方程，可想法找到兩個點的坐標，即此題本質(zhì)上是求

40、直線的方程，可想法找到兩個點的坐標，即可求出直線可求出直線ll的方程的方程. .也可在也可在ll上任取一點，利用該點關于點上任取一點，利用該點關于點A A的對稱點在直線的對稱點在直線l l上即可得出方程上即可得出方程. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)設對稱點設對稱點AA的坐標為的坐標為(m,n)(m,n)，由知可得，由知可得解得解得 即即AAn221m13m 1n2231022 ，33m134n13 ，33 4(,).13 13(2)(2)方法一：在方法一：在l l上任取兩點上任取兩點(1,1)(1,1)與與(0, )(0, )，那么它們關于點，那么它們關于點A A(-1(-1，-2)

41、-2)的對稱點坐標為的對稱點坐標為(-3,-5)(-3,-5)與與(-2,- )(-2,- ) l l的方程為的方程為: : 化簡得化簡得2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二方法二: :設點設點P(x,y)P(x,y)為為ll上恣意一點，那么點上恣意一點，那么點P P關于點關于點A A的對稱點的對稱點為為P(-2-x,-4-y)P(-2-x,-4-y)，又由于，又由于PP在直線在直線l l上，所以，上，所以，2(-2-x)-2(-2-x)-3(-4-y)+1=03(-4-y)+1=0，即即2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.13133y5x3132353 ，【反思【反思感悟】感悟

42、】1.1.此題是點關于線對稱，線關于點對稱，這類此題是點關于線對稱，線關于點對稱，這類問題都要抓住對稱這一特征處理問題問題都要抓住對稱這一特征處理問題. .2.(1)2.(1)利用方程思想，利用方程思想，(2)(2)利用中點坐標公式，找到知點與未知利用中點坐標公式，找到知點與未知點之間的關系，最后利用曲線方程的概念代入求解點之間的關系，最后利用曲線方程的概念代入求解. .【變式訓練】求直線【變式訓練】求直線m m：3x-2y-6=03x-2y-6=0關于直線關于直線l l：2x-3y+1=02x-3y+1=0對稱對稱的直線的直線mm的方程的方程. .【解析】由【解析】由 解得解得m m與與l

43、l的交點的交點E(4,3)E(4,3)，E E點也在直點也在直線線mm上上. .在直線在直線m m：3x-2y-6=03x-2y-6=0上取一點上取一點A(2,0)A(2,0)，設，設A A點關于直線點關于直線l l的對稱的對稱點點B B的坐標為的坐標為 (a,b) (a,b)，那么，那么3x2y602x3y10 ，由由 解得解得由兩點式得直線由兩點式得直線mm的方程為的方程為即即9x-46y+102=0.9x-46y+102=0.b021a23a2b02 ()3 ()1022 ，6 30B(,).13 13y3x4,306341313【創(chuàng)新探求】新定義下的【創(chuàng)新探求】新定義下的“直線方程問題

44、直線方程問題【典例】【典例】(2021(2021上海模擬上海模擬) )在平面直角坐標系中，設點在平面直角坐標系中，設點P(x,y)P(x,y)，定義定義OP=|x|+|y|OP=|x|+|y|，其中，其中O O為坐標原點為坐標原點. .對于以下結(jié)論：對于以下結(jié)論：符合符合OP=1OP=1的點的點P P的軌跡圍成的圖形的面積為的軌跡圍成的圖形的面積為2 2；設設P P為直線為直線 x+2y-2=0 x+2y-2=0上恣意一點，那么上恣意一點，那么OPOP的最小值為的最小值為1 1；設設P P為直線為直線y=kx+b(k,bR)y=kx+b(k,bR)上的恣意一點，那么上的恣意一點，那么“使使 O

45、P OP最最小小的點的點P P有無數(shù)個的必要條件是有無數(shù)個的必要條件是“k=“k=1 1. .其中正確的結(jié)論有其中正確的結(jié)論有_(_(填上他以為正確的一切結(jié)論的序號填上他以為正確的一切結(jié)論的序號). ). 5【解題指南】根據(jù)新定義，討論【解題指南】根據(jù)新定義，討論x x的取值，得到的取值，得到y(tǒng) y與與x x的分段的分段函數(shù)關系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；函數(shù)關系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；仔細察看直線方程，可舉一個反例，得到仔細察看直線方程，可舉一個反例，得到OPOP的最小值為的最小值為1 1是假命題；根據(jù)是假命題；根據(jù)|x|+|y|x|+|y|大于等于大

46、于等于|x+y|x+y|或或|x-y|x-y|，把，把y=kx+by=kx+b代入即可得到結(jié)論代入即可得到結(jié)論. .【規(guī)范解答】由【規(guī)范解答】由OP=1OP=1，根據(jù)，根據(jù)新定義得：新定義得：|x|+|y|=1,|x|+|y|=1,上式可化上式可化為：為：y=-x+1(0 x1)y=-x+1(0 x1)，y=-x-1y=-x-1(-1x0)(-1x0)，y=x+1(-1x0)y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1),y=x-1(0 x1),畫出圖象如下圖：畫出圖象如下圖：根據(jù)圖形得到：四邊形根據(jù)圖形得到：四邊形ABCDABCD為邊長是為邊長是 的正方形，所以面積等的正方形，所以面積等于于2 2，故正確；，故正確；2x-11yo-11ABCD當點當點P P為為( 0)( 0)時，時，OP=|x|+|y|= +0OP=|x|+|y|= +01,1,所以所以OPOP的最的最小值不為小值不