概率論與統(tǒng)計(jì)1-2 事件的關(guān)系和運(yùn)算

1、一、一、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算第二節(jié) 事件的關(guān)系和運(yùn)算二、小結(jié)與思考題二、小結(jié)與思考題第一章一、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算一、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) = 基本事件基本事件樣本空間樣本空間 = 全體樣本點(diǎn)全體樣本點(diǎn)= 必然事件必然事件隨機(jī)事件是由具有某些特征的基本事件隨機(jī)事件是由具有某些特征的基本事件所組成，所以所組成，所以隨機(jī)事件隨機(jī)事件 = 樣本空間樣本空間 的一個(gè)子集的一個(gè)子集.如：如：個(gè)個(gè)外外形形設(shè)設(shè)袋袋中中有有袋袋中中摸摸球球10.:2E從從中中，字字相相同同的的球球，分分別別標(biāo)標(biāo)有有數(shù)數(shù).1021.所所標(biāo)標(biāo)的的數(shù)數(shù)字字任任意意摸摸一一球球，觀觀察察球球上

2、上記記 i“摸到標(biāo)號(hào)為摸到標(biāo)號(hào)為i的球的球” (i=1,2,10)則樣本點(diǎn)為：則樣本點(diǎn)為： = i 樣本空間：樣本空間： =1,2,10事件事件D=球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)=1，3，5，7，9F=球的標(biāo)號(hào)球的標(biāo)號(hào)5=1，2，3，4，5 FD,D, F均是均是 的子集的子集.1.運(yùn)算運(yùn)算(有有3種）種） 運(yùn)算運(yùn)算 符號(hào)符號(hào) 概率論概率論集合論集合論Venn圖圖 BA和和差差BA 事件事件A發(fā)生發(fā)生而而B不發(fā)生不發(fā)生積積ABBA或或事件事件A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生A與與B的并集的并集A與與B的差集的差集A與與B的交集的交集事件事件A與與B至少至少有一個(gè)發(fā)生有一個(gè)發(fā)生事件事件 A 與與 B 的并

3、的并(和事件和事件).|. ,BeAeeBABABABA 或或，顯顯然然記記作作的的與與事事件件稱稱為為事事件件個(gè)個(gè)事事件件至至少少發(fā)發(fā)生生一一個(gè)個(gè)”也也是是一一“二二事事件件和和事事件件實(shí)例實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定直徑是否合格所決定,因此因此 “產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格”是是“長度長度不合格不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.圖示事件圖示事件 A 與與 B 的并的并. BABA事件事件 A 與與 B 的差的差圖示圖示 A 與與 B 的差的差A(yù)B AB 實(shí)例實(shí)例 “長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格”是是“長度

4、合格長度合格” 與與“直徑合格直徑合格”的差的差. 由事件由事件 A 出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件 B 不出現(xiàn)所組成的不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件事件稱為事件 A 與與 B 的差的差. 記作記作 A- - B. AABBA ABB 事件事件 A 與與 B 的交的交 (積事件積事件).ABBA或或積事件也可記作積事件也可記作 .| ,BeAeeBABABABA 且且，顯顯然然記記作作的的與與事事件件事事件件稱稱為為也也是是一一個(gè)個(gè)事事件件同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生二二事事件件積積事事件件, ,圖示事件圖示事件A與與B 的積的積事件事件.實(shí)例實(shí)例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度

5、與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”是是“長度合格長度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件. ABAB 推廣推廣.,:21121中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生nininAAAAAAA .,:21121中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生niinAAAAAAA .,:21121同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生nininAAAAAAA .,:21121同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生niinAAAAAAA 2.關(guān)系關(guān)系(有有4種）種）關(guān)系關(guān)系 符號(hào)符號(hào) 概率論概率論集合論集合論VennVenn圖圖包含包含BA A發(fā)生則發(fā)生則B必發(fā)生必發(fā)生A是是B的的子集子集等價(jià)等價(jià)BA BA A

6、B 且且A與與B相等相等互斥互斥(互不互不相容相容) AB事件事件A與與B不不能同時(shí)發(fā)生能同時(shí)發(fā)生A與與B不不相交相交對(duì)立對(duì)立(互逆互逆)AA A的對(duì)立事件的對(duì)立事件A A的余集的余集 AA AAA若事件若事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn), 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 B 出現(xiàn)出現(xiàn) , 則稱則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A, 記作記作.BAAB 或或?qū)嵗龑?shí)例 “長度不合格長度不合格” 必然導(dǎo)致必然導(dǎo)致 “產(chǎn)品不合產(chǎn)品不合格格”所以所以“產(chǎn)品不合格產(chǎn)品不合格” 包含包含“長度不合格長度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A. 包含關(guān)系包含關(guān)系BA事件事件 A 與與 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件

7、A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn), B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱事件則稱事件 A與與B互不相互不相容容, 即即. ABBA實(shí)例實(shí)例 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面出現(xiàn)花面” 與與 “出現(xiàn)字面出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個(gè)事件是互不相容的兩個(gè)事件.“骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)” “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)”圖示圖示 A與與B互互斥斥 AB互斥互斥實(shí)例實(shí)例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . 說明說明 當(dāng)當(dāng)A B= 時(shí)時(shí),可將可將A B記為記為“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A與不可能事件與不可能事件為互斥為

8、互斥. 設(shè)設(shè) A 表示表示“事件事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn)”, 則則“事件事件 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn)”稱為事件稱為事件 A 的的對(duì)立事件或逆事件對(duì)立事件或逆事件. 記作記作.A實(shí)例實(shí)例 “骰子出現(xiàn)骰子出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)” “骰子不出現(xiàn)骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立. BA 若若 A 與與 B 互逆互逆,則有則有. ABBA且A對(duì)立對(duì)立事件事件 A 的對(duì)立（互逆）事件的對(duì)立（互逆）事件注注. 1 互斥與互逆的關(guān)系互斥與互逆的關(guān)系互逆互逆 互斥互斥如：對(duì)于如：對(duì)于，2E5,2 BA AB互互斥斥與與BA但但 10, 2, 15 , 2 BA不互逆不互逆與與BA.1086429 , 7 , 5

9、, 3 , 1互逆互逆，與與 GD2 必然事件必然事件 與不可能事件與不可能事件互逆互逆.對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別 ABABA A、B 對(duì)立對(duì)立A、B 互斥互斥 . ABBA且, AB互互 斥斥對(duì)對(duì) 立立3. 運(yùn)算法運(yùn)算法ABBA )1(:. 1 交換律交換律BAAB )2()()()1(:. 2CBACBA 結(jié)合律結(jié)合律)()()2(BCACAB )()()2(CBCACAB BCACCBA )()1(:. 3 分配律分配律)()(CABABCA )(CA)(CBACBAB)(ABC= =CAB )()(CBCA4. 對(duì)偶律對(duì)偶律(De Morgan定理定理)BABA

10、 )1(意義：意義： “A，B至少有一發(fā)生至少有一發(fā)生”的對(duì)立事件的對(duì)立事件是是“A，B均不發(fā)生均不發(fā)生”.BAAB )2(意義：意義：“A，B均發(fā)生均發(fā)生”的對(duì)立事件是的對(duì)立事件是“A，B至少有一個(gè)不發(fā)生至少有一個(gè)不發(fā)生”.推廣：推廣：niiniiAA11 niiniiAA11 5. .AABBBABA ，則，則若若特別地，特別地，AA,A A=，AA 3例例1 設(shè)設(shè) A，B為隨機(jī)事件，證明：為隨機(jī)事件，證明：(1) A-B=A-AB(2)ABBABAABABA ABAABA )1(證證)(BABA )(BAA BAAABABABA ABAABA )2()(AABA )(BABA ABBAB

11、A ABABABBA )(BAABA 例例2 下列命題是否正確？下列命題是否正確？BAAB )1(A，B至少有至少有一個(gè)不發(fā)生一個(gè)不發(fā)生A，B均不均不發(fā)生發(fā)生BABA )()2(解解 不正確不正確.BBAABA )(一般地，一般地，AB-AAB特別地，特別地，BBABA ，則則若若從而從而BBAABA )(BCBACAB )()3(解解 正確正確.BCBABCBA )(CBBA )(CBBA CBABBA =CBACBA )(CAB 例例3 設(shè)設(shè)A A，B B，C C為三個(gè)事件，試用這三個(gè)事件為三個(gè)事件，試用這三個(gè)事件的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：.)1(都都不不發(fā)發(fā)生生，發(fā)

12、發(fā)生生，而而CBA可表示為：可表示為：CBA或或CBA.)2(中中恰恰有有一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生，CBA可表示為：可表示為：CBACBACBA .)3(中中恰恰有有兩兩個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生，CBA可表示為：可表示為：BCACBACAB ABCACBCAB 或或.)4(中中不不多多于于一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生，CBA可表示為：可表示為：CBACBACBACBA .ACBCAB或或例例4 在計(jì)算機(jī)系學(xué)生中任選一名學(xué)生，設(shè)事件在計(jì)算機(jī)系學(xué)生中任選一名學(xué)生，設(shè)事件A=“選出的學(xué)生是男生選出的學(xué)生是男生”；B=“選出的學(xué)生是三年級(jí)學(xué)生選出的學(xué)生是三年級(jí)學(xué)生”；C=“選出的學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員選出的學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員”.)1(的的含含義義敘

13、敘述述事事件件CAB成成立立？在在什什么么條條件件下下，CABC )2(成成立立？什什么么時(shí)時(shí)候候關(guān)關(guān)系系BC )3(解解CAB)1(的含義是的含義是“選出的學(xué)生是三年級(jí)選出的學(xué)生是三年級(jí)的男生，但他不是運(yùn)動(dòng)的男生，但他不是運(yùn)動(dòng)員員”.CABC )2(的充要條件是：的充要條件是：CABC ABCC ABABC 又又的充要條件是：的充要條件是：CABC ABC ABC 即即“計(jì)算系學(xué)生中的運(yùn)動(dòng)員都是計(jì)算系學(xué)生中的運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)的男生三年級(jí)的男生”.成成立立？什什么么時(shí)時(shí)候候關(guān)關(guān)系系BC )3(解解 當(dāng)運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)的學(xué)生時(shí)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)的學(xué)生時(shí)，C是是B的子事件，即的子事件，即.成成立

14、立BC 設(shè)設(shè)A,B,C 表示三個(gè)隨機(jī)事件表示三個(gè)隨機(jī)事件, ,試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現(xiàn)出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn)都出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(3) 三個(gè)事件都出現(xiàn)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4) 三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);練習(xí)練習(xí)1(7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(8) 三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9) A, B 至少有一個(gè)出現(xiàn)至少有一個(gè)出現(xiàn), C 不出現(xiàn)不出現(xiàn);(10) A, B, C 中恰好有兩個(gè)出現(xiàn)中恰好有兩個(gè)出現(xiàn).解解

15、CBA)(1;)(CABorCAB2;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);CBAor);(CBAor;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA (1)沒有一個(gè)是次品沒有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品恰好有三個(gè)是次品; (6)至多有一個(gè)是次品至多有一個(gè)是次品.解解;)1(4321AAAA:)

16、4 , 3 , 2 , 1(,下下列列各各事事件件表表示示試試用用個(gè)個(gè)零零件件是是正正品品產(chǎn)產(chǎn)的的第第表表示示他他生生零零件件設(shè)設(shè)一一個(gè)個(gè)工工人人生生產(chǎn)產(chǎn)了了四四個(gè)個(gè)iiAiiA 練習(xí)練習(xí)24321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA ;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA 4321432143214321 )5(AAAAAAAAAAAAAAAA .)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 二、小結(jié)二、小結(jié) 概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記號(hào)記號(hào)概率論概率論集合論集合論樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的對(duì)