數(shù)學建模1例題解析

1、1.貸款問題小王夫婦計劃貸款20萬元購買一套房子，他們打算用20年的時間還清貸款。目前，銀行的利率是0.6%/月。他們采用等額還款的方式(即每月的還款額相同)償還貸款。(1)在上述條件下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計付了多少利息？(2)在貸款滿5年后，他們認為他們有經(jīng)濟能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們在第6年初，應一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？(3)如果在第6年初，銀行的貸款利率由0.6%/月調到0.8%/月，他們仍然采用等額還款的方式，在余下的15年內將貸款還清，那么在第6年后，每月的還款額應是多少？(4)某借貸公司的廣告稱，對于貸款期在20年以上的客戶，他們幫

2、你提前三年還清貸款。但條件是：(i)每半個月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的1/2；(ii)因為增加必要的檔案、文書等管理工作，因此要預付給借貸公司貸款總額10%的傭金。試分析，小王夫婦是否要請這家借貸公司幫助還款。解答：(1)貸款總月數(shù)為N=20*12=240，第240個月的欠款額為0，即AN=0。利用式子x=A0r(1+r)N(1+r)N-1=200000×0.006×(1+0.006)240(1+0.006)240-1=1574.699=1574.70(元)，即每個月還款1574.70元，共還款1574.70×240=377928.

3、00(元)，共計付利息177928.00元。(2)貸款5年(即5*12=60個月)后的欠款額為A60，利用公式：Ak=A0(1+r)k-x1+rk-11+r-1，所以，A60=200000×(1+0.006)60-1574.70×1+0.00660-10.006=173034.90(元)(3) A60=173034.90元，即第六年初，貸款利率0.8%，所以余下的15年，每個月還款額為：x=A60r(1+r)N(1+r)N-1=173034.9×0.008×(1+0.008)180(1+0.008)180-1=1817.33(元)(4)按照借貸公司的條件

4、(i)每半個月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的12，付款的時間縮短，但是前17年的付款總額不變。幫忙提前三年還清需要資金數(shù)：A204=200000×(1+0.006)204-1574.70×1+0.006204-10.006=50847.64(元)。對于條件(ii)傭金數(shù)：A0×10%=20000(元)分析：因為預付傭金20000元，按照銀行存款利率0.6%/月，17年的存款本息為20000×1+0.006×204=44480元<50847.64(元)即在第17年需要給付借貸公司的錢少于給付銀行的錢。所以建議請這

5、家借貸公司幫助還款。2.冷卻定律與破案按照Newton冷卻定律，溫度為T的物體在溫度為T0(T0<T)的環(huán)境中冷卻的速度與溫差T-T0成正比。用此定律建立相應的微分方程模型。凌晨某地發(fā)生一起兇殺案，警方于晨6時到達案發(fā)現(xiàn)場，測得尸溫26，室溫10，晨8時又測得尸溫18。若近似認為室溫不變，估計兇殺案的發(fā)生時間。解答：根據(jù)Newton冷卻定律，可知溫度T的微分方程為：dTdt=kT-T0此方程為一階線性微分方程，其通解為：T=Cekt+T0根據(jù)題目已知：T0=10，t=6時，T=26；t=8，T=18；帶入通解中得：26=Ce6k+1018=Ce8k+10解得：k=-0.3466，C=12

6、8.027?？芍猅=128.027e-0.3466t+10人體正常體溫為37，令T=37，得t=4.49，可估計兇殺發(fā)生時間為3:29。3.鍛煉想象力、洞察力和判斷力的問題(只簡單回答出理由即可)(1)某人早8時從山下旅店出發(fā)沿一條山路上山，下午5時到達山頂并留宿，次日8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店。該人必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點，為什么？(2)甲乙兩站之間有汽車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻不一定相同。甲乙兩站之間有一中間站丙，某人每天在隨機時刻到達丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車。結果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，大約10天到達乙站。問開往甲乙兩

7、站的汽車經(jīng)過兩站的時刻表是如何安排的？(3)張先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城際火車于18:00抵達A市火車站，他妻子駕車至火車站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火車于17:30抵達A市火車站，隨即步行回家，他妻子像往常一樣駕車前來，在半路相遇將他接回家。到家時張先生發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問張先生步行了多長時間？(4)一男孩和一女孩分別在距家2公里和1公里，方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以每小時4公里和每小時2公里的速度步行回家.一小狗以每小時6公里的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中.問小狗奔波了多少路程.如果男孩和女孩上學時，小狗也

8、往返奔波在他們中間，問當他們到達學校時小狗在何處?解答(1)因為此人在兩天的上下山的過程中所走過路程相同，所用時間相同，所以兩天的過程如果發(fā)生在同一天，此人一定會在某一時間碰到另一個自己。也就是說如果是兩個人，兩人一定會在某一時間相遇，也即題目所說同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點。(2)設從甲站出發(fā)的車為甲車，乙站出發(fā)的車為乙車。因為每隔十分鐘甲乙兩站就互發(fā)一趟車，此人在丙站點等車，有0.9的概率等到的是甲車，0.1的概率等到的是乙車。即可知甲車與乙車到達中間站丙的時間間隔為一分鐘或者九分鐘，即過九分鐘甲車通過，過一分鐘乙車通過，再過九分鐘甲車通過，依次類推。假設甲乙車從車站到達中間站丙的時間相同

9、，那么甲車發(fā)車一分鐘后乙車發(fā)車，即可達到題目要求。(3)張先生步行了25分鐘。假設從家開車到車站所用時間為t，即可知其妻子從家出發(fā)時間為18:00-t，經(jīng)過時間t到車站，接張先生再經(jīng)過時間t到家，即到家時間為18:00+t。張先生提前下班，17:30到達車站，設張先生步行時間為x，妻子從家出發(fā)時間為18:00-t，半路相遇后接回家比往常提前10分鐘，可知妻子所用時間為2t-10，單程時間為t-5?？闪械仁剑?7:30+x+t-5=18:00+t-10解得x=25分鐘。(4)兩人回家所用時間相同，為0.5小時，小狗速度為每小時6公里，往返總路程為6×0.5=3公里。如果男孩和女孩上學時

10、，他們到達學校時小狗與男孩同時到達男孩的學校。分析：如果男孩和女孩上學時，小狗往返的路程仍為3公里。此過程與放學過程為相反的兩個過程，放學時，小狗從男孩處奔向女孩，最后男孩、女孩和小狗同時到家，逆過程為同時出發(fā)，最終小狗和男孩一起到達學校。4考試作弊情況調查一位教授要估算他班上的大三和大四高年級學生在大學期間的考試中從未作弊的概率，為了從學生那里得出真實的答案，他要求每個學生自己投擲一枚硬幣，如果正面朝上，回答問題1：“你是即將畢業(yè)的大四學生嗎？”；如果是正面朝下，回答問題2：“你曾經(jīng)在考試中做過弊嗎？”。每個學生在一張紙上回答“是”或“否”，然后回收這張紙，由教授來統(tǒng)計。答案是保密的，因為只有學生自己知道他回答的是哪一個問題。在參與這項試驗的35名學生中，有20名大四學生，試驗統(tǒng)計結果表明，有18名學生回答“是”，17名學生回答“否”利用這些信息估計該班的任何一名學生在過去的考試中從未作弊的概率。解答：此問題為不相關問題，根據(jù)不相關問題模型可知：=p+(1-p)B其中，=回答“是”的概率