教材處處皆學問

1、教材處處皆學問-小問題教研的一點看法 李守峰一、小問題教研的根基-教材老師們：本學期小學部開展了小問題教研活動，我感到非常切合實際，作為中小學教師，面對教育的最基礎人群，其主要責任是講授最基本知識，并以基礎知識為載體，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力。而不在于高尖端的學術問題。但是，作為一名教師都知道培養(yǎng)學生的能力非常重要，而如何才能更好的培養(yǎng)能力，這與老師的基本素質(zhì)有很大的關系，教師沒有高超的教學素質(zhì)，很難形成高質(zhì)量的課堂。因此，教師的能力視野就決定了教師的教學層次。教學層次的提高必須從教才開始！二、小問題教研的定位-低層次起步，高目標著陸 CCTV10科教頻道廣告“高度決定視野，角度改變觀念

2、，尺度把握人生！”我想大家并不陌生，他不僅對人生的要求做了精辟的說明，他對教師的基本素質(zhì)要求也是一個高度概括。什么是高瞻遠矚、什么是居高臨下，只有身居課堂才能有心體會。只有會當凌絕頂，方能達到一覽眾山小的境界！下面就下教材中的四個方面的問題談一談怎樣進行小問題教研1、 數(shù)及其基本的四則運算大家知道，數(shù)的產(chǎn)生起源于計數(shù)，四則運算起源于同類事物的和、差、倍、分。但是隨著數(shù)的內(nèi)涵的不斷豐富，這種解釋已經(jīng)不再適應現(xiàn)實生活。那么能否把數(shù)的四則運算用一種統(tǒng)一的理論去解釋呢？有，那就是向量！結論：實數(shù)同數(shù)軸上的點是一一對應的。不僅教師掌握，就連學生也是張口即來，但無論是教師還是學生，大都知道數(shù)軸上的點表示唯

3、一的數(shù)，任意一個實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。但很少有人知道任一實數(shù)其本質(zhì)就是起點在原點的一位向量。有了這一個認識，數(shù)的加減就轉化為兩個向量的加減，他有向量的由三角形法則而統(tǒng)一；實數(shù)的乘法由兩向量的數(shù)乘法則而統(tǒng)一，只不過兩非零向量的夾角只有0和兩種情況；關于兩個實數(shù)的除法運算，仍然可以看作兩個向量的除法去解決，因為任何一維向量都是共線的，他們相除的結果是一個實數(shù)。而且同向取正，逆向取負！ 2、 式式既是數(shù)概念的推廣，又是方程、函數(shù)的基本構成。她起著承上啟下的作用，可以說沒有式的內(nèi)容，就不會有理科科學的博大精深。一個小小的似的運算往往包含很深的哲理。請看（一）a-b0a>b， a>0,

4、b>0, a>b ab0a,b同號， ab<0a,b異號，以上幾個結論，來源于7年級教材中的習題或基本結論。但是他顯示的數(shù)學思想?yún)s奠基了大小比較的基石。大小比較的兩個基本思想：作差、作商。而a-b0a>b，當且僅當a=b時取等號，以次可以得到基本不等式，成立的條件是a,b,和 a,b。這樣思考不僅解決了基本結論，更重要的是解決了結論的來源和為什么取等號的條件這些條件。從此解決不僅知道是什么，更重要的是解決為什么的問題。如果一位教師知識簡單的告訴學生是什么，不解決為什么。那就是把書教死了。解決為為什么遠比讓學生知道是什么更重要！如果能理解到這一點，就是能力培養(yǎng)，否則只能是

5、機械記憶。 ab0a,b同號， ab<0a,b異號，學生可能背得很好，但是他們能否應用此結論，結合一元一次方程的解而解決一元一次不等式呢？請看3x>6 由3x=6 知 x=2 這就是說當 x=2時 3x=6 3x>6 3x為正號，也就是說，當3x>6恒成立，必然要求3與x必同號 x為正數(shù)。又x=2為不等式的分界點，X2，X的取值范圍只有X2和X2兩種情況，而X2不僅包含正數(shù)，還包括0和負數(shù)，這與剛才分析X只能為正號相矛盾。故X2。又如 3X-4， 由3X-4得X=-，只有兩種情況，X-和X-，又30 X0 X-再如 -2X>4 由-2X= 4得 X=2 X2或 X

6、2又20 ， 40 X0 X2運用這種方式解決問題不能成問題，從根本上解決了不等式系數(shù)化為1的根本來源，把性質(zhì)變成活的知識去傳授，避免了學生死記硬背的局面。又如 對，單從代數(shù)方面思考，表示的絕對值，并得正數(shù)；其次它包含了表示X軸上的點離開原點的距離，這一重要幾何意義，由幾何意義，可形象說明的結果，到此老師的作用已經(jīng)發(fā)揮的不錯了，如能以下發(fā)揮則更好 求的最小值，并指出取得最小值時X的取值范圍，由幾何性質(zhì)可知的最小值為1，當X1,2時取最小值。從感覺上說，X1為減函數(shù)，X2為增函數(shù)所以最小值必在1,2內(nèi)取得，從圖像上看出，最小值為1，且X1,2 如果是求呢？很多老師通過數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)當X=1是取最小

7、值，也就是通過分類化簡，然后求得最小值。但一般不會想到可以用前兩種情況的的結論進行轉化解決由知取得最小值時X1,2，取得最小值時X=1，而X=11,2當X=1時，取得最小值。到此對問題進行總結后作推廣總結 = 的最小值 當n為偶數(shù)時 X取中間區(qū)間 當n為奇數(shù)時 X取中間點推廣 ， 為最小值， 這時當為偶數(shù)時， 取中間“段”為奇數(shù)時， 取中間“點”還可以把推廣為（正有理數(shù)集）結論僅僅是歸納猜想而認為是正確的結論，這個結論真正的證明則要用到數(shù)學歸納法，而且這種歸納法證明還要分奇、偶性交替進行。如果大家能比較熟練的證明這個問題還愁高中的數(shù)學歸納法嗎？證明： 1.當n=1 . 2時結論成立 n=1 顯

8、然 n=2（兩點之間線段最短）2.假設當n=k時結論成立 先 則當n=k+1時若k為偶數(shù)由假設可知*取最小值時，x 而取最小值時 x= 而 故當x=時*，#同時取得最小值故k為偶數(shù)得證當k為奇數(shù)時 n=k+1=2L+1+1=2(L+1)有假設知 *取最小值時 #取最小值時 而 當 時 *，#同時取最小值故有結論成立（二）我們知道2a，明白 也十分明了，而 ，也是顯而易見。但這些結論也具有豐富的內(nèi)涵 a、b為整數(shù)，則由可知任意兩個整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性、為函數(shù)，且定義域為對稱區(qū)間，則由可知，任意一個定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的形式a , b為向量 ，則有a=

9、即為三角形法則a ,b為弧度 得 sin=sin()+sin() = 2sin。a , b 為三角函數(shù) 得 、兩組公式就是現(xiàn)行高中教材已經(jīng)刪掉的和差化積、積化和差公式。（之所以刪掉，是因為太難，增加學生的負擔，有這種行為和想法實質(zhì)上就是對教材的能力把握不夠，認為學生只有通過死記硬背才能掌握，所以刪掉。其實，若果掌握了公式的來龍去沒，不但不增加學生的負擔，反而淡淡提高學生解決新問題的能力） 三、方程關于對方程x2=a 解法的理解首先 x2=a 的解是由平方根的定義得出的 x=但x2+2ax+b=0 形式的根，不必用求根公式進行一定要體現(xiàn)轉化的思想（配方） x2+2ax+a2=a2-b 得（x+a

10、）2=a2-b有時這用方法盡管不如因式分解，求根公式來得快，但它的思想遠遠超過因式分解和求根公式，特別是求根公式，只是培養(yǎng)了學生求解的機械過程，對于學生能力的培養(yǎng)作用并不是很大。而配方思想涉及范圍很廣 解二次方程 求多項式的最小值或最大值如 f(x) = x2+2x-3=(x+1)2-4 f(a,b) = a2-2ab+2b2-4b = a2-2ab+b2+b2-4b+4-4 = (a-b)2+(b-2)2-4 f(a,b) = x2+axy+by2+cx+ey 。 利用這種變形即可求出最值。又如求的正整數(shù)解，這個問題咋一看好像無從下手，但是當你看完下面的解題過程就會感慨，太容易了！ 于是 以

11、上僅僅解決了日常生活中的普通問題，其實比較復雜的問題往往用此思想也能解決比如求一組相關點的線性回歸方程（其實在這一節(jié)中，公式的應用已經(jīng)顯得很平淡，主要的是歸線方程的意義及求回歸直線的思想！書中只要求學生記住此公式（有時考試給出此公式）可以說顛倒了新教材對如何培養(yǎng)學生的要求。） 又如：一元四次方程的求根公式的求解過程，把配方思想用到了極致！                      (1)

12、 移項可得                             (2)兩邊同時加上 ，可將（2）式左邊配成完全平方，方程成為               &

13、#160;(3) 在（3）式兩邊同時加上 可得                   (4)   （4）式中的y是一個參數(shù)。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什么值，（4）式都應成立。特別，如果所取的y值使（4）式右邊關于x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數(shù)較低的方程。   為了使（4）式右邊關于x的二次三

14、項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即             (5)這是關于y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數(shù)值。把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關于x的一元二次方程。解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。上述問題說明方法比解更重要。而配方思想在代數(shù)中證明不等式、求解三角函數(shù)值；等等都有廣泛應用。如： 證 （）只需造一個，使 （）然后證明即可。三角求值令 則，

15、 一舉兩得。四、三角 又如三角函數(shù)在直角坐標系中的定義 P(x.y) R 0 我們知道 sin= ,cos= tan= ,cos= 應用此定義，我們解決了三角函數(shù)的求值問題。但是這個定義本身還蘊含著更加廣泛的信息，那就是1） 固定，開放r。有 （t）即為過原點的直線的參數(shù)方程。2） 固定r，開放。有 它又變成了圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程。以上但個參數(shù)開放，數(shù)學教師十分清楚！但是大家對r、 同時開放卻未必能夠意識到他的作用。其實，它在處理二次曲線中，關于點離原點（定點）的距離與它與定點的連線和x軸的方向的夾角的關系是有著重要作用。比如：09年高考壓軸題一共三問，二、三兩問相互聯(lián)系，第三問

16、幾乎高考原題答案兩黑板寫不下，學生更是眼花繚亂、一頭霧水。但是用上述方法，則兩問合一，輕松解決。更為巧合的是，今年高考21題又是這個類型的題，由原題答案可以看出同去年的高考題考查的完全不同，立意很新，但命題者可能萬萬沒有想到應用上述思想自然合二為一，輕松得解。有興趣的同志可以下載試題答案，看一看我說的是否有道理。這里把我去年寫的一點東西呈獻給大家，以便難易比較。（09山東理）設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB

17、|的取值范圍，若不存在說明理由。分析：（1）這一問為送分題，學生很容易得到：橢圓E的方程為（2）立意很新，重點考察學生的基本功，對于找圓心在原點的圓也沒有多大的問題，但對于求|AB |的取值范圍這一問，似乎體現(xiàn)了選拔優(yōu)質(zhì)人才的目的。但就命題者給出的解答過程的難度好像遠遠超出了絕大多數(shù)優(yōu)等生的承受能力。本文就這一問題給出比較簡潔的解答，并作進一步的推廣。一、挖掘隱含條件，尋找解題思路第二問很容易受高中數(shù)學思維定勢的影響，直接設出直線OA的斜率，得出OA、OB的直線方程（受OAOB，斜率互為負倒數(shù)）解出他們與橢圓的交點，再整理出AB的方程，利用點到直線的距離公式證明點到直線的距離為常數(shù)；二是受OA

18、OB，馬上想到設, ，則有，進而設AB的直線方程帶入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系進行整體思考。這種思考對于求圓的方程比較容易解決，但這種思維順理成章地把學生帶入了求AB的距離利用兩點間的距離公式，從而使求解難度大大加強，幾乎讓人望而生畏！三是受傳統(tǒng)訓練的影響，往往認為下一個問題的解決必須先解決上一問，上一問的結果應該為下一問服務。致使學生首先先把該問題的解決進行了先后排序，從而錯失整體思考良機！仔細研讀試題條件可以發(fā)現(xiàn)第二問的實質(zhì)就是解決一個直角三角形的問題，如果直角三角形的兩邊確定，用勾股定理即可求出斜邊，然后用面積法即可求出斜邊上的高。就本題而言，直角頂點在坐標原點，這就很容易想到三角函數(shù)

19、在直角坐標系中的定義，結合斜邊的兩個端點在橢圓上，因此就可以用含角的代數(shù)式表示出點到原點的距離。二、選準解題方法，整體解決問題引理：如圖設P為角的終邊與橢圓的交點，則，代入橢圓方程即得：用此結論解決文中問題如圖2，由,可設有上述結論可得：以替換上式中的 即得： 所以：所以：，即：.設, D為垂足。由面積法知 這就說明：D到圓心的距離為小于橢圓短半軸的定值，故滿足條件的圓是存在的！三、一題多變，揭示規(guī)律推廣1. 設橢圓上任意兩點A、B滿足，則動弦AB恒于圓相切，；變式1. 設橢圓上任意兩點A、B，且動弦AB恒于圓相切，則。推廣2.設ABCD為橢圓的內(nèi)接四邊形，若四邊形ABCD有三邊與圓M:相切，則ABCD必為圓M的外切四邊形。四、一法多求，觸類旁通（此問題本質(zhì)即為年北京理科試題）推廣3. 設雙曲線上任意兩點A、B滿足，則動弦AB恒于圓相切，；推廣4.設雙曲線上任意兩點A、B且動弦AB恒于圓相切，則。推廣5. 設ABCD為雙曲線的