第七節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限ppt課件

1、 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限第七節(jié)第七節(jié) 極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限限20sinlim?1xxxe 0,0上式分子分母都趨于但是無(wú)法消上式分子分母都趨于但是無(wú)法消去趨向 因子去趨向 因子0ln(1)lim?arctanxxx !還需要新的極限方法一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則 本節(jié)先介紹兩個(gè)極限是否存在的判定準(zhǔn)則本節(jié)先介紹兩個(gè)極限是否存在的判定準(zhǔn)則, 并利用它們來(lái)推并利用它們來(lái)推導(dǎo)出兩個(gè)重要極限導(dǎo)出兩個(gè)重要極限.1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取

2、恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的情況上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的情況.注注,.nnnnyzyz利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出與與并并且且與與 的的極極限限是是容容易易求求的的 在構(gòu)造在構(gòu)造yn, zn 或或 g(x), h(x)的時(shí)候可以采取將的時(shí)候可以采取將xn 或或 f(x),適當(dāng)?shù)乜s小適當(dāng)?shù)乜s小, 適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大, 適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)為適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)為yn, zn 或或 g(x),

3、h(x)的極限容易求出的極限容易求出, 且且yn, zn 或或 g(x), h(x)的的極限相等極限相等.xn ynzn適當(dāng)縮小適當(dāng)縮小適當(dāng)擴(kuò)大適當(dāng)擴(kuò)大h(x)g(x)適當(dāng)縮小適當(dāng)縮小適當(dāng)擴(kuò)大適當(dāng)擴(kuò)大f(x)00()()lim( )lim( ),xxxxxxg xh xAlimlim,nnnnyzA例例1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn1 321lim().2 42nnn 求求1 321

4、2 42.2 423 521nnnn 解解21 3211 2 3 4212()2 422 3 4 5221nnnnnn 121n 1 32112 4221nnn 1 321lim()0.2 42nnn 從數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則到函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則，需要用到體現(xiàn)從數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則到函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則，需要用到體現(xiàn)函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的一個(gè)定理函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的一個(gè)定理. Axfxxx)(,0:, 0, 00就就有有使使得得(自學(xué)自學(xué))證證 必要性必要性即即,)(lim0Axfxx 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)定理定理 .)(lim,)(lim000AxfNnxxxxAxfnnnnxx 都都有有）（的的數(shù)數(shù)列列對(duì)對(duì)每每

5、個(gè)個(gè)收收斂斂于于點(diǎn)點(diǎn)存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是xnx Axfxxxnnn)(,0:,0有有特特別別 00,),(, 0,limxxNnNxxnnn就有就有使得使得自然數(shù)自然數(shù)對(duì)上述對(duì)上述根據(jù)定理假設(shè)根據(jù)定理假設(shè)00, 0,nnxxxx 注注意意到到即即有有于于是是得得到到 00,),(,0 xxNnNn有有使使得得自自然然數(shù)數(shù) Axfn)(從從而而就就有有證畢證畢Axfnn )(lim即即00 lim( ),0,xxf xA 充充分分性性 假假設(shè)設(shè)則則*00*01/|0 ()nnnnnxxxxf xA 對(duì)取,則對(duì)取,則使得 使得 *0lim1/0,01/nnnnxxn 因因?yàn)闉?

6、0,*,0*xxx 對(duì)對(duì)都都有有盡盡管管0 ( *)f xA 仍仍有有*0limnnnxxx 所所以以數(shù)數(shù)列列滿滿足足* lim()nnf xA 但是但是與條件矛盾與條件矛盾注注 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個(gè)數(shù)列找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個(gè)趨于找兩個(gè)趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf例例 證明證明xx1sinlim0不存在不存在 . .證證 取兩個(gè)趨于取兩個(gè)趨于 0 0 的數(shù)列的數(shù)列21nxn及及221nxn),2, 1(n有有nnx1sinli

7、mnnx1sinlim由定理由定理 知知xx1sinlim0不存在不存在 .02sinlimnn1)2sin(lim2nn2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)不減單調(diào)不減,121 nnxxxx單調(diào)不增單調(diào)不增單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋: 假設(shè)假設(shè)xn單調(diào)不減單調(diào)不減,xn有兩種可能有兩種可能,即移向無(wú)窮即移向無(wú)窮遠(yuǎn)或無(wú)限接近某一定點(diǎn)遠(yuǎn)或無(wú)限接近某一定點(diǎn)A,因因xn有上界有上界M, 那么那么xn的極限的極限存在且不超過(guò)存在且不超過(guò)M .準(zhǔn)則的含義準(zhǔn)則的含義: 單調(diào)不減且有上界的數(shù)列必有極限單調(diào)不減且有上界的數(shù)列必有極限; 單調(diào)不單調(diào)不

8、增且有下界的數(shù)列必有極限增且有下界的數(shù)列必有極限.利用極限存在準(zhǔn)則利用極限存在準(zhǔn)則II可以證明一些極限的存在性可以證明一些極限的存在性, 并求極限并求極限. 例例2 2.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx limnnxA 設(shè)設(shè),31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx limnnu 故故存存在在. .1211 (1)(1) 122nnnuaauau 而而，11 ()2n

9、nnauuu 因因?yàn)闉?nnauau ,nu則則有有下下界界1 nnnuuu 則則, , 從從而而單單減減；1110,()(1,2,0)lim2nnnnnauuunauu 設(shè)設(shè)且且，求求例例3解解2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx,32AA 于是于是11limlim()2nnnnnauuu 1()2aAAA 則則有有 Aa limnnua 故故lim,0nnuAAa 設(shè)設(shè)解得解得2Aa102 ,0,lim1nnnnnxxxxx 算算012 0, 0, 01 ,0;nnnnnxxxxxn x 解解 因因?yàn)闉榧偌僭O(shè)設(shè)則則由由歸歸納納法法知知 對(duì)對(duì)212(1) 11

10、nnnnnnnnnxxxxxxxxx 由由0 11; limlim11;nnnnxxx 知知, ,0000000101221,1,11,1, ,nnnnnnnnnnnxxxxxxxxn xxxx 若若有有故故時(shí)時(shí)有有單單調(diào)調(diào)減減少少 、有有下下界界，211 lim,limlim2 , 1;1nnxnnxnnnxanxaaaa 設(shè)設(shè)令令得得解解得得 lim1nnx 綜綜上上得得000001021,1,1,1, ,; lim;nnnnnnnnxxxxxxxn xxx 若時(shí) 有故時(shí) 對(duì)若時(shí) 有故時(shí) 對(duì)單調(diào)增加有上界存在單調(diào)增加有上界存在lim; nnx存在存在(1)1sinlim0 xxx)20(,

11、 xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限ACxoBDACoxBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對(duì)對(duì)于于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注10 sintan2xxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0 sin()tan(), sintan2xxxxxxx 當(dāng)當(dāng)- -時(shí)時(shí), ,即即于是于是0 sintan2

12、xxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，類似可得類似可得 sin2xxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，綜上所述綜上所述 sinxRxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， sintan2xxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，注注20sinlim1xxx 的形式特點(diǎn)的形式特點(diǎn):i) 極限呈極限呈 ；0 0型型0sin(1)lim1(2) ii) 中中(1)和和(2)的表達(dá)式必須相同的表達(dá)式必須相同.當(dāng)當(dāng)(1)和和(2)的表達(dá)式不相同時(shí)的表達(dá)式不相同時(shí), 必須作恒等變換湊必須作恒等變換湊(2)與與(1)一樣一樣.注注30sinlim1xxx 的變形形式的變形形式:1limsin1xxx 01limsin0 xxx 區(qū)別區(qū)別001sin1limsinlim11xxxxxx 1l

13、imsin0 xxx sinlim1xxx 缺一不可缺一不可0sin3lim2xxx00sin333sin33limlim32232xxxxxxxx 例例30 tanlimxxx201 coslimxxx 2202sin2limxxx 202sin12lim2()2xxx 20sin112lim222xxx0sin1lim1cosxxxx 0sinlimxaxabxb 一般地一般地0arcsin1. limxxx0arcsinlimxxx解解arcsintx 令令0lim1sinttt 2. lim 2sin ()2nnnxx 為為非非零零有有限限數(shù)數(shù)sin2lim 2sinlim22nnnn

14、nnxxxxx 解解0sinsin3. lim xxxx 002cossinsinsin22lim= limxxxxxxxx 0sin2= lim 2cos222xxxx 221sin4. lim21xxxx 22211sinsin1limlim122121xxxxxxxxx 解解30sintan5. limxxxx 230022sin(cos1)sinsin12 =limlim.24()2xuxxxxxxx 解解 原原式式sin6. limxxx 0sin() limxtttt 解解原原式式:0 x注注意意 正正弦弦的的自自變變量量 不不趨趨向向 ！0sinlim1ttt 01 (1) li

15、msin1; (2) lim1;tanxxxxxx 在下列等式中在下列等式中, 錯(cuò)誤的選項(xiàng)是錯(cuò)誤的選項(xiàng)是( )02sinsin (3) lim1; (4) lim1;xxxxxx (3)(2)exxx )11(lim1(1)nnan 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 考慮考慮 x 取正整數(shù)取正整數(shù) n 且趨于且趨于時(shí)的情形下先證時(shí)的情形下先證 存在存在.1lim(1)nnn 11111(1)2!11121(1)(1)(1)!121112(1)(1)(1).(1)!121nannnnnnnnn

16、nn 類似地類似地,因?yàn)橐驗(yàn)?11 (1,2,1)1kkknnn 1na 且且多了最后一項(xiàng)多了最后一項(xiàng),從而從而 an 單增單增. 對(duì)任意的對(duì)任意的 n 有有!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx 這個(gè)極限值被瑞士歐拉首先用字母這個(gè)極限值被瑞士歐拉首先用字母e(是一個(gè)無(wú)理數(shù)是一個(gè)無(wú)理數(shù), 其值用其值用e = 2.7182818284)來(lái)表示來(lái)表示, 即即1lim(1)nnen ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e

17、11111lim (1)lim (1)lim (1) 1 1 1xxxxxexxx, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e ,1xt 令令exxx 10)1(lim于是于是1lim (1)xxex 等價(jià)形式等價(jià)形式101lim(1)lim(1)txxtxet .)11(limexxx 注注11lim(1)xxex 的形式特點(diǎn)的形式特點(diǎn):i) 極限呈極限呈 ； 1 型型(2)lim(1(1)xe ii) 中中(1)和和(2)的表達(dá)式連同符號(hào)是互為倒數(shù)的表達(dá)式連同符號(hào)是互為倒數(shù).當(dāng)當(dāng)(1)和和(2)的表達(dá)式不互為倒

18、數(shù)時(shí)的表達(dá)式不互為倒數(shù)時(shí), 必須作恒等變換湊必須作恒等變換湊(2)與與(1)互為互為 倒數(shù)倒數(shù).缺一不可缺一不可例例42lim(1) ;xxx 221= lim(1)2xxx 2e 解解2 lim(1)xxx ( 2)21 = lim(1)2xxx 1 lim(1) .2xxx 1lim(1)2xxx 解解例例52 21lim(1)2xxx 2211lim(1)lim(1)22xxxexx 1110lim(1) (1)1xxxxxe e 21200lim(1)lim1xxxxxxe 解法一解法一120lim(1)xxx 解法二解法二原式原式原式原式()lim1( )g xmf xe lim(

19、)0,lim ( )lim( ) ( ),f xg xf x g xm 若若且且則則型非常適用的結(jié)論型非常適用的結(jié)論:為使計(jì)算簡(jiǎn)化為使計(jì)算簡(jiǎn)化, 我們給出我們給出(不證明不證明)上面公式的一個(gè)對(duì)上面公式的一個(gè)對(duì)“1”22 csclim(1)xxx 221()2sin0lim(1)xxxxxe解解原式原式3121lim()23xxxx 解解314= lim(1)23xxx 例例63121lim()23xxxx 4124lim() (31)lim62323xxxxxx 31621lim()23xxxex 例例7 求求.)cos(sinlim11xxxx解解 原式原式 =2)cos(sinlim21

20、1xxxx2)sin1 (lim2xxxelimx)sin1(2xxx22sinx2sin1011. limxxex 1000111limlimlim1ln(1)lnln(1)xxtttetxtet 解解1ln(1)xetxt 令令12. ()lim() , ().tttf xf xxtx 已已知知 求求解解11()lim()lim(1)tttttxf xxtxxtx lim ()lim()ttxxttxtxtx 其其中中1 ( )xf xex 例例7連續(xù)復(fù)利問(wèn)題連續(xù)復(fù)利問(wèn)題設(shè)有一筆初始本金設(shè)有一筆初始本金A0 存入銀行存入銀行, 年利率為年利率為r, 則一年末結(jié)則一年末結(jié)算算時(shí)時(shí), 其本利和

21、為其本利和為100AArA 0(1)Ar 200(1)(1)22 2rrrAAA 20(1)2rA 如果一年分兩期計(jì)息如果一年分兩期計(jì)息, 每期利率為每期利率為1,2r為后一期的本金為后一期的本金, 則一年末本利和為則一年末本利和為且前一期的本利和作且前一期的本利和作如果一年分如果一年分n期計(jì)息期計(jì)息, 每期利率為每期利率為,rn后一期的本金后一期的本金, 則一年末利和為則一年末利和為且前一期的本利和作為且前一期的本利和作為0(1)nnrAAn 令令 , 則表示利息隨時(shí)計(jì)入本金則表示利息隨時(shí)計(jì)入本金. 這樣這樣 t 年末的本利和為年末的本利和為n 0lim(1) nrtrnrAn ( )lim

22、( )nnA tAt 0lim(1)ntnrAn 0rtA e 于是到于是到t年末共結(jié)算年末共結(jié)算nt 期期(每期利率為每期利率為 ) , 其本利和為其本利和為rn0( )(1)ntnrAtAn (1) 已知現(xiàn)值已知現(xiàn)值A(chǔ), 求終值求終值A(chǔ)t ,有復(fù)利公式有復(fù)利公式 0rttAA e (2) 已知終值已知終值A(chǔ)t , 求現(xiàn)值求現(xiàn)值A(chǔ)0 ,有貼現(xiàn)公式有貼現(xiàn)公式(這是利率稱為貼現(xiàn)率這是利率稱為貼現(xiàn)率)0rttAA e 則有如下結(jié)論則有如下結(jié)論:一般地一般地, 設(shè)設(shè)A0為初始本金為初始本金(稱為現(xiàn)在值或現(xiàn)值稱為現(xiàn)在值或現(xiàn)值), 年利率為年利率為r, 按連續(xù)復(fù)利計(jì)算按連續(xù)復(fù)利計(jì)算, t年末的本利和記為

23、年末的本利和記為A, (稱為未來(lái)值或終值稱為未來(lái)值或終值),這種將前一期利息計(jì)入本金再計(jì)算利息的方法稱為復(fù)利這種將前一期利息計(jì)入本金再計(jì)算利息的方法稱為復(fù)利;當(dāng)一年內(nèi)計(jì)息期數(shù)當(dāng)一年內(nèi)計(jì)息期數(shù) 時(shí)的復(fù)利成為連續(xù)復(fù)利時(shí)的復(fù)利成為連續(xù)復(fù)利.n 102. lim(12 )xxxx 2001lim 2()lim(22)2xxxxxx 解解120 lim(12 )xxxxe 3101tan3. lim()1sinxxxx 3311001tantansin lim()lim(1)1sin1sinxxxxxxxxx 因因?yàn)闉?200tansin1sin1cos11limlim1sincos (1sin)2xxxxxxxxxxxx 解解1201tan lim()1sinxxex 214. lim (cos).xxx 2222222111lim(cos)lim(cos)lim(1sin)xxxxxxxxx 2211 lim( sin) 22xxx 而而2121lim(cos)xxex 則則 解解5. 知知220001001lim(),5xcxxex 求求 c.c.220001001lim()5xxx