數(shù)學(xué)23數(shù)學(xué)歸納法課件新PPT課件

1、問題1：有一臺晚會，若知道晚會的第一個(gè)節(jié)目是唱歌，第二個(gè)節(jié)目是唱歌、第三個(gè)節(jié)目也是唱歌，能否斷定整臺晚會都是唱歌？問題2：有一臺晚會，若知道唱歌的節(jié)目后面一定是唱歌，能否斷定整臺晚會都是唱歌？問題3：有一臺晚會，若知道第一個(gè)節(jié)目是唱歌，如果一個(gè)節(jié)目是唱歌則它后面的節(jié)目也是唱歌，能否斷定整臺晚會都是唱歌？一、設(shè)置情景，導(dǎo)學(xué)探究：第1頁/共30頁思考2：有若干塊骨牌豎直擺放，若將它們?nèi)客频?，有什么辦法？一般地，多米諾骨牌游戲的原理是什么？（1）推倒第一塊骨牌； （2）前一塊骨牌倒下時(shí)能碰倒后一塊骨牌.第2頁/共30頁第3頁/共30頁多米諾骨牌課件演示 如何保證骨牌一一倒下？需要哪些條件？（2）任

2、意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊倒下，則必須保證下一塊要相繼倒下。（1）第一塊骨牌倒下-遞推關(guān)系；即第k塊倒下，則相鄰的第k+1塊也倒下-奠基；第4頁/共30頁思考3：某人姓王，其子子孫孫都姓王嗎？某家族所有男人世代都姓王的條件是什么？ （1）始祖姓王； （2）子隨父姓. （第1代姓王）（如果第k代姓T，則第k+1代也姓T）第5頁/共30頁思考4：已知數(shù)列an滿足: （nN*），那么該數(shù)列的各項(xiàng)能確定嗎？上述遞推關(guān)系只說明什么問題？若確定數(shù)列中的每一項(xiàng)，還需增加什么條件？ 11nnnaaa+=+由第k項(xiàng)可推出第k1項(xiàng). 給出第1項(xiàng)；（1）（2）第6頁/共30頁思考5：上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，一般

3、地，用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，其證明步驟如何？（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立. 第7頁/共30頁思考6：數(shù)學(xué)歸納法由兩個(gè)步驟組成，其中第一步是歸納奠基，第二步是歸納遞推，完成這兩個(gè)步驟的證明，實(shí)質(zhì)上解決了什么問題？逐一驗(yàn)證命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.第8頁/共30頁證明：1、當(dāng)n=1時(shí),左=12=1，右=n=1時(shí)，等式成立2、假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左=12+22+k2+(k+1)2= =右n=k+1時(shí)，原不等式成立由1、2知當(dāng)nN*時(shí)，原不等式都成立16

4、)12)(11(1 2)1(6)12)(1( kkkk6)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2 kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk6)12)(1(3212222 nnnn例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：第9頁/共30頁練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明1212121751531311nnnn證明：(1) n=1時(shí)，左邊= 311那么,(2) 假設(shè)n=k（kN*)時(shí)等式成立，即右邊=1121等式成立。1212121751531311kkkk3212112121751531311kkkk3212112kkkk321kk即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN* 都

5、成立。第10頁/共30頁這就是說當(dāng) 時(shí)等式成立，所以 時(shí)等式成立.1 kn*Nn224621nnn思考1：下列推證是否正確，并指出原因.用數(shù)學(xué)歸納法證明：kn 證明：假設(shè) 時(shí)，等式成立，126422kkk就是122642kk1212kkk2111kk那么第11頁/共30頁1)1(1321211nnnn思考2：下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的過程.你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么?21211211111) 1(1321211kkkk(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=(2)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)命題成立，那么n=k+1時(shí),即n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數(shù),命題均正確.1)1(

6、1211)2111()3121()211( kkkkk=右邊,左邊第12頁/共30頁思考3：下列證法對嗎？用數(shù)學(xué)歸納法證（nN+):1+2+3+ 2n = n(2n+1 )證明：1)左邊=1= 2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即:1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k +2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)=那么，n = k+1 時(shí)，1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k+(2k+1)+ 2(k+1)= k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)=那么，n = k+1 時(shí)，證明：1)左邊=1+2=3=右邊 2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即:第13頁/

7、共30頁(2)在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無效.證明中的幾個(gè)注意問題：(1)在第一步中的初始值不一定從1取起，證明時(shí) 應(yīng)根據(jù)具體情況而定.(3)在證明n=k+1命題成立用到n=k命題成立時(shí),要 分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析“n=k+1時(shí)”命題是什 么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別.弄清 應(yīng)增加的項(xiàng).第14頁/共30頁 例2 已知數(shù)列：試猜想其前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，并數(shù)學(xué)歸納法證明.1111,14 47 710(32)(31)nn創(chuàng)?+LL31nnSn=+第15頁/共30頁小結(jié)作業(yè) 1.數(shù)學(xué)歸納法

8、的實(shí)質(zhì)是建立一個(gè)無窮遞推機(jī)制，從而間接地驗(yàn)證了命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，它能證明許多與正整數(shù)有關(guān)的命題，但與正整數(shù)有關(guān)的命題不一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明，有些命題用數(shù)學(xué)歸納法也難以證明.第16頁/共30頁數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng) 取第一個(gè)值 （如 或2等）時(shí)結(jié)論正確； 10 nn0n （2）假設(shè)時(shí) 結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確 )N(0nkkkn 且且1 kn遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”“用上假設(shè)，遞推才真”注意：1、一定要用到歸納假設(shè)；2、看清從k到k1中間的變化。第17頁/共30頁 2.歸納推理能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，數(shù)學(xué)歸納法能證明結(jié)論，二者強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合

9、，優(yōu)勢互補(bǔ)，在解決與正整數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，具有強(qiáng)大的功能作用.但在數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)施過程中，還有許多細(xì)節(jié)有待進(jìn)一步明確和認(rèn)識.第18頁/共30頁(1)在第一步中的初始值不一定從1取起，證明時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況而定.練習(xí)1:欲用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2,試問n的第一個(gè)取值應(yīng)是多少?答:對n=1,2,3,逐一嘗試,可知初始值為n=5.證明中需要注意的問題練習(xí)2:用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn2.此題在第二步的證明過程中在假設(shè)n=k時(shí),3kk2成立的基礎(chǔ)上,當(dāng)n=k+1時(shí),要說明此式大于零,則必須k2.故在證明的第一步中,初始值應(yīng)取1和2兩個(gè)值.2) 1() 12(3) 12(33) 1(32222221kkkkkk

10、kkkk第19頁/共30頁(2)在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯遞推關(guān)系,造成推理無效.第20頁/共30頁練習(xí).下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的過程.你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么(1).當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=(2).假設(shè)n=k時(shí)命題成立即那么n=k+1時(shí),左邊=右邊,即n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數(shù),命題均正確.212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211 (kkkkk1111 22 3(1)1kkkk第21頁/共30頁(3)在證明n=

11、k+1命題成立用到n=k命題成立時(shí),要分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別.弄清應(yīng)增加的項(xiàng).學(xué)案P74例題1第22頁/共30頁1.已知: ,則 等于( ) A: B: C: D: 131.2111)( nnnnf) 1( kf1) 1( 31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkfC練習(xí)：2.學(xué)案P74A2.第23頁/共30頁重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。第24頁/共30頁)2)(1(6112) 1()2(3) 1(21 nnnnnnnn)(

12、kf12) 1()2(3) 1(21 kkkkk) 1( kf)(kf分析:找到“遞推關(guān)系”就等于把握住解決問題的“靈魂”。有幾項(xiàng)？ 是什么,它比多出了多少，是首要問題。例3對于nN*用數(shù)學(xué)歸納法證明：事實(shí)上f(k+1)不但比f（k）多一項(xiàng)，而且前k項(xiàng)中每一項(xiàng)分別比f（k）中多了1,2,3,4kf(k+1)=f(k)+1+2+3+k第25頁/共30頁證明：設(shè)f(n)=(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立12) 1()2(3) 1(21 nnnnn(2)設(shè)當(dāng)nk,時(shí)等式成立，即) 2)(1(61)(kkkkf則n=k+1時(shí)，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k

13、+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61kkkkkkkk由（1）（2）可知當(dāng)nN*時(shí)等式都成立。第26頁/共30頁歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想： 在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運(yùn)用“有限”的手段來解決“無限”的問題數(shù)學(xué)歸納法的核心: 在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程.所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍。課堂小結(jié)第27頁/