直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)之間距離的最值

1、直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)之間距離的最值【題型】P點(diǎn)為直線L上一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)、B點(diǎn)不在直線上，且固定。 當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離之 差的絕對(duì)值最大?！疽辍慨?dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到B點(diǎn) 的距離之和最小?！舅悸贰肯露?條原理是解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ)：1、所有此類問(wèn)題都應(yīng)納入“三角形”中求解；（定理1）2、運(yùn)用“在同一平面之中，兩點(diǎn)之間，線段最短?！保ǘɡ?）3、運(yùn)用“在同一平面中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。”（定理3）【幾種不同情況的詳細(xì)解答及相應(yīng)證明】1、求直線上動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值的最大值（1）當(dāng)兩固定點(diǎn)在

2、直線同側(cè)時(shí)，如圖1假設(shè)直線上任意一點(diǎn)P'點(diǎn)，連接P'點(diǎn)與B點(diǎn)，P'點(diǎn)與A點(diǎn),形成P' BA,根據(jù)“定理 3”,得知 P' A-P' B <AB；當(dāng)P'點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)時(shí)，分別連接A、B兩點(diǎn)，形成 P”BA,根據(jù)“定理 3”，得知 |P” A - P”B|AB；只有移動(dòng)到P點(diǎn)，即BA連線的延長(zhǎng)線與直線L的交點(diǎn)時(shí),|PA-PB|=ABo 結(jié)論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)，與直線一側(cè)的兩固定點(diǎn)之間距離之差的絕對(duì) 值最大時(shí)，P點(diǎn)位于兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖1,過(guò)A點(diǎn)做直線垂直與直線L,垂足為M,過(guò)B點(diǎn)做直

3、線垂直 于直線L,垂足為M'這樣，AMBM'因此，在直角PBM'中，AM/BM'二PM/PM'所以，PM'二PM+MM'最終得出：PM= （AMXMM ） 4-|BM -AM|,以此確定P點(diǎn)的位置（或 坐標(biāo)）。同樣道理，PM/MM'二PA/AB所以，最大值A(chǔ)B二MM' /PMXPA，根據(jù)勾股定理計(jì)算出PA后，就計(jì)算 出了 AB的長(zhǎng)度。（2）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，如圖2對(duì)于處于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，先通過(guò)其中一點(diǎn)A做一條垂直與直線L的 直線，垂足為M,且使AM二A' M （即做A點(diǎn)對(duì)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)），將 異側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

4、同側(cè)問(wèn)題。然后，連接A'和B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于直線于P點(diǎn)，則P點(diǎn)就是到A、B 兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)的點(diǎn)。同樣，在直線上任意一點(diǎn)P',并連接P' A, P' B, P' A',可以看 出，在ZP' A' B 中，|P' A，-P' B|A' B,由于 P' A,二P' A,所 以，P，A-P, B| = |P，A，-P，B <AJ Bo 將P'點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)，并構(gòu)成APMA' B,同樣道理可以得出P” A-P” B 二 P” A，-P” BA，Bo所以，只有將P點(diǎn)移動(dòng)到

5、A' B的延長(zhǎng)線與直線L的交點(diǎn)處時(shí)，才能 得到 PA-PB 二 PA' -PB|=A，Bo結(jié)論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)，與直線異側(cè)的兩固定點(diǎn)之間距離之差的絕對(duì) !大時(shí)，P點(diǎn)位于一點(diǎn)與另外一點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線的延長(zhǎng) 線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖2,過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足為M'所以在直角PM' B 中，A' M/BM'二PM/PM',由于 PM'二PM+MM' 所以，PM=（A MXMM' ）4-|A M-BM' |,以此確定P點(diǎn)的位置（或 坐標(biāo)）。同樣道理，PA'

6、 /A' B二PM/MM',所以，P點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)距離之差的 絕對(duì)值最大值為A' B=PA, XMM, 一PM,根據(jù)勾股定理計(jì)算出PA' 后，就計(jì)算出了 A' B的長(zhǎng)度?！灸竟?jié)結(jié)論】直線上移動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)之間的距離之差的絕對(duì) 值，只存在最大值，不存在最小值。當(dāng)兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，最大值為 兩點(diǎn)連線長(zhǎng)度；當(dāng)兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，最大值為一點(diǎn)與另一點(diǎn)對(duì)于直 線的對(duì)稱點(diǎn)的連線長(zhǎng)度。推導(dǎo)出：當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)之間的距離之差的絕 對(duì)值，有且只有一個(gè)值（即常量），即兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)。2、求直線上動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)的距離之和絕對(duì)值的最小值（1）當(dāng)兩固

7、定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，如圖3首先，過(guò)A點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足M,并使AM二MA'連接A' B, AB, AB與直線L交于P點(diǎn)，連接AP在直線L上任意取一點(diǎn)P',連接P' B, P' A, P' A'從圖上可以直觀得出，P' A二P' A',所以，P'點(diǎn)到A、B點(diǎn)的距離 之和與P'點(diǎn)到A'點(diǎn)、B點(diǎn)的距離之和相等，即P' A+P' B =P f +P，B|根據(jù)“定理 3”，在ZkP' A' B 中，P' B+P' A' >A'

8、 B,所以，P' B +P' A >A' B同樣道理，如果P'點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)，與A'、B點(diǎn)構(gòu)成AP” A' B,P” B+P” A' >A' B,而 P” A'二P” A所以，P” B+P” AA，B只有當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到A'、B點(diǎn)連線與直線L的交點(diǎn)處時(shí)，即P點(diǎn)即處 于直線Lt,又處于線段A' B上時(shí)，|PA' +PB|=A' B,而PA'二PA, 所以，PA+PB 二A' B這時(shí)，P點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值才是其他所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)距 離之和的絕對(duì)值中最小的。結(jié)論：當(dāng)

9、直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線同側(cè)兩固定點(diǎn)之距離之和的絕對(duì)值最小 時(shí)，P點(diǎn)位于固定點(diǎn)與另一固定點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線與直線的 交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最小值如圖3,過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足為M'由于直角三角形MPA'與直角三角形BPW ,三角相等，所以，這兩 個(gè)三角形為相似三角形所以，MP/PM'二MA' /BM',且 PM'二MM' -MP所以，MP二MA' XMM' *（MA+BM ），以此確定P點(diǎn)位置（或坐標(biāo)）。 又因?yàn)?，PA+PB| = |PA，+PB|=A，B,且 MP, PM'二MM' -MP 均己計(jì)算 出，運(yùn)用勾股定理，分別計(jì)算岀PA'、PB長(zhǎng)度，即可確定A' B的長(zhǎng) 度，即P點(diǎn)到兩固定點(diǎn)距離之和絕對(duì)值的最小值。（2）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線L異側(cè)時(shí)，如圖4圖4根據(jù)上述同側(cè)問(wèn)題，我們可以看出，直接連接A、B兩點(diǎn)與直線L的 交點(diǎn)就是符合要求的P點(diǎn)，在此不再累述?！灸竟?jié)結(jié)論】直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值只 存在最小值，沒(méi)有最大值。當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于固定 點(diǎn)與另一固定點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)處；當(dāng)兩固定 點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于兩固定點(diǎn)連線與直線