數(shù)學歸納法證明不等式

1、 1.1.對于數(shù)學中與自然數(shù)命題有關的命題一般對于數(shù)學中與自然數(shù)命題有關的命題一般是不完全歸納法即合情推理得出結論，怎樣來是不完全歸納法即合情推理得出結論，怎樣來判斷結論的正確性？判斷結論的正確性？ 2.2.閱讀教材中的多米諾骨牌游戲并回答：能閱讀教材中的多米諾骨牌游戲并回答：能使所有的牌倒下的條件是什么？使所有的牌倒下的條件是什么？ 兩個基本條件：兩個基本條件： （1）要推倒第一塊牌；）要推倒第一塊牌； （2）第一塊牌倒下能導致后一塊牌倒下，）第一塊牌倒下能導致后一塊牌倒下， （連續(xù)性）（連續(xù)性） 思考:1數(shù)學歸納法的定義數(shù)學歸納法的定義2數(shù)學歸納法適用范圍是什么數(shù)學歸納法適用范圍是什么3數(shù)

2、學歸納法的步驟數(shù)學歸納法的步驟(原理原理)是什么是什么?4數(shù)學歸納法的步驟中關鍵及難點是什么數(shù)學歸納法的步驟中關鍵及難點是什么?閱讀課文，思考下列問題閱讀課文，思考下列問題: :1.數(shù)學歸納法定義：數(shù)學歸納法定義：l證明一個與正整數(shù)證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下有關的命題，可按下列步驟進行：列步驟進行：l(歸納奠基歸納奠基)證明當證明當n取取 時時 命題成立命題成立l(歸納遞推歸納遞推)假設假設第一個值第一個值n0(n0N*)nk(kn0，kN*)時命題成立，時命題成立，證明當證明當nk1時命題也成立時命題也成立 只要完成這兩步驟只要完成這兩步驟, 就可以斷定命題對從就可以斷定命題對從

3、n0開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù) n 都成立。都成立。 2.2.數(shù)學歸納法適用范圍數(shù)學歸納法適用范圍, ,主要用于研究與正整數(shù)有關主要用于研究與正整數(shù)有關的數(shù)學問題。的數(shù)學問題。 3.數(shù)學歸納法的關鍵與難點：數(shù)學歸納法的關鍵與難點： 在在“歸納遞推歸納遞推 ”中中, “證明當證明當n=k+1 時時命題也成立命題也成立”, 必須利用歸納假設必須利用歸納假設：“當當n=k(kn0, kN*時命題成立時命題成立”, 否則便不是否則便不是數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法。 應用數(shù)學歸納法時特別注意：應用數(shù)學歸納法時特別注意：(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與用數(shù)學歸納法證明的對象是與 有關的有關的命題命題(2

4、)在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可可正整數(shù)正整數(shù)nl分析按照數(shù)學歸納法的步驟證明，在由nk到nk1的推證過程中應用了放縮技巧，使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式的常用技巧之一證明(1)當n1時，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立l (2)假設當nk(kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.l 由歸納假設知，上式能被a2a1整除，故當nk1時命題

5、也成立l 由(1)，(2)知，對一切nN*，命題都成立l 例例3求證：求證：an1(a1)2n1能被能被a2a1整除，整除，nN*，aR.l 例例4平面內(nèi)有平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個及以上的圓交于一點，求證：這點，且無三個及以上的圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成個圓將平面分成n2n2(nN*)個區(qū)域個區(qū)域l 分析本題關鍵是弄清第k1個圓與前k個圓的交點個數(shù)，以及這些交點又將第k1個圓分成了多少段弧，每一段弧又是怎樣影響平面區(qū)域的劃分的l 證明(1)當當n1時，時，1個圓將平面分成個圓將平面分成2個區(qū)域，個區(qū)域，命題顯然成立命題顯然成立l (2

6、)假設當假設當nk(kN*)時命題成立，即時命題成立，即k個圓將個圓將平面分成平面分成k2k2個區(qū)域則當個區(qū)域則當nk1時，第時，第k1個圓交前面?zhèn)€圓交前面k個圓于個圓于2k個點，這個點，這2k個點將第個點將第k1個圓分成個圓分成2k段弧，每段弧將各自所經(jīng)過的區(qū)段弧，每段弧將各自所經(jīng)過的區(qū)域一分為二，于是增加了域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這個區(qū)域，所以這k1個圓將平面分成個圓將平面分成k2k22k個區(qū)域，即個區(qū)域，即(k1)2(k1)2個區(qū)域，故當個區(qū)域，故當nk1時，命題也時，命題也成立成立l 由由(1)、(2)可知，對一切可知，對一切nN*，命題都成立，命題都成立l例5是否存在常

7、數(shù)是否存在常數(shù)a，b，c使等式使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對一對一切正整數(shù)切正整數(shù)n成立？證明你的結論成立？證明你的結論l分析先取n1,2,3探求a，b，c的值，然后用數(shù)學歸納法證明對一切的nN*，a，b，c所確定的等式都成立例例4、已知、已知x 1，且，且x 0，n N，n 2求證：求證：(1+x)n1+nx.（2）假設）假設n=k時，不等式成立，即時，不等式成立，即 (1+x)k1+kx當當n=k+1時，因為時，因為x 1 ，所以，所以1+x0，于是，于是左邊左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右

8、邊右邊=1+(k+1)x因為因為kx20，所以左邊右邊，即，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x這就是說，原不等式當這就是說，原不等式當n=k+1時也成立時也成立根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)，原不等式對任何不小于，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)的自然數(shù)n都成立都成立.證明證明： （1）當）當n=2時，左時，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x+x21+2x=右右 n=1時不等式成立時不等式成立l1用數(shù)學歸納法證明12(2n1)(n1)(2n1)時，在驗證n1成立時，左邊所得的代數(shù)式是()lA1 B13lC123 D1234l解析當n1時，2n12113，所以左邊為123.故

9、應選C.練習:l解析當n1時，n34，l所以等式左邊為1234.l 5用數(shù)學歸納法證明某個命題時，左邊為用數(shù)學歸納法證明某個命題時，左邊為12342345n(n1)(n2)(n3)，從從nk到到nk1左邊需增加的代數(shù)式為左邊需增加的代數(shù)式為_l 解析當nk時，左邊12342345k(k1)(k2)(k3)l 當nk1時，左邊12342345k(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)，所以從nk到nk1左式應增加(k1)(k2)(k3)(k4)(2)數(shù)學歸納法證明整除問題：數(shù)學歸納法證明整除問題：例例1、用數(shù)學歸納法證明、用數(shù)學歸納法證明: 當當n為正偶數(shù)時為正偶數(shù)時,xn-yn

10、能被能被x+y整除整除.證證:(1)當當n=2時時,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 題成立題成立.(2)假設當假設當n=2k時時,命題成立命題成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.則當則當n=2k+2時時,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即當即當n=2k+2時命題成立時命題成立.由由(1)、(2)知原命題對一切正偶數(shù)均成立知原命題對一切正偶數(shù)均

11、成立.例例2、用數(shù)學歸納法證明、用數(shù)學歸納法證明: 能被能被8 整除整除.)( 1325*1NnAnnn證證:(1)當當n=1時時,A1=5+2+1=8,命題顯然成立命題顯然成立.(2)假設當假設當n=k時時,Ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍數(shù)的倍數(shù).13251kkkA那么那么:) 13(45) 13(4) 1325(5132511111kkkkkkkkAA因為因為Ak是是8的倍數(shù)的倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是也是8的倍數(shù)的倍數(shù),所以所以Ak+1也是也是8的倍數(shù)的倍數(shù),即當即當n=k+1時時,命題成立命題成立.由由(1)、(2)知對一切正整數(shù)知對一切正整數(shù)n

12、, An能被能被8整除整除.例例3、求證、求證:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.證證:(1)當當n=1時時, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,從而命題成立從而命題成立.(2)假設當假設當n=k時命題成立時命題成立,即即x3k-1+x3k-2+1能被能被 x2+x+1整除整除則當則當n=k+1時時,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因為因為x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所

13、以上式右邊能被所以上式右邊能被x2+x+1整除整除.即當即當n=k+1時時,命題成立命題成立.根據(jù)根據(jù)(1)、(2)知知,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,命題成立命題成立.例例6、平面內(nèi)有、平面內(nèi)有n (n 2)條直線，任何兩條都不平行，任何條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過同一點，問交點的個數(shù)三條不過同一點，問交點的個數(shù) 為多少為多少?并證明并證明.)(nf2)1()( nnnf當當n=k+1n=k+1時：第時：第k+1k+1條直線分別與前條直線分別與前k k條直線各交于條直線各交于一點，共增加一點，共增加k k個點，個點，由由1 1）、）、2 2）可知，對一切）可知，對一切nNnN原命題均

14、成立。原命題均成立。證明：證明：1 1）n=2n=2時：兩條直線交點個數(shù)為時：兩條直線交點個數(shù)為1,1, 而而f(2)= f(2)= 2 2(2-1)=1, (2-1)=1, 命題成立。命題成立。 21 k+1 k+1條直線交點個數(shù)條直線交點個數(shù)=f(k)+k= k(k-1)+k=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即當即當n=k+1n=k+1時命題仍成立。時命題仍成立。212121212 2）假設）假設n=k(kNn=k(kN,k2,k2) )時，時，k k條直線交點個數(shù)為條直線交點個數(shù)為 f(k)= k(k-1),f(k)= k(k-1),21(3)數(shù)學歸納法證明幾何問題：數(shù)學歸納法證明幾何