陜師大《大學(xué)物理學(xué)》(上冊(cè))習(xí)題解答

1、大 學(xué) 物 理 學(xué) (上冊(cè) 習(xí)題解答陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)物理教學(xué)組2006-6-26第 2章 運(yùn)動(dòng)學(xué)2-1 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng), 其運(yùn)動(dòng)方程為 222t t x -+= , x 以 m 計(jì), t 以 s 計(jì)。 試求:(1質(zhì)點(diǎn)從 t = 0到 t = 3 s時(shí)間內(nèi)的位移; (2質(zhì)點(diǎn)在 t = 0到 t = 3 s時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程解 (1 t = 0時(shí), x 0 = 2 ; t =3時(shí), x 3 = -1; 所以, m 3 0( 3(-=-=t x t x x (2本題需注意在題設(shè)時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了變化。對(duì) x 求極值,并令022d d =-=t tx可得 t = 1s ,即質(zhì)

2、點(diǎn)在 t = 0到 t = 1s內(nèi)沿 x 正向運(yùn)動(dòng),然后反向運(yùn)動(dòng)。 分段計(jì)算m 1011=-=t t x x x , m 4 1( 3(2-=-=t x t x x 路程為 m 521=+=x x s 2-2 已知質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為 32262t t x -+=。試求:(1質(zhì) 點(diǎn)在最初 4s 內(nèi)位移; (2質(zhì)點(diǎn)在最初 4s 時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程 解 (1 t = 0時(shí), x 0 = 2 ; t = 4時(shí), x 4 = -30 所以,質(zhì)點(diǎn)在最初 4s 內(nèi)位移的大小 m 3204-=-=x x x(2由0612d d 2=-=t t tx可求得在運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)方向的時(shí)刻為 t

3、 1 = 2 s , t 2 = 0 (舍去 則 m 0. 8021=-=x x x , m 40242-=-=x x x所以,質(zhì)點(diǎn)在最初 4 s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為 m 4821=+=x x s2-3 在星際空間飛行的一枚火箭,當(dāng)它以恒定速率燃燒它的燃料時(shí),其運(yùn)動(dòng)方程可 表示為 1ln(1bt t b u ut x -+=,其中 m/s100. 33=u 是噴出氣流相對(duì)于火箭體的噴 射速度, s /105. 73-=b 是與燃燒速率成正比的一個(gè)常量。試求:(1 t = 0時(shí)刻,此火 箭的速度和加速度; (2 t = 120 s時(shí),此火箭的速度和加速度解 1l n (d d bt u t x v

4、 -=; btubt v a -=1d d (1 t = 0時(shí) , v = 0 , 233s . m 5. 221105. 7103-=a (2 t = 120s時(shí), 120105. 71ln(10333-=-v 13s . m 91. 6-=2333s . m 225120105. 71105. 7103-=-=a2-4 如圖所示,湖中有一只小船,岸上有人用繩跨過(guò)定滑輪拉船靠岸。設(shè)滑輪距水 面高度為 h , t = 0時(shí),船與滑輪間的繩長(zhǎng)為 l 0 。試求:當(dāng)人以勻速 v 0拉繩時(shí),船在距岸邊 x 處的速度和加速度。 解 (1 設(shè)任意時(shí)刻 t ,繩長(zhǎng)為 l ,由題意 tlv d d 0-=;

5、船到岸邊的水平距離為 x ,則 22h l x -=小船的運(yùn)動(dòng)速度為 tl h l l h l t t x v d d d d d d 2222-=-=022v x h x +-=負(fù)號(hào)表示小船在水面上向岸靠近。小船的運(yùn)動(dòng)速度為 (d d d d 022v hl lt t v a -=3202022d d (d d xv h t lv h l l l -=-=負(fù)號(hào)表示加速度的方向指向岸邊,小船在水面上加速靠岸。2-5 一升降機(jī)以加速度 2s m 22. 1-上升,當(dāng)上升速度為 1s m 44. 2-時(shí),有一螺絲從 升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距 2.74 m 。計(jì)算:(1螺絲從升

6、降機(jī)的天花板落到底面所需要的時(shí)間; (2螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離 .解 (1以地面為參考系,取 Oy 坐標(biāo)軸向上 ,升降機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為20121at t v y += 螺絲的運(yùn)動(dòng)方程為 20221gt t v h y -+=當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有 y 1 = y 2 , 即 20202121gt t v h at t y -+=+所以 s 705. 02=+=ag ht (2螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為 m 716. 021202=+-=-=gt t v y h d 2-6 已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 j i r 2(22t t -+= (SI。 試求:(1 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌 跡; (

7、2 t = 1s和 t = 2 s時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)的位置矢量; (3 1s 末和 2 s末質(zhì)點(diǎn)的速度; (4質(zhì)點(diǎn) 的加速度。解 (1質(zhì)點(diǎn)在 x 、 y 方向運(yùn)動(dòng)方程的分量形式為 x = 2t , y = 2-t 2 消去時(shí)間 t , 可得 2412x y -= 其運(yùn)動(dòng)軌跡為一拋物線(2 s 1=t 時(shí) j i r +=21; s 2=t 時(shí) j i r 242-=v 0(3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度 v j i rt t22d d -=s 1=t 時(shí) v 1j i 22-=即 m /s 221=v , o 145-=(1為 v 1與 x 軸的夾角 s 2=t 時(shí) v 2j i 42-=即 m /s 522=v

8、, 6263o 2'-=(2為 v 2與 x 軸的夾角(4質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度 j va 2d d -=t2-7 一質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面上運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為 j i r 222 310(t t += 試求:(1質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程; (2質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度。解 (1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式為 2310t x +=, 22t y = 消去時(shí)間參數(shù) t ,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程 2023-=x y(2速度 v j i t t 46+= 加速度 j i a 46+=2-8 一質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面上運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為 j i r 1. 0cos(13 1. 0sin(3t t -+= 試求質(zhì)點(diǎn)在 5s 時(shí)的速

9、度和加速度 。解 速度 v j i r1. 0sin(3. 0 1. 0cos(3. 0d d t t t+=加速度 (j i r a 1. 0c o s (1. 03 1. 0s i n (1. 03d d 2222t t t +-=t = 5 s時(shí)的速度為 j v s m 3. 0(1-= 加速度 i a s m 03. 0(22-=2-9 一質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)開始沿拋物線 y = 0.5 x 2 運(yùn)動(dòng),它在 Ox 軸上分速度 1s m 0. 4-=x v 為一恒量,試求:(1質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程; (2質(zhì)點(diǎn)位于 x = 2 m處的速度和 加速度 。解 (1因 1s m 0. 4-=x v 為常數(shù),

10、故 a x = 0 。當(dāng) t = 0時(shí), x = 0 ,可得質(zhì)點(diǎn)在 x 方 向的運(yùn)動(dòng)方程為 t x 4=又由質(zhì)點(diǎn)的拋物線方程,有 28t y =所以 j i r 284t t += (2任意時(shí)刻 j i r v t t 164d d +=; j t16d d =v a 由 t x 4=和 x = 2,可得 t = 0.5 s所以,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于 x = 2.0 m時(shí),其速度 j i v 84+= ,加速度 j a 16=2-10 一汽艇以速率 0v 沿直線行駛。發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后,汽艇因受到阻力而具有與速度 v 成正比且方向相反的加速度 kv a -=,其中 k 為常數(shù)。試求發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后, (1任意時(shí)刻

11、t 汽艇的速度; (2汽艇能滑行的距離。解 本題注意根據(jù)已知條件在計(jì)算過(guò)程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q。(1由 kv tva -=d d , t k v vt vv -=00d d 得 kt v v -=e 0(2因?yàn)閗v svv t s s v t v -=d d d d d d d d , s k v sv -=0d d 0所以 ks v =0 發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后汽艇能滑行的距離為 k v s /0=2-11 一物體沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng), 其加速度為 2kv a -=, k 是常數(shù)。 在 t = 0時(shí), 0v v =,0=x 。試求(1速率隨坐標(biāo)變化的規(guī)律; (2坐標(biāo)和速率隨時(shí)間變化的規(guī)律。解 本題注意

12、變量變換。(1因?yàn)?2d d d d d d d d kv xvv t x x v t v a -=; x k v vx vv -=0d d 0 所以 kx v v -=e 0(2因?yàn)?2d d kv t va -=, t k v v t vv -=02d d 0 可得 100+=kt v v v又因?yàn)?txv d d =, t kt v v t v x tt xd 1d d 000+=所以 1ln(10+=kt v kx 2-12 一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng),其速度大小 238t v +=, (SI 制 。質(zhì)點(diǎn)的初始位 置在 x 軸正方向 10 m處,試求:(1 s 2=t 時(shí),質(zhì)點(diǎn)的加速度

13、; (2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程; (3第二秒內(nèi)的平均速度。解 根據(jù)題意可知, 0=t 時(shí), 10ms 8-=v , m 100=x (1質(zhì)點(diǎn)的加速度 t tva 6d d =s 2=t 時(shí), 2ms 12-=a(2 由 t t t v x d 38(d d 2+= 兩邊積分t t x txd 38(d 0210+=因此,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 3810t t x +=(3第二秒內(nèi)的平均速度為 11212s . m 15-=-=t t x x t x 2-13 質(zhì) 點(diǎn) 作 圓 周 運(yùn) 動(dòng) , 軌 道 半 徑 r = 0.2 m , 以 角 量 表 示 的 運(yùn) 動(dòng) 方 程 為22110t t += (SI 。試

14、求:(1第 3s 末的角速度和角加速度; (2第 3s 末的切向加速度和法向加速度的大小。解 (1因?yàn)?22110t t += 故 t t +=10d /d , =t d /d以 t = 3s代入, 1s ad r 13-= , 2s rad -=(2 2s m 2. 0-=r a t , 222s m 8. 33-=r a n2-14 一質(zhì)點(diǎn)在半徑為 r = 0.10m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為 342t +=。 (1在 t = 2.0s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度各為多少?(2 t 為多少時(shí),法向加速度和切向 加速度的量值相等?解 (1由于 342t +=,則 212d d t t =,

15、 t t24d d = 法向加速度 42n 4. 14t r a = 切向加速度 t r a t 4. 2=t = 2.0s時(shí), 2222ns m 1030. 2-=r a st , 22s m 8. 4d d -=tra st t(2要使 t a a =n , 則有 t r t r 24 12(22=所以 t = 0.55 s2-15 一汽車發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸的轉(zhuǎn)速,在 12 s內(nèi)由 20 r/s均勻地增加到 45 r/s 。試求: (1發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度;(2在這段時(shí)間內(nèi),曲軸轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解 (1由于角速度 n 2=(n 為單位時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)數(shù) ,根據(jù)角加速度的定義t d d =,在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中角

16、加速度為 200s r a d 1. 13 (2-=-=-=tn n t (2發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 t n n t t t (2210020+=+=+= 在 12 s內(nèi)曲軸轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為 390220=+=t n n N 圈 2-16 某 種 電 機(jī) 啟 動(dòng) 后 轉(zhuǎn) 速 隨 時(shí) 間 變 化 的 關(guān) 系 為1(20te -=, 式 中10s rad 0. 9-=。求:(1 t = 6 s時(shí)的轉(zhuǎn)速; (2 角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律; (3 啟動(dòng)后 6 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。解 (1根據(jù)題意,將 t = 6 s代入,即得1020s 6. 895. 0 e 1(-=-=t(2角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為 2

17、220s e 5. 4e 2d d -=ttt (3 t = 6 s時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 r a d 9. 36d e 1(d 2660=-=-t t t則 t = 6 s時(shí)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) 87. 52=N 圈2-17 半徑為 r = 0.50m 的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi), 其角速度與時(shí)間的平方成正比, 在 t = 2 s時(shí),測(cè)得輪緣上一點(diǎn)的速度值為 1s m 0. 4-。求:(1該輪在 t = 0.5s的角速度, 輪緣上一點(diǎn)的切向加速度和總加速度; (2該點(diǎn)在 2s 內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。解 由題意 2kt =,因 R = v , 可得比例系數(shù) 222=rtvt k 所以 22 (t t =(1 則

18、t = 0.5s時(shí),角速度為 12s rad 5. 02-='=t 角加速度 2s rad 24d d -='=t t 切向加速度 2s m 1-=r a t總加速度 n 2n e e a a a r r t t +=+= 2222s m 01. 1 ( (-=+=r r a(2 在 2 s內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度 rad 33. 532d 2d 3220200=-t t t t 2-18 一質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)以順時(shí)針?lè)较蜓匕霃綖?2 m 的圓形軌道運(yùn)動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)的 角速度與時(shí)間的平方成正比,即 2k t =(SI 制 。式中 k 為常數(shù)。已知質(zhì)點(diǎn)在第 2 s 末的 速度為 32 m /

19、s 。試求 t = 0.5 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解 首先確定常數(shù) k 。已知 t = 2 s時(shí), v = 32 m/s , 則有 322s 4-=Rtv t k 故 24t = , 24Rt R v =, Rt tva t 8d d =當(dāng) t = 0.5 s 12s . m 24-=Rt v , 2s . m 88-=Rt a t , 22s . m 2-=Rv a n 222s . m 25. 8-=+=n t a a a , o 10. 14tan =-tna a 2-19 由山頂上以初速度 v 0水平拋出一小球, 若取山頂為坐標(biāo)原點(diǎn), 沿 v 0方向?yàn)?x 軸 正方向,豎直向下為 y

20、 軸正方向,從小球拋出瞬間開始計(jì)時(shí)。試求:(1小球的軌跡方程; (2在 t 時(shí)刻,小球的切向加速度和法向加速度。解 (1小球在 x 軸作勻速直線運(yùn)動(dòng) t v x 0=, y 軸上作自由落體 221gt y = 上述兩方程聯(lián)立消 t , 可得小球的軌跡方程 2202x v g y =(2 0v v x = ,gt v y =t 時(shí)刻,小球的速率 222022t g v v v v y x +=+=t 時(shí)刻,小球的切向加速度 22202d d tg v t g tva t +=因?yàn)?22n t a a g a +=,所以,法向加速度 222022tg v g v a g a t n +=-=2-2

21、0 已知聲音在空氣中傳播的速率為 344 m/s 。當(dāng)正西方向的風(fēng)速為 30 m/s時(shí), 聲音相對(duì)于地面向東、向西和向北傳播的速率各是多大?解 m/s301=v ,m/s3442=v向東傳播的聲音的速率 m/s3743443021E =+=+=v v v 向西傳播的聲音的速率 m/s3143034412=-=-=v v v W 向北傳播的聲音的速率 m /s 34330344222122=-=-=v v v N2-21 一架飛機(jī)從 A 處向東飛到 B 處,然后又向西飛回到 A 處。 已知 A 、 B 間的距離為 l ,空氣相對(duì)地面的速率為 u ,飛機(jī)相對(duì)空氣的速率 v 保持不變。試證:(1假定

22、空氣是靜止的(即 u =0 ,飛機(jī)往返飛行時(shí)間為 v l t '=21; (2假定空氣的速度方向向東,飛機(jī)往返飛行時(shí)間為 2222uv v l t -''=; (3假定空氣的速度方向向北,飛機(jī)往返飛行的時(shí)間為 2232uv l t -'=。試證:由速度關(guān)系 v = u + v' (1 u =0時(shí),飛機(jī)往返飛行時(shí)間為 v lv l v l t '='+'=21 (2空氣相對(duì)地面的速度為 u 向東,從 A B 所需時(shí)間為 uv l+' 從 B A 所需時(shí)間為uv l-' 所以,飛機(jī)往返飛行時(shí)間為 2222u v v l

23、 u v l u v l t -''=-'+'=(3空氣相對(duì)地面的速度為 u 向北,如圖 2-21所示, 從 A B,飛機(jī)相對(duì)地面的速度為 22u v v -'=;從 B A飛機(jī)相對(duì)地面的速度的大小 與從 A B等值,但方向相反。所以,飛機(jī)往返飛行的時(shí)間為22322uv l vl t -'=vv '( a Avv 'u( b B習(xí)題 2-21第 3章 牛頓定律及其內(nèi)在隨機(jī)性3-1 一木塊能在與水平面成 角的斜面上勻速下滑。若使它以速率 v 0沿此斜面向上滑 動(dòng),試證明它能沿該斜面向上滑動(dòng)的距離為 v 02/(4g sin 。解 選

24、定木塊為研究對(duì)象,取沿斜面向上為 x 軸正向,下滑 0sin f =-F mg (1 上滑 ma F mg =-f sin (2 由式(2知,加速度為一常量,有as v v 2202+= (3解上述方程組,可得木塊能上滑的距離 sin 42220g v a v s =-= 3-2 在一水平直路上,一輛車速 1h km 90-=v 的汽車的剎車距離為 s = 35 m 。如果 路面相同,只是有 1:10的下降斜度,這輛汽車的剎車距離將變?yōu)槎嗌?解: 在水平路上 k 為定值,則 ma mg k =- ,而 sv a 22-=所以 gsv k 22=設(shè)斜面夾角為 ,剎車距離為 s ',加速度

25、為 a ',則 a m mg mg k '=-cos sin所以 cos sin (2222k g v a v s -='-=' 代入已知數(shù)值,注意 sin = 0.1 ,可得 m 5. 39='s3-3 如圖所示,質(zhì)量 m = 0.50kg的小球掛在傾角 o30=的光滑斜面上。 (1當(dāng)斜面以加速度 a = 2.0m/s2水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí),繩中的張力 及小球?qū)π泵娴恼龎毫Ω魇嵌啻?(2當(dāng)斜面的加速度至少為 多大時(shí),小球?qū)⒚撾x斜面?解 :(1對(duì)小球 x 向: ma N T =-sin cos y 向: 0cos sin =-+mg N T 可得N 32. 3

26、 30sin 8. 930cos 2(5. 0 sin cos (o o=+=+=g a m T N 75. 3 30sin 230cos 8. 9(5. 0 sin cos (oo=+=+=a g m N 小球?qū)π泵娴膲毫?N 75. 3='N NmgNT上滑fmg N 下滑mg N(2小球剛要脫離斜面時(shí) N = 0,則 ma T =cos , mg T =sin 由此二式可解得 2o s m/0. 1730tan /8. 9tan /=g a3-4 在水平面上一輛汽車以速率 v 行駛, 當(dāng)汽車與前面一堵墻相距為 d 時(shí), 司機(jī)才發(fā)現(xiàn) 自己必須制動(dòng)或拐彎。設(shè)車輛與地面之間的靜摩擦系數(shù)

27、為 s .問(wèn)若司機(jī)制動(dòng)停車(不拐彎 , 他需要的最小距離 d 1為多大?若他不制動(dòng)而作 90o 拐彎(作圓弧形行駛 ,他需要的最小距 離 d 2又有多大?哪種辦法最安全?解:汽車制動(dòng)時(shí),受到摩擦力作用,作勻減速直線運(yùn)動(dòng),在拐彎情況下,汽車作圓周運(yùn) 動(dòng), 摩擦力提供向心力。 通過(guò)求出兩種情況下汽車制動(dòng)的距離, 比較可以知道第一種方法更 安全。設(shè)汽車質(zhì)量為 m 加速度為 a ,則在制動(dòng)時(shí)有 ma mg s =- , 122ad v =- 所以 g v d s 2/21=若不制動(dòng)而拐彎,則有 22d v m mg s =所以 gv d s 22=由于 d 1< d2 可知制動(dòng)安全。 3-5 月

28、球的質(zhì)量是地球的811,月球的半徑為地球半徑的 113。不計(jì)自轉(zhuǎn)的影響,試計(jì) 算地球上體重 600N 的人在月球上時(shí)體重多大?解: 因?yàn)榈厍蛏先梭w重為 N 6002=eee r M mGmg 所以月球上體重為 221131=e em m m r M m G r M m G m g N 6. 997291217291212=e e e mg r m mG3-6 一枚質(zhì)量為 3.03×103kg 的火箭, 放在與地面成 58.0°傾角的發(fā)射架上, 點(diǎn)火后發(fā)動(dòng)機(jī)以恒力 61.2 kN作用于火箭,火箭軌跡始終與地面成 58.0°的夾角。飛行 48.0s 后關(guān)閉 發(fā)動(dòng)機(jī),計(jì)

29、算此時(shí)火箭的高度及距發(fā)射點(diǎn)的距離(忽略燃料質(zhì)量和空氣阻力 。解 tv m ma F xx d d cos = =vtx t F v m 0d c o s d =xt t F x m 048d cos d m 1023. 12cos 21422=t mF t a x x 同理 tv mma mg F y y d d sin =-=vty t mg F v m 0d sin (d t mg F mv y sin (-= -=yt t mg F y 048d sin (d m 1044. 82sin 21322=-=t mmg F t a y y 火箭距發(fā)射點(diǎn) O 的距離為 m 1049. 1422

30、=+=y x s3-7 在光滑水平面上固定了一個(gè)半徑為 R 的圓環(huán),一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體 A 以初速度為v 0靠圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng),物體與環(huán)壁的摩擦系數(shù)為 ,試求物體 A 任意時(shí)刻的速率 v ?解:選取自然坐標(biāo) , 切向 f tvm -=d d 法向 N R v m =2,而 N f = ,所以 tv R v d d 2=-由上式得t R v v t vv d d 002-=則 tRv v 001+=3-8 光滑的水平桌面上放置一半徑為 R 的固定圓環(huán),物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其 摩擦因數(shù)為 。開始時(shí)物體的速率為 v 0 , 求:(1 t 時(shí)刻物體的速率; (2當(dāng)物體速率從 v 0減少到

31、021v 時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過(guò)的路程。 解: (1取自然坐標(biāo),有 Rmv ma F n N 2=, t v m ma F t f d d -=摩擦力的大小 N F F =f ,由上述各式可得 tvR v d d 2-= 取初始條件 t = 0時(shí) v = v 0 , 并對(duì)上式積分-=vv tvvRt 020d d 所以 tv R Rv v 00+=(2當(dāng)物體的速率從 v 0減少到021v 時(shí),由上式可得 0v R t =' 物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 t tv R Rv t v s t t d d 00+=''f2ln Rs =3-9 一質(zhì)量為 10kg 的質(zhì)點(diǎn)在

32、力 40120+=t F (F 的單位為 N , t 的單位為 s 的作用下, 沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng)。在 t = 0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于 x = 5.0m處,其速度 10s m 0. 6-=v 。求質(zhì)點(diǎn)在 任意時(shí)刻的速度和位置。解:由題意 tvmt d d 40120=+ 依據(jù)初始條件, t 0 = 0時(shí) 10s m 0. 6-=v ,積分 t t v vv td 412d 0+=所以 2646t t v +=又因 v = d x /d t , 并由初始條件:t 0 = 0時(shí) x 0=5.0m,積分 t t t x xx td 646d 02+=所以 322265t t t x +=3-10 質(zhì)量為

33、m 的質(zhì)點(diǎn)在外力 F 的作用下沿 x 軸運(yùn)動(dòng),已知 t = 0時(shí)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)位于原點(diǎn), 且初始速度為零,力 F 隨距離線性地減小, x = 0時(shí), F = F 0 ; x = L , F = 0.試求質(zhì)點(diǎn)在 ; x = L 處的速率。解: 由題意,力 F 與 x 的關(guān)系為 x LF F F 00-= 由牛頓第二定律 F t v m =d d ,而 xvv t x x v t v d d d d d d d d = 則 x x L F F x F v mv d d d 00-= 積分x x L F F v v m L vd d 0000-= 所以 mLF v 0=3-11 輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為

34、1.0×103kg 。飛機(jī)以 1s m 0. 55-的速率在水平跑道 上著陸后, 駕駛員開始制動(dòng), 若阻力與時(shí)間成正比, 比例系數(shù) 12s N 100. 5-= , 求:(1 10s 后飛機(jī)的速率; (2飛機(jī)著陸后 10s 內(nèi)滑行的距離 。解: 以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,有 t tvm -=d dt mtv tvv d d 0-=得 202t mv v -=t =10s時(shí), 1s m 0. 30-=v 又t t mv x txx d 2(d 0200-=故飛機(jī)著陸后 10s 內(nèi)所滑行的距離 m 4676300=-=-=t mt v x x s 3-12 一物體自地球表面以速率

35、v 0豎直上拋。假定空氣對(duì)物體阻力的值為 f =km v 2, 其中 m 為物體的質(zhì)量, k 為常量。試求:(1該物體能上升的高度; (2物體返回地面時(shí) 速度的值(設(shè)重力加速度為常量 。解 以地面為原點(diǎn), y 軸豎直向上(1上拋 t v m k m v mg d d 2=-; yvv t v d d d d =積分+-=hv kvg vv y 02d d ; 故有 +=g kv g k y h 20max In 21 (2下落 tvmk m v mg d d 2=+- 積分-=002d d hvkv g vv y 則 2/12001- +=g kv v v3-13如圖所示,電梯相對(duì)地面以加速度

36、 a 豎直向上運(yùn)動(dòng),電梯中有一滑輪固定在電梯頂部,滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為 m 1和 m 2的物體 A 和 B ,且 m l >m 2。設(shè)滑輪的質(zhì) 量和滑輪與繩索間的摩擦均略去不計(jì),如以電梯為參考系, 求物體相對(duì)地面的加速度和繩的張力。 解 取坐標(biāo) y 向下,設(shè) r a 為物體相對(duì)電梯的加速度,有 r a m T a m g m 1111=-+ r a m T a m g m 2222=-+ 21T T = ,由上述各式可得 (2121a g m m m m a r +-=繩的張力 (2212121a g m m m m T T +=物體 A 對(duì)地面的加速度 2122112 (m

37、m am g m m a a a r +-=-=B 對(duì)地面的加速度為 212112 (2 (m m gm m a m a a a r +-+-=+-=習(xí)題 3-12圖上拋mgf mgf下落第 4章 動(dòng)量守恒與能量守恒4-1 一粒子彈在槍膛中所受的合力為 t F 51034400-=; 式中 F 和 t 的單位分別 為 m 和 s ,假設(shè)子彈出槍口時(shí)所示合力為零,此時(shí)子彈的速度為 m/s300=v 。試求:(1子彈在槍膛中經(jīng)歷的時(shí)間; (2子彈在槍膛中所受的沖量; (3子彈的質(zhì)量。解 (1由題意 010344005=-t ;所以 s 1033-=t (2子彈在槍膛中所受的沖量 s . N 6.

38、0d 1034400(510303=-=-t t I (3由動(dòng)量定理,可得子彈的質(zhì)量 kg 1023-=vI m4-2 一個(gè)質(zhì)量為 m = 0.14 kg的壘球沿水平方向以 m/s501=v 的速率投來(lái), 經(jīng)棒打擊 后,沿與水平方向成 o 45=的方向向回飛出,速 率變?yōu)?m/s802=v 。 (1 求棒給球的沖量的大小與 方向。 (2如果球與棒接觸的時(shí)間為 s 02. 0=t , 求棒對(duì)球的平均沖力的大小。它是壘球本身重量的 幾倍?解 (1如圖所示,設(shè)壘球飛來(lái)方向?yàn)?x 軸 方向,棒對(duì)球的沖量大小為12v v m m I -=cos 2212221v v v v m +=s N 9. 16=

39、 與壘球投來(lái)方向的夾角 為c o ss i n a r c t 180212o mv mv mv +-=2152o'=(2棒對(duì)球的平均沖力 N 84502. 09. 16=tI F 此力為壘球本身重量的 8. 914. 0/(845 /(=mg F = 616倍4-3 自動(dòng)步槍連發(fā)時(shí)每分鐘射出 120發(fā)子彈,每發(fā)子彈的質(zhì)量為 m =7.9×10-3 kg , 子彈出槍口的速率為 735 m / s 。子彈射出時(shí),槍托每分鐘對(duì)肩部的平均壓力為多少?解 以分鐘計(jì),槍對(duì)子彈的平均推力為 N 6. 11607350079. 0120=t Nmv 由牛頓第三定律可知,槍托對(duì)肩的壓力等于

40、 11.6 N 。4-4 高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一個(gè)質(zhì)量為 50 kg 的雜技演員,在走 鋼絲練習(xí)時(shí)不慎從高空豎直跌落下來(lái), 由于安全帶的保護(hù), 最終使他被懸掛起來(lái)。 已知安全 帶的長(zhǎng)度為 5 m ,安全帶彈性緩沖作用時(shí)間約為 0.5 s。若取重力加速度 2s . m 10-=g ,則安全帶對(duì)雜技演員的平均作用力為多少?解 以雜技演員為研究對(duì)象,人跌至 5 m處時(shí)的速率為 gh v 21=1習(xí)題 4-2用圖在緩沖過(guò)程中,根據(jù)動(dòng)量定理,有 12 (mv mv t mg F -=+ 可得 N 15002(=+=+=tm mg t mv mg 4-5 以炮彈以速率 v 0沿傾角 的方向

41、發(fā)射出去后, 在軌道的最高點(diǎn)爆炸為相等的兩 塊, 一塊沿 o45仰角上飛, 一塊沿 o45的俯角下沖, 求剛爆炸后這兩塊碎片的速率各為多少?解 如題圖所示,炮彈炸裂前速率為 cos 0v ,沿水 平方向,炸裂后兩塊分別以 v 1和 v 2飛行。忽略爆炸過(guò)程 中重力的作用,炮彈及碎塊的動(dòng)量守恒。于是有水平方向: o 2o 1045cos 245cos 2cos v mv m mv += 豎直方向: o 2o 145sin 245sin 20v mv m -= 聯(lián)立解此二式,可得 c o s 2021v v v =4-6 一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體,在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊,最高點(diǎn)距離地面為 19.6

42、m 。 爆炸 1.00 s后, 第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上, 此處距拋出點(diǎn)的水平距離為 m 2 1000. 1。 問(wèn)第 二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上。 (設(shè)空氣的阻力不計(jì)解 取如圖示坐標(biāo),爆炸前,物體在最高點(diǎn) A 的速度的水平分量 hx t xv x21010= 物體爆炸后,第一塊碎片豎直落下 21121gt t v h y -= 碎片落地時(shí),有 y 1 = 0 , t = t 1 ,則由上式得 12111t gt h v -= 根據(jù)動(dòng)量守恒定律,在最高點(diǎn)處有 x x mv mv 2021=, y mv mv 2121210+-=,可解得爆炸后第二塊碎片拋出時(shí)的速度分量分別為1102s m

43、 100222-=hgx v v x x , 112112s m 7. 141-=-=t gt h v v y 爆炸后, 第二塊碎片作斜拋運(yùn)動(dòng), 其運(yùn)動(dòng)方程為 2212t v x x x +=, 2222221gt t v h y y -+= 落地時(shí), y 2 = 0 ,可解得第二塊碎片落地點(diǎn)的水平位置 m 5002=x習(xí)題 4-6 用圖Ox習(xí)題 4-5 用圖2v 0cos 4-7 一載人小船靜止于湖面上,小船質(zhì)量為 100kg ,船頭到船尾共長(zhǎng) 3.6 m ,人的質(zhì) 量為 50 kg ,試問(wèn)當(dāng)人從船尾走到船頭時(shí),船將移動(dòng)多少距離?假定水的阻力不計(jì)。解 假定船的質(zhì)量為 M ,速度為 v ,人的

44、質(zhì)量為 m ,相對(duì)于船的速度為 u ,其方向與 v 的方向相反。選 x 軸沿 v 的方向,由該方向動(dòng)量守恒有 +-=( 0Mv m v u 上式各項(xiàng)乘時(shí)間 t 得 +-=( 0Mvt m v u t 。設(shè) t 時(shí)間內(nèi)船走的路程為 S ,人相對(duì)于船走過(guò)的路程為 S ',則有 0 (='-+S S m MS , 故 m 2. 1501006. 350=+=+'=m M S m S4-8 A 、 B 兩球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng),已知 A 球的質(zhì)量為 kg 21=m 、速度為11s . m 2. 0-=i v , B 球的質(zhì)量為 kg 32=m 、速度為 12s . m 5. 02

45、. 0(-+=j i v 。兩球碰撞后合為一體,求碰撞后的速度。解 以 v 表示碰撞后的速度。由動(dòng)量守恒定律 v v v (212211m m m m +=+ 所以 1s . m 3. 02. 0(-+=j i v4-9 質(zhì)量為 M 的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體,此人用與水平面成 角的速率 v 0向前跳去 . 當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí),他將物體以相對(duì)于人為 u 的水平速率向后拋出 . 問(wèn):由于人拋出物體, 他跳躍的距離增加了多少?(假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn) 解 取如圖所示坐標(biāo) . 把人與物視為一系統(tǒng), 當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處,在向左拋物的過(guò)程中,滿足動(dòng)量守恒,有 (cos (0u v m Mv v M m

46、-+=+式中 v 為人拋物后相對(duì)地面的水平速率 , v -u 為拋出物對(duì)地面的水平速率。得 u mM mv v +=c o s人的水平速率的增量為 u mM mv v v +=-=cos 0 而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 g v t sin 0=所以,人跳躍后增加的距離u gm M mv vt x (sin 0+=4-10 一人從 10 m深的井中提水,起始時(shí),桶及桶中水的總質(zhì)量為 10 kg,由于水桶 漏水,每升高 1 m要漏去 0.20 kg的水 . 水桶被勻速地從井中提到井口,求人所做的功。解 水桶在勻速上提過(guò)程中, a = 0,拉力與水桶重力平衡,有 mg F = 取坐標(biāo) y 豎直向

47、上,水桶位于 y 處時(shí),拉力 gy g m F 2. 00-=習(xí)題 4-9 用圖人對(duì)水桶的拉力的功為 J 882d 2. 0(100=-=y gy g m A4-11 長(zhǎng)度為 2 m的細(xì)繩的一端系在天花板上, 另一端系一質(zhì)量為 0.20 kg的小球。 現(xiàn) 把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成 o30角的位置,然后從靜止釋放。試求:(1在繩索從 o30轉(zhuǎn)到 00角的過(guò)程中,重力和張力所做的功; (2物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率; (3在 最低位置時(shí)繩的張力。解 如圖所示,重力的功 J 53. 0 cos 1(=-=mgl A G 張力的功 0d T =s T A(2在最低位置時(shí)的動(dòng)能為 J 53. 0k

48、 =G A E 小球在最低位置的速率為 1ks m 30. 222-=mm E v G(3當(dāng)小球在最低位置時(shí),由牛頓定律可得lmv P T 2=-; N 49. 22=+=l mv mg T 4-12 最初處于靜止的質(zhì)點(diǎn)受到外力的作用,該力的沖量為 s N 4,在同一時(shí)間間隔內(nèi),該力所做的功為 2 J, 問(wèn)該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為多少?解 由題意, 00=p , 00k =E ,根據(jù)動(dòng)量定理,有 40=-=mv p p I 由動(dòng)能定理,有 22120k k k =-=mv E E E A 所以 kg 4222k 2=AI E p m4-13 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn), 系在細(xì)繩的一端, 繩的另一端固定在平面

49、上。 此質(zhì)點(diǎn)在粗 糙水平面上作半徑為 r 的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速率是 v 0。當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí),其速率為 v 0/2。求:(1摩擦力做的功; (2動(dòng)摩擦因數(shù); (3在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈?解 (1摩擦力做功為 202020k k 832121mv mv mv E E A -=-=-= (2由于 mg f =,故有 mg r s f A 2180cos o-= 可得動(dòng)摩擦因數(shù)為 rgv 16320=(3一周中損失的動(dòng)能為 2083mv ,則在靜止前可運(yùn)行的圈數(shù)為 340k =A E n 圈 4-14 用鐵錘把釘子敲入墻面木板。設(shè)木版對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木版的深度成習(xí)題 4-11 用圖m

50、g正比。若第一次敲擊,能把釘子釘入木板 m 1012 - 。第二 次敲擊時(shí),保持第一次敲擊釘子的速度不變,那么第二次能 把釘子釘入多深?解 F = kx (k 為常數(shù) ,由動(dòng)能定理-=101d x k x kx E , -=21d 2x x k x kx E 按題意, 21k k E E =,即 -=-211d d 0x x x x kx x kx可得m 1041. 0212-=-=x x x 4-15 質(zhì)量為 3 kg 的質(zhì)點(diǎn)在力 F 作用下沿直線運(yùn)動(dòng),已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為3243t t t x +-=; x 和 t 的單位分別為 m 和 s 。試求:(1在最初 4 s 內(nèi)作用力 F 所做的

51、功; (2 t = 1s時(shí),力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功的瞬時(shí)功率。解 (1由 2383d d t t txv +-=得 0=t 時(shí), 10s . m 3-=v , 4=t 時(shí), 1s . m 19-=v由動(dòng)能定理 J 103. 521212202=-=mv mv A (2由 t tva 68d d +-= 得 1=t 時(shí), 2s . m 2-=a ,則 N 6=ma F1=t 時(shí), 1s . m 2-=v ,所以 W 12=v F P4-16 質(zhì)量為 1kg 的物體, 以初速度 1s . m 14-從高度 240 m處自由落下, 并陷入沙坑 中,陷入的深度為 0.2 m ,不計(jì)空氣阻力,求沙對(duì)物體的

52、平均阻力。解 物體下落 h 距離2202121mv mgh mv =+ 陷入沙坑深度 S fs mv mgs -=-221所以 2021 1(mv s h mg f s+= 代入數(shù)值得 f = 1.2×104 N4-17 勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧豎直懸掛, 彈簧下端掛一物體, 平衡時(shí)彈簧已有一伸長(zhǎng)。 若以物體的平衡位置為豎直 y 軸的原點(diǎn),取物體的平衡位置作為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的零 點(diǎn)。試證:當(dāng)物體的位置坐標(biāo)為 y 時(shí),彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和為221ky 。 證 設(shè)在平衡時(shí)彈簧已被拉長(zhǎng) 0y ,則 0ky mg =習(xí)題 4-14 用圖當(dāng)物體再下降距離 y 時(shí),彈性勢(shì)能為 y ky k

53、y ky y y k E 0220201p 2121 (21+=-+=以平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn),則此時(shí)重力勢(shì)能為 y ky mgy E 02p -= 此時(shí)彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的和為2022p 1p p 2121ky y ky ky E E E =+=+= 4-18 有一種說(shuō)法認(rèn)為地球上的一次災(zāi)難性物種(如恐龍絕滅是由于 6500萬(wàn)年前一顆大的小行星撞入地球引起的。設(shè)小行星的半徑是 10km ,密度為 6.0×103 kg/ m 3(和地球 的一樣它撞入地球?qū)⑨尫哦嗌僖?shì)能?這能量是唐山地震估計(jì)能量的多少倍?(1976年, , 唐山地震釋放的能量約為 1018J 。 解 小行星落到地面上所釋放的引力勢(shì)能為-=E A E A A E R m GM r m GM E