全等三角形解題方法

1、略說全等三角形解題方法證明三角形全等的基本思路在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，選擇三角形全等的五種方法（“SS6,“SAS”，“ASA；“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時(shí)要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到一組對應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應(yīng)邊用“SS6;若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個(gè)角的另一組對應(yīng)邊用“SAS;若是判定兩個(gè)直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：SS（用SSS）A（用SAS）AS（用SAS）A（用AASmASA）證明三角形全等的方法1、平移法構(gòu)造全等三角形例1如圖1

2、所示，四邊形ABCD中，AC平分DAB,若ABAD,DCBC,求證：分析：利用角平分線構(gòu)造三角形，將D轉(zhuǎn)移到AEC,而AEC與CEB互補(bǔ),CEBB,從而證得BD180。主要方法是：“線、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移”。圖1證明：在AB上截取AEAD,在ADC與AEC中，ADAEDACEACACACADCAEC(SAS)DAEC,DCCE,.DCBC,CEBC,CEBB,CEBAEC180,BD180.2、翻折法構(gòu)造全等三角形例2如圖2所示，已知ABC中，ACBC,ACB90,BD平分ABC,求證:ABBCCD。證明：: BD平分 ABC,將BCD沿BD翻折后，點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E ,則有BE CE ,整理版在B

3、CD與BED中，BCBECBDEBDBDBDBCDBED(SAS)DEAACB90,CDDE,.已知ABC中，ACBC,ACB90,A45,EDAA45,DEEA,ABBEEABCCD。3、旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形例3如圖3所示，已知點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC與CD上，并且AF平分EAD,求證：BEDFAE。分析：本題要證的BE和DF不在同一條直線上，因而要設(shè)法將它們“組合”到一起?？蓪DF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90到ABG,則ADF色ABG,BE=DF,從而將BEBG轉(zhuǎn)化為線段GE,再進(jìn)一步證明GEAE即可。證明略。4、延長法構(gòu)造全等三角形例4如圖4所示，在ABC中，ACB2B,BADDAC，求

4、證:ABACCD。分析：證明一條線段等于另兩條線段之和，常用的方法是延長一條短線段使其等于長線段，再證明延長部分與另一短線段相等即可；或者在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下部分等于另一條短線段。本題可延長AC至E,使AEAB,構(gòu)造ABD色AED,然后證明CECD,就可得ABACCD。5、截取法構(gòu)造全等三角形例5如圖5所示，在ABC中，邊BC上的高為AD,又B2C,求證：CDABBD。分析：欲證明CDABBD,可以在CD上截取一線段等于BD,再證明另一線段等于AB。如果截取DEBD（如圖所示），則ADE可認(rèn)為而ADB沿AD翻折而來，從而只需證明CEAE即可。證明略。構(gòu)造全等三角形解題的

5、技巧全等三角形是初中幾何三角形中的一個(gè)重要內(nèi)容，是初中生必須掌握的三角形兩大知識(shí)點(diǎn)之一（全等和相似），在解決幾何問題時(shí)，若能根據(jù)圖形特征添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出全等三角形，并利用全等圖形的性質(zhì)，可以使問題化難為易，出奇制勝，現(xiàn)舉幾例供大家參考。友情提示：證明三角形全等的方法有SASSSSAAS、ASA、HL（RtA）。一、見角平分線試折疊，構(gòu)造全等三角形例1如圖1,在ABO,AD平分/BAC,AB+BD=AC。求證：/B:/C=21o證法一：在線段AC上截取AE=AB,連接DE。在ABDffiAAED中，vAE=AB,/1=/2,AD=AD, AED=.ABDDE=DB,/B=/AEQvAB+

6、BD=AC,AE+DE=AG又;AE+CE=AC,；DE=CEZC=ZEDCo/AED=ZC+ZEDC,ZAED=2ZC,即/B=2ZCoZB:ZC=2:1o圖1證法二：延長AB至UF,使BF=BD,連接DFZF=ZBDR./ABC=ZF+ZBDF,ZABC=2ZFoAB+BD=AC,；AB+BF=AC,即AF=ACo在4人口5和4ADC中，vAF=AC,Z1=Z2,AD=AD,ADC.ADF./F=ZCo又./ABC=2/F,/ABC=2/C,即/ABC:/C=2:1。圖2點(diǎn)評：見到角平分線時(shí)，既可把ABDD折疊變成AED,也可把ACDAD折疊變成AFD,利用全等三角形的性質(zhì)，可使問題得以解

7、決。練習(xí)：如圖3,ABC中，AN平分/BAC,CNJAN于點(diǎn)N,M為BC中點(diǎn)，若AC=6,AB=10,求MN的長。圖3ADN，提示：延長CN交于AB于點(diǎn)D貝必ACNAD=AC=&又AB=10,貝UBD=4o可證為乙BCD的中位線點(diǎn)評：本題相當(dāng)于把ACNAN折疊成AND二、見中點(diǎn)“倍長”線段，構(gòu)造全等三角形例2如圖4,AD為乙ABC中BC上的中線，BF分別交AC、AD于點(diǎn)F、E,且AF=EF,求證：BE=AC。整理版圖4證明：延長AD至ijG,使DG=AD,連接BGVAD為BC上的中線，BD=CD,在ACDffiAGBD中， GBDvAD=DG/ADC=/BDGBD=CD,ACDAC=BG/CA

8、D=/GovAF=EF,/CAD=/AEF0/G=/AEF=/BEGBE=BG,vAC=BGBE=ACo整理版點(diǎn)評：見中線AD,將其延長一倍，構(gòu)造GBD則ACDGBD。整理版例3如圖5，兩個(gè)全等的含有點(diǎn)在同一直線上，連接BD,角的三角極ADE和ABC如圖放置，E、A、CBD中點(diǎn)M,連接ME、MC試判斷EMC勺形狀，并說明理由。解析：EM等腰直角三角形。理由：分別延長CM、ED,使其相交于點(diǎn)N,DNM?？勺CBCM則BC=DN，CM=NM。由于DEAACB,則DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE即EN=EC，則4ENC為等腰直角三角形。vCM=NMEMICN,則可知EM等腰直角三角形。注

9、：本題也可取EC的中點(diǎn)N,連接MN,利用梯形中位線定理來證明亦可連接AM，利用角的度數(shù)來證明。練習(xí)1：如圖6，在平行四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，連接BE、CE，BEC=6求證：（1）BE平分/ABCABCE 的面積。若EC=4,且提示：見圖中所加輔助線，證4ABEADFB練習(xí)2:ABC中，AC=5,中線AD=7,則AB的取值范圍為多少？注：延長AD至ijE,使DE=AD,連接BE。則BDEzCDABE=AC=5,DE=AD=7。在ABE中，BE=5,AE=14。利用三角形三邊關(guān)系可求線段AB的取值范圍為：9AB19。三、構(gòu)造全等三角形，證線段的和差關(guān)系例4如圖7,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且/1=/2圖7求證：BE+DF=AE。證明：延長CB至ijG,使BG=DF,連接AG在4人86和4ADF中，vAB=AD,/ABG=ZD= .ABGADR ./G=ZAFD,/4=/1。/1=/2,/4=/2。vAB/CD,/AFD=/2+/3=/4+/3=/GAE又./G=/AFD,/G=/GAEAE=GEvEG=BE+BG=BE+DFBE+DF=AE0從以上幾例可以看出，全等三角形在證明中具有出奇