位值原理與數(shù)的進(jìn)制教師版

1、5-7位置原理與數(shù)的進(jìn)制教學(xué)目標(biāo)本講是數(shù)論知識體系中的兩大基本問題，也是學(xué)好數(shù)論知識所必須要掌握的知識要點(diǎn)。通過本講的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生理解并熟練應(yīng)用位值原理的表示形式，掌握進(jìn)制的表示方法、各進(jìn)制間的互化以及二進(jìn)制與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用。并學(xué)會在其它進(jìn)制中位值原理的應(yīng)用。從而使一些與數(shù)論相關(guān)的問題簡單化。知識點(diǎn)撥一、位值原理位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。位值原理的表達(dá)形式：

2、以六位數(shù)為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。二、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1

3、×21+0×20。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后加減；同級運(yùn)算，先左后右；有括號時先計(jì)算括號內(nèi)的。進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：如右圖所示。十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制八進(jìn)制例題精講模塊一、位置原理【例 1】 某三位數(shù)和它的反序數(shù)的差被99除，商等于_與_的差；【解析】 本題屬于基礎(chǔ)型題型。我們不妨設(shè)abc。(-）÷99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)÷99=

4、(99a-99c)÷99=a-c；【鞏固】 與的差被9除，商等于_與_的差；【解析】 (-）÷9=(10a+b)-(10b+a)÷9=(9a-9b)÷9=a-b；【鞏固】 與的和被11除，商等于_與_的和。【解析】 (+）÷11=(10a+b)+(10b+a)÷11=(11a+11b)÷11=a+b?！纠?2】 (美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換，得到一個新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？【解析】 設(shè)原來的兩位數(shù)為，交換后的新的兩位數(shù)為，根

5、據(jù)題意，原兩位數(shù)最大時，十位數(shù)字至多為9，即，原來的兩位數(shù)中最大的是94【鞏固】 將一個四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù)(這個數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)大8802求原來的四位數(shù)【解析】 設(shè)原數(shù)為，則新數(shù)為，根據(jù)題意，有，推知，得到，原數(shù)為1099【鞏固】 如果一個自然數(shù)的各個數(shù)碼之積加上各個數(shù)碼之和，正好等于這個自然數(shù)，我們就稱這個自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個巧數(shù)，因?yàn)?×9(99)99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。請你寫出所有的巧數(shù)。【解析】 設(shè)這個巧數(shù)為，則有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。滿足條件的巧數(shù)有：

6、19、29、39、49、59、69、79、89、99?！纠?3】 (第五屆希望杯培訓(xùn)試題)有3個不同的數(shù)字，用它們組成6個不同的三位數(shù)，如果這6個三位數(shù)的和是1554，那么這3個數(shù)字分別是多少？【解析】 設(shè)這六個不同的三位數(shù)為，因?yàn)?，它們的和是：，所以，由于這三個數(shù)字互不相同且均不為0，所以這三個數(shù)中較小的兩個數(shù)至少為1，2，而，所以最大的數(shù)最大為4；又，所以最大的數(shù)大于，所以最大的數(shù)為4，其他兩數(shù)分別是1，2【鞏固】 (迎春杯決賽)有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)【解析】 設(shè)三個數(shù)字分別為a、b、c，那么6個不同的三位數(shù)的和為

7、： 所以，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位數(shù)與個位數(shù)之和一定，故個位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時十位數(shù)為，所以所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)為【鞏固】 用1，9，7三張數(shù)字卡片可以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？【解析】 卡片“9”倒過來看是“6”。作為卡片“9”，由第3題的結(jié)果可知，1，9，7可組成的六個不同的三位數(shù)之和是（197）×222；同理，作為卡片“6”，1，6，7可組成的六個數(shù)之和是（167）×222。這12個數(shù)的平均值是：（197）（167）×222÷12573.5。【鞏固】 從19九個數(shù)

8、字中取出三個，用這三個數(shù)可組成六個不同的三位數(shù)。若這六個三位數(shù)之和是3330，則這六個三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？【解析】 設(shè)這三個數(shù)字分別為a、b、c。由于每個數(shù)字都分別有兩次作百位、十位、個位，所以六個不同的三位數(shù)之和為222×（abc）3330，推知abc15。所以，當(dāng)a、b、c取1、5、9時，它們組成的三位數(shù)最小為159，最大為951?！眷柟獭?a，b，c分別是中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個三位數(shù)，如果其中五個三位數(shù)之和是2234，那么另一個三位數(shù)是幾？【解析】 由，組成的六個數(shù)的和是因?yàn)椋匀?，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則

9、所求數(shù)為，符合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意所以，只有時符合題意，所求的三位數(shù)為652【例 4】 在兩位自然數(shù)的十位與個位中間插入09中的一個數(shù)碼，這個兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)?！窘馕觥?因?yàn)樵瓋晌粩?shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的10倍，所以原兩位數(shù)的個位數(shù)只能是0或5。如果個位數(shù)是0，那么無論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個位數(shù)是5。設(shè)原兩位數(shù)是，則b=5，變成的三位數(shù)為ab5，由題意有100a10b5（10a5）×9，化簡得ab4。變

10、成的三位數(shù)只能是405，315，225，135。【鞏固】 一輛汽車進(jìn)入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時后看到里程碑上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個數(shù)字中間多一個0的三位數(shù)，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù)?！窘馕觥?設(shè)第一個2位數(shù)為10a+b；第二個為10b+a ；第三個為100a+b ；由題意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化簡可以推得b=6a，0a,b9，得a=1，b=6；即每小時走61-16=45 ；（601-106)÷4

11、5=11；再行11小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù)。【鞏固】 將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)現(xiàn)有一個四位數(shù)碼互不相同，且沒有0的四位數(shù)，它比新數(shù)中最大的小3834，比新數(shù)中最小的大4338求這個四位數(shù)【解析】 設(shè)組成這個四位數(shù)的四個數(shù)碼為， ()，則有，可得，則，且M的四位數(shù)字分別為1、9，由于的個位數(shù)字為7，所以，中有一個為7，但，所以不能為7，故，【例 5】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以a1， 則111b11c推知b2；進(jìn)而推知c3，d=4所以=1234?！眷柟獭?(200

12、8年清華附中考題)已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少【解析】 設(shè)這樣的四位數(shù)為，則，即，則或2若，則，得，；若，則，由于，所以，所以，故為9，則為偶數(shù)，且，故，由為偶數(shù)知，；所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個，其和為：【例 6】 有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，則可得到一個三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個數(shù)碼3，則可得到一個四位數(shù)將這兩個三位數(shù)和一個四位數(shù)相加等于求原來的兩位數(shù)【解析】 設(shè)原來的兩位數(shù)是，則得到的兩個三位數(shù)分別為和，四位數(shù)為，由題知，即，故【鞏固】 如果把數(shù)碼5加寫在某自

13、然數(shù)的右端，則該數(shù)增加，這里A表示一個看不清的數(shù)碼，求這個數(shù)和A?！窘馕觥?設(shè)這個數(shù)為x，則10x+5-x=，化簡得9x=，等號右邊是9的倍數(shù)，試驗(yàn)可得A=1，x=1234?！眷柟獭?某八位數(shù)形如，它與3的乘積形如，則七位數(shù)應(yīng)是多少？【解析】 設(shè)，則，根據(jù)題意，有，得，所以【例 7】 一個六位數(shù)，如果滿足，則稱為“迎春數(shù)”(例如，則102564就是“迎春數(shù)”)請你求出所有“迎春數(shù)”的總和【解析】 由于是把六位數(shù)的末位調(diào)到首位構(gòu)成了新六位數(shù)，所以不妨把看成一個整體，設(shè)，則根據(jù)位值原理可知“迎春數(shù)”是，并滿足關(guān)系式：對等式化簡得：所以：因?yàn)槭俏逦粩?shù)，是一位數(shù)，所以可以為4，5，6，7，8，9而“迎

14、春數(shù)”，那么，所有“迎春數(shù)”的總和是：【鞏固】 (2008年“華杯賽”決賽)設(shè)六位數(shù)滿足，請寫出這樣的六位數(shù)【解析】 令，則：，所以，可得此時可將，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)，可得當(dāng)時，；當(dāng)時，只有這兩個數(shù)滿足條件由于將可能的值一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)有些麻煩，可以將其進(jìn)行如下變形后再進(jìn)行：，所以，則是整數(shù)設(shè)其為，則是整數(shù)，所以是999999的約數(shù)當(dāng)，2，3，4，5，6，7，8，9時，分別為9，19，29，39，49，59，69，79，89，由容易知道其中只有9和39是999999的約數(shù)，此時分別為1和4這樣的六位數(shù)有111111和102564【例 8】 記四位數(shù)為，由它的四個數(shù)字

15、a,b,c,d組成的最小的四位數(shù)記為，如果，那么這樣的四位數(shù)共有_個【解析】 得到，所以如果、組成的四位數(shù)末位數(shù)字不是0，那么等于將的千位數(shù)字加1，個位數(shù)字減1，反過來等于的千位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，所以為，與比較，和位置沒有換，交換的是和，表示為，可以得到等式，即所以和的取值組合，只有2和1，3和2，9和8，共8種情況對于其中任意一種組合，由于是由四個數(shù)字組成的最小的四位數(shù)，分別考慮、中有0的情況(可能兩個都為0；若只有一個0，則，)；以及、都不為0的情況(此時)，可知兩種情況下各有3種可能，共6種可能：，比如以，為例，可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，3444

16、4這6個數(shù)根據(jù)乘法原理，滿足條件的四位數(shù)一共有種如果、組成的最小的四位數(shù)末位數(shù)字是0，顯然的百位、十位都是0，此時、無法組成其它的四位數(shù)，不合題意由于每一個對應(yīng)一個，所以滿足條件的四位數(shù)共有48個【例 9】 將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)()將這24個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在30004000之間求這24個四位數(shù)中最大的那個【解析】 從題中可以看出，這4個數(shù)都不為0設(shè)這4個不同的數(shù)從小到大依次為a,b,c,d，它們組成的24個四位數(shù)中，第二小的是，是5的倍數(shù)，又不

17、為0，所以它們組成的24個四位數(shù)中，第二大的是，是2的倍數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以是偶數(shù)，而不是4的倍數(shù)由是偶數(shù)且知b為4或2若為2，那么，但此時是4的倍數(shù)，矛盾，所以，又不是4的倍數(shù)，所以為1或3它們組成的24個四位數(shù)中，第五小的為 (最小的5個依次為，)，第五大(第二十小)的為 (最大的5個依次為，)，所以得到的四位數(shù)的千位為3由于，所以，那么減法算式中百位要向千位借位，所以，故又，所以，那么，它們組成的24個四位數(shù)中最大的為，即7543模塊二、數(shù)的進(jìn)制【例 10】 _； ； ； _； 若，則_【解析】 對于這種進(jìn)位制計(jì)算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制： ； 可轉(zhuǎn)

18、化成十進(jìn)制來計(jì)算：；如果對進(jìn)制的知識較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是2，可得； 本題涉及到3個不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個進(jìn)制下統(tǒng)一到十進(jìn)制比較適宜：； 十進(jìn)制中，兩個數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整原式；若，則，經(jīng)試驗(yàn)可得【鞏固】 ；在八進(jìn)制中，_；在九進(jìn)制中，_【解析】 本題是進(jìn)制的直接轉(zhuǎn)化：；原式；原式【例 11】 在幾進(jìn)制中有？【解析】 利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0，也就是說已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位所以說進(jìn)位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3

19、，2中的一個但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進(jìn)制另外，由于，因?yàn)?，也就是說不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6【鞏固】 在幾進(jìn)制中有？【解析】 注意，因?yàn)?，所以一定是不?0就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到16324，所以再注意尾數(shù)分析，而16324的末位為4，于是進(jìn)到上一位所以說進(jìn)位制為21的約數(shù)，又小于10，也就是可能為7或3因?yàn)槌霈F(xiàn)了6，所以只能是7【鞏固】 算式是幾進(jìn)制數(shù)的乘法？【解析】 注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個位數(shù)字為，但是現(xiàn)在為4，說明進(jìn)走，所以進(jìn)位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2因?yàn)樵街杏袛?shù)字5，所以不可能為4、

20、2進(jìn)位，而在十進(jìn)制中有，所以在原式中不到10就有進(jìn)位，即進(jìn)位制小于10，于是原式為8進(jìn)制【例 12】 將二進(jìn)制數(shù)(11010.11)2 化為十進(jìn)制數(shù)為多少？【解析】 根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法，(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75?！眷柟獭?二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少？【解析】 根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二八對照表：八進(jìn)制數(shù)01234567二進(jìn)制數(shù)00000101001110010111011

21、1從后往前取三合一進(jìn)行求解，可以得知。【鞏固】 將二進(jìn)制數(shù)11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)?！窘馕觥?在轉(zhuǎn)換為高于9進(jìn)制的數(shù)時，遇到大于9的數(shù)用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。根據(jù)取四合一法，二進(jìn)制11101001.1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制為E9.B?！眷柟獭?某數(shù)在三進(jìn)制中為，則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第l位數(shù)字是幾? 【解析】 由于32=9，所以由三進(jìn)制化為9進(jìn)制需要取二合一。從后兩個兩個的取，取至最前邊為12，用位值原理將其化為1×31+2×30=5，所以化為9進(jìn)制數(shù)后第一位為5.【例 13】 現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，1

22、6克的砝碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體？【解析】 因?yàn)轫来a的克數(shù)恰好是1，2，4，8，16，而二進(jìn)位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝碼盤上放1克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位(從右數(shù))是1，放2克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是1，放16克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第五位是1，不放砝碼就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23222120=(31)10，這就是說1至31的每個整數(shù)(克)均能稱出。所以共可以稱出31種不同重量的物體。【例 14】 在6進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少? 【

23、解析】 (abc)6 =a×62b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3，5)=1所以，b=0或5當(dāng)b=0，則35a=80c；則7a=16c；(7，16)=1，并且a、c0，所以a=16，c=7。但是在6,9進(jìn)制，不可以有一個數(shù)字為16當(dāng)b=5，則35a=3×5+80c；則7a=3+16c；mod 7后，3+2c0。所以c=2或者2+7k(k為整數(shù))因?yàn)橛?進(jìn)制，所

24、以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是c=2；35a=15+80×2，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212。這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為212。【鞏固】 在7進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【解析】 首先還原為十進(jìn)制：；于是；得到，即因?yàn)槭?的倍數(shù)，也是8的倍數(shù)，所以也應(yīng)該是8的倍數(shù)，于是或8但是在7進(jìn)制下，不可能有8這個數(shù)字于是，則所以為5的倍數(shù)，為3的倍數(shù)所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以于是，這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為248【鞏固】 一個人的年齡用十進(jìn)制數(shù)和三進(jìn)制數(shù)表示，若在十進(jìn)制數(shù)末尾添個“0”就是三進(jìn)制數(shù)，求此人的年齡【解析】 設(shè)這個人為歲，得，又，解得，不合題意，所以這個人的年齡不可能是一位數(shù)設(shè)這個人是歲，由題意得：因?yàn)椋?，即又因?yàn)槭侨M(jìn)制數(shù)，都小于3，所以，所以，這個人為21歲設(shè)這個人為歲，由題意有，因?yàn)椋约从?、都小?，所以上述等式不成立所以這個人的年齡不可能是三位數(shù)綜上可知這個人的年齡是21歲