高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.1合情推理與演繹推理課件 理 蘇教版

1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 蘇蘇 （理）（理）13.1合情推理與演繹推理第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 練出高分練出高分一、合情推理1.歸納推理(1)定義：從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納法).(2)特點(diǎn)：歸納推理是由 到整體、由 到一般的推理.部分個(gè)別2.類比推理(1)定義：根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比法).(2)特點(diǎn)：類比推理是由 到 的推理.特殊特殊3.合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正

2、確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理.二、演繹推理1.演繹推理一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由 到 的推理.2.“三段論”是演繹推理的一般模式(1)大前提已知的 ；(2)小前提所研究的 ；(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì) 做出的判斷.一般特殊一般原理特殊對(duì)象特殊對(duì)象u 思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.( )(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.( )(3)在類比

3、時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適.( )(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.( )題號(hào)答案解析1234 18觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(1)n1n2.解析等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對(duì)值分別為1,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n .解析例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)

4、，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華先正確計(jì)算各式的值，再根據(jù)自變量之和與函數(shù)之和的特征進(jìn)行歸納.例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并

5、給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華證明：設(shè)x1x21，例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華2x1x1x2x1x2x例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華2x1x2x12+xx2x1x2x1x2x1x2x1x1x歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同特征；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題

6、.例1設(shè)f(x) ，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.題型一歸納推理題型一歸納推理思維點(diǎn)撥解析思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_.解析由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281.解析567891011121381思維點(diǎn)撥解析思維升華例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amn .類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bm

7、c，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.題型二類比推理題型二類比推理等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時(shí)，等差數(shù)列的公差對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運(yùn)算，等差數(shù)列的乘除法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開方運(yùn)算.例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amn .類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.題型二類比推理題型二類比推理思維點(diǎn)撥解析思維升華例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amn .類比等差數(shù)列an的上述

8、結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.題型二類比推理題型二類比推理設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.思維點(diǎn)撥解析思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵.例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amn .類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.題型二類比推理題型二類比推理思維點(diǎn)撥解析思維升華(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；

9、低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等.例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amn .類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.題型二類比推理題型二類比推理思維點(diǎn)撥解析思維升華跟蹤訓(xùn)練2在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形abc三條邊上的高，p為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，p到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，我們可以得到結(jié)論： 1.把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為_.解析設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐abcd四個(gè)面上的高，p

10、為三棱錐abcd內(nèi)任一點(diǎn)，p到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為pa，pb，pc，pd，于是可以得出結(jié)論： 1.例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ， )對(duì)稱；題型三演繹推理題型三演繹推理思維點(diǎn)撥解析證明本題依據(jù)的大前提是中心對(duì)稱的定義，函數(shù)yf(x)的圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上.小前提是f(x)(a0，且a1)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ， )對(duì)稱.例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ， )對(duì)稱；題型三演繹推理題型三演繹推理思維點(diǎn)撥解析例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

11、( ， )對(duì)稱；題型三演繹推理題型三演繹推理思維點(diǎn)撥解析例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ， )對(duì)稱；題型三演繹推理題型三演繹推理思維點(diǎn)撥解析例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ， )對(duì)稱；題型三演繹推理題型三演繹推理1yf(1x)，思維點(diǎn)撥解析例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思維升華解析解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)

12、f(2)f(3)3.例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思維升華解析演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1).(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思維升華解析跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)yf(x)滿足：對(duì)任意a，br，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為r上的單調(diào)增函數(shù).證明設(shè)x1，x2r，取x1x1

13、f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1).yf(x)為r上的單調(diào)增函數(shù).高頻小考點(diǎn)高頻小考點(diǎn)11 高考中的合情推理問題高考中的合情推理問題五邊形數(shù) n(n,5) n2 n，六邊形數(shù) n(n,6)2n2n可以推測(cè)n(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算n(10,24)_.解析由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，n(n，k) n2 n，n(10,24) 100 101 1001001 000.答案1 000解析設(shè)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，解析歸納觀察法.觀察每行不

14、等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.溫馨提醒(1)解決歸納推理問題，常因條件不足，了解不全面而致誤 .應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進(jìn)行歸納.(2)解決類比問題，應(yīng)先弄清所給問題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問題.方 法 與 技 巧1.合情推理的過程概括為2.演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論.數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行.失 誤 與 防 范1.合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明.2.演繹推理是由

15、一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性.3.合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù).1.數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x_.解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.32234567891012.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理_.結(jié)論正確 大前提不正確小前提不正確 全不正確解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤.345678910123.下列推理是歸納推理的是_.a，b為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足papb2aab，則p點(diǎn)的軌跡為橢

16、圓；由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的表達(dá)式；由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓 1的面積sab；科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇.24567891013解析從s1，s2，s3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn，是從特殊到一般的推理，所以是歸納推理.24567891013答案4.給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_.23567891014解析(

17、ab)nanbn(n1，ab0)，故錯(cuò)誤.23567891014sin()sin sin 不恒成立.如30，60，sin 901，sin 30sin 60 ，故錯(cuò)誤.答案1由向量的運(yùn)算公式知正確.2346789101523467891015解析若an是等差數(shù)列，若cn是等比數(shù)列，23467891015答案6.仔細(xì)觀察下面和的排列規(guī)律： 若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的和，那么在前120個(gè)和中，的個(gè)數(shù)是_.23457891016解析進(jìn)行分組|，答案1423457891016易知f(14)119，f(15)135，故n14.7.在平面幾何中，有“正三角形內(nèi)切圓半徑等于這個(gè)正三角形高的 ”.拓展到空

18、間，類比平面幾何的上述正確結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體的高的_.23456891017解析設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，高為h，內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法知3arah，所以r h；同理，由等體積法知4srhs，所以r h.8.(2013陜西)觀察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_.23456791018解析由已知的三個(gè)等式左邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式左邊為(n1)(n2)(nn)，由已知的三個(gè)等式右邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式右邊為2n與n個(gè)奇數(shù)之積，即2n13(2n1).23456791018答案(n1)(n2)(

19、nn)2n13(2n1)9.已知等差數(shù)列an的公差d2，首項(xiàng)a15.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn；解a15，d2，23456781019(2)設(shè)tnn(2an5)，求s1，s2，s3，s4，s5；t1，t2，t3，t4，t5，并歸納出sn與tn的大小規(guī)律.23456781019解tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.t15，t2422218，t3432339，t4442468，t54525105.s15，s22(24)12，s33(34)21，s44(44)32，s55(54)45.由此可知s1t1，當(dāng)2n5，nn時(shí)，sntn.23456781019歸納猜想：當(dāng)n1時(shí)，sntn；當(dāng)n2，nn時(shí)，sntn.10.在rtabc中，abac，adbc于d，求證： ，那么在四面體abcd中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.23456789110解如圖所示，由射影定理ad2bddc，ab2bdbc，ac2bcdc，23456789110又bc2ab2ac2，猜想，四面體abcd中，ab、ac、ad兩兩垂直，ae平面bcd，23456789110證明：如圖，連結(jié)be并延長(zhǎng)交cd于f，連結(jié)af.ab平面