解析幾何課4旋轉面等課件

1、第四章第四章 柱面錐面旋轉曲面柱面錐面旋轉曲面 與二次曲面與二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋轉曲面旋轉曲面4.2 錐面錐面 4.4 橢球面橢球面 4.5 雙曲面雙曲面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: 定義定義4.1.14.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為的直線所形成的曲面稱為柱面柱面. .這條定曲線叫這條定曲線叫柱面的柱面的準線準線，動直線叫柱面動直線叫柱面的的母線母線.母線母線準準線線上一頁下一頁返回4.1 4.1 柱面柱面柱面舉例：柱面舉例：xozyxozyyx22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面yx22 xy 拋物柱面拋物柱面方程

2、：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )0 ,(1yxM上一頁下一頁返回從柱面方程看從柱面方程看柱面的特征柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線 C:0),( yxF. （其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面，橢圓柱面，x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 ，zpzx22 拋物柱面，拋物柱面，y母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸上一頁下一頁返回1. 橢圓柱面橢圓柱面12222 byaxxyzO

3、2. 雙曲柱面雙曲柱面12222 byaxxozy上一頁返回 定義定義4.2.14.2.1 通過一定點且與定曲線相交的一通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面錐面. .這些直線都叫做錐面的這些直線都叫做錐面的母線母線. .那個定點叫做錐面的那個定點叫做錐面的頂點頂點. .4.2 4.2 錐面錐面下一頁返回 n次齊次方程次齊次方程 F(x,y,z)= 0 的圖形是以原點為頂點的錐面的圖形是以原點為頂點的錐面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齊次方程次齊次方程： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若準線準線頂點頂點 錐面是直紋面錐面是直紋

4、面x0z y 錐面的準線不錐面的準線不唯一，和一切母線唯一，和一切母線都相交的每一條曲都相交的每一條曲線都可以作為它的線都可以作為它的母線母線.上一頁下一頁返回請同學們自己用截痕法請同學們自己用截痕法研究其形狀研究其形狀.0222222 czbyax橢圓錐面橢圓錐面上一頁下一頁返回xozy解解 yoz面上直線方程為面上直線方程為 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 2222yxaz 或或上一頁返回 定義定義4.3.1 以一條曲線繞其一條定直線旋以一條曲線繞其一條定直線旋轉一周所產(chǎn)生的曲面稱為轉一周所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面或稱或稱回旋回旋曲面曲面. .這條定直線

5、叫旋轉曲面的這條定直線叫旋轉曲面的旋轉軸旋轉軸這條曲線叫旋轉曲面的這條曲線叫旋轉曲面的母線母線4.3 4.3 旋轉曲面旋轉曲面下一頁返回曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸上一頁下一頁返回曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞z軸軸.上一頁下一頁返回曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S上一頁下一頁返回曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉一周得旋轉一周得旋轉曲面旋轉曲面 SxCSMN), 0(1

6、1zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S上一頁下一頁返回xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz （2）點點M到到z軸軸的的距距離離|122yyxd 建立旋轉曲面的方程：建立旋轉曲面的方程：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程上一頁下一頁返回 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zy

7、f繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf上一頁下一頁返回例例1 1 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程生成的旋轉曲面的方程（1）xOz 面上雙曲線面上雙曲線12222 czax分別繞分別繞 x軸和軸和 z軸；軸； 繞繞x軸軸旋旋轉轉122222 czyax旋轉雙葉雙曲面旋轉雙葉雙曲面yzoxyzox上一頁下一頁返回繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czayx（1）xOz 面面上上雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞 x軸軸和和 z軸軸； xyoz xyoz旋轉單葉雙曲面旋轉單葉雙曲面上一頁下

8、一頁返回（2）yOz 面面上上橢橢圓圓12222 czay 繞繞 y軸軸和和 z軸軸； 繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面xyzxyz上一頁下一頁返回（3）yOz 面上拋物線面上拋物線pzy22 繞繞 z軸；軸； pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面xyzoxyzo0 p上一頁下一頁返回幾種 特殊旋轉曲面v1 雙葉旋轉曲面v2 單葉旋轉曲面v3 旋轉錐面v4 旋轉拋物面v5 環(huán)面上一頁下一頁返回x zbyax 雙曲線雙曲線0y1 1 繞繞 x 軸一周軸一周上一頁下一頁返回x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一

9、周1 1 上一頁下一頁返回x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉轉雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線1 1 .繞繞 x 軸一周軸一周上一頁下一頁返回axyo2 2 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 上一頁下一頁返回axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 2 2 上一頁下一頁返回a.xyoz 得單葉旋轉雙曲面得單葉旋轉雙曲面122222 byazx.2 2 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 上一頁下一頁返回 0 0 2222 =z=byax3 3 旋轉錐面旋轉錐面兩

10、條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo上一頁下一頁返回 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz3 3 旋轉錐面旋轉錐面上一頁下一頁返回x yoz 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉錐面得旋轉錐面022222 bzyax.3 3 旋轉錐面旋轉錐面上一頁下一頁返回yoz 02 xazy4 4 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周上一頁下一頁返回yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周4 4 上一頁下一頁返回yayxz22 .oxz生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個

11、曲面嗎？.4 4 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉拋物面得旋轉拋物面上一頁下一頁返回例例.上一頁下一頁返回5 5yxorR)0()222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉所成曲面旋轉所成曲面上一頁下一頁返回5 5z繞繞 y軸軸 旋轉所成曲面旋轉所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓上一頁下一頁返回5 5z繞繞 y軸軸 旋轉所成曲面旋轉所成曲面22222)(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程.生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圓圓上一頁下一頁返回.5 5 上一

12、頁返回二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之為三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面二次曲面相應地平面被稱為相應地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面形狀的討論二次曲面形狀的截痕法截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面二次曲面4.4 4.4 橢球面橢球面下一頁返回1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用

13、y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo橢球面橢球面上一頁下一頁返回橢球面的方程ozyx1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標面三個坐標面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢球面橢球面上一頁下一頁返回橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為的交線為橢圓橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是的交線也是橢圓橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1上一頁下一頁返回橢球面的

14、幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉橢球面旋轉橢球面 012222yczax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉而成軸旋轉而成z旋轉橢球面旋轉橢球面與與橢球面橢球面的的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz 上一頁下一頁返回,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為上一頁返回單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1）用坐標面）用坐標面 與與 曲面相截截得中心

15、在原點曲面相截截得中心在原點 )0( zxoy的的橢圓橢圓)0 , 0 , 0(O 012222zbyax一、單葉雙曲面一、單葉雙曲面4.5 4.5 雙曲面雙曲面下一頁返回與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz上一頁下一頁返回單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz（3）用坐標面）用坐標面 ，與曲面相截，與曲面相截)0( xyoz均可得雙曲線均可得雙曲線.上一頁下一頁返回二、雙葉雙曲面二、雙葉雙曲面1222222 czbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz上一頁下一頁返回 1222222 czbyax122222