彈性力學(xué)-2012-21

1、1武漢理工大學(xué)工程結(jié)構(gòu)與力學(xué)系武漢理工大學(xué)工程結(jié)構(gòu)與力學(xué)系翟鵬程 2第六章第六章 溫度應(yīng)力的平面問題溫度應(yīng)力的平面問題3一、關(guān)于溫度場(chǎng)和熱傳導(dǎo)的一些概念一、關(guān)于溫度場(chǎng)和熱傳導(dǎo)的一些概念4（1） 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力當(dāng)彈性體的當(dāng)彈性體的溫度改變溫度改變時(shí)，由于時(shí)，由于受到約束作用受到約束作用，造成彈，造成彈性體不能自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。性體不能自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。 稱為稱為溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力或或變溫應(yīng)力變溫應(yīng)力溫度應(yīng)力產(chǎn)生的條件：溫度應(yīng)力產(chǎn)生的條件：溫度改變；溫度改變；受到約束作用，物體不能自由變形。受到約束作用，物體不能自由變形。（2） 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)熱量從物體的一部分傳遞到

2、另一部分，或從一個(gè)物體熱量從物體的一部分傳遞到另一部分，或從一個(gè)物體傳入與之相接觸的另一物體。傳入與之相接觸的另一物體。 稱為熱傳導(dǎo)稱為熱傳導(dǎo)5穩(wěn)定穩(wěn)定溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)：若物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度若物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度只隨位置（坐標(biāo)）而變化只隨位置（坐標(biāo)）而變化，不隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)。，不隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)。即：即：0),(ttzyxT不穩(wěn)定不穩(wěn)定溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)： 穩(wěn)定溫度場(chǎng)也稱穩(wěn)定溫度場(chǎng)也稱定常溫度場(chǎng)定常溫度場(chǎng)。若物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度若物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度不僅隨位置（坐標(biāo)）而變化不僅隨位置（坐標(biāo)）而變化，而且隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)。，而且隨時(shí)間而變化的溫度場(chǎng)。 不穩(wěn)定溫度場(chǎng)也稱不穩(wěn)定溫度場(chǎng)也稱非定常溫度場(chǎng)非定常

3、溫度場(chǎng)。平面穩(wěn)定平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)：溫度場(chǎng)：),(tyxTT 0),(ttyxT,z)t , y, x(T0（3 3） 溫度場(chǎng)及其描述溫度場(chǎng)及其描述任一瞬時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度隨位置（坐標(biāo)）的分布規(guī)律，稱為該瞬時(shí)的任一瞬時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度隨位置（坐標(biāo)）的分布規(guī)律，稱為該瞬時(shí)的溫度場(chǎng)。溫度場(chǎng)。),(tzyxTT 6（4 4） 等溫度面等溫度面任一瞬時(shí)，連接場(chǎng)內(nèi)溫度相同的各點(diǎn)，得任一瞬時(shí)，連接場(chǎng)內(nèi)溫度相同的各點(diǎn)，得到的曲面，稱為該瞬時(shí)的等溫面。到的曲面，稱為該瞬時(shí)的等溫面。圖中虛線表示相差為圖中虛線表示相差為T 的一些等溫面。的一些等溫面。等溫度面的性質(zhì)：等溫度面的性質(zhì)：（a）沿等溫面，溫度不變；而沿

4、其它面，）沿等溫面，溫度不變；而沿其它面，溫度都為變化的。溫度都為變化的。（b）沿等溫面的法線方向，溫度的變化）沿等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。率最大。7（5 5） 溫度梯度溫度梯度為表示溫度為表示溫度 T 在某一點(diǎn)在某一點(diǎn) P 處的變化率，在處的變化率，在 P 點(diǎn)取一點(diǎn)取一矢量矢量，稱為，稱為溫度梯溫度梯度，度， 用用T 表示。表示。 T：沿等沿等溫面的法線方向，即指溫度增加的方向；溫面的法線方向，即指溫度增加的方向；方向：方向：大?。捍笮。簄T取等溫面的法線方向單位矢量為取等溫面的法線方向單位矢量為 n0，沿溫度增加方向。，沿溫度增加方向。則則溫度梯度可表示為：溫度梯度可表示為：nT

5、0nT溫度梯度的物理意義：溫度梯度的物理意義：溫度梯度代表該點(diǎn)的最大溫度變化率的溫度梯度代表該點(diǎn)的最大溫度變化率的方向方向和和大小大小。溫度梯度的投影：溫度梯度的投影：),cos(xnnT),cos(ynnT),cos(znnTxTyTzT8（6 6） 熱流速度與熱流密度熱流速度與熱流密度熱流速度：熱流速度：單位時(shí)間內(nèi)通過等溫面面積單位時(shí)間內(nèi)通過等溫面面積S 的熱量，的熱量，dtdQ用用表示。表示。熱流密度或熱通量：熱流密度或熱通量：通過等溫面單位面積的熱流速度，用通過等溫面單位面積的熱流速度，用 q 表示表示熱流密度的大小熱流密度的大小，則有，則有SdtdQq/熱流密度的熱流密度的矢量表示矢

6、量表示：SdtdQ/0nqn0 為溫度梯度方向的單位矢量。為溫度梯度方向的單位矢量?！啊北硎緹崃髅芏鹊谋硎緹崃髅芏鹊氖噶勘硎臼噶勘硎緌 的方向的方向總是與溫度梯度的方向相反。即：熱量總是與溫度梯度的方向相反。即：熱量總是由高溫面?zhèn)鞯降蜏孛?。總是由高溫面?zhèn)鞯降蜏孛?。? 7） 熱傳導(dǎo)基本定律熱傳導(dǎo)基本定律熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反。即。即Tq 富里葉（富里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律）熱傳導(dǎo)定律式中，比例常數(shù)式中，比例常數(shù) 稱為稱為導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)（熱導(dǎo)率熱導(dǎo)率，Thermal Conductivity），可表示為，可表示為SnTdtdQ/由此可見

7、，由此可見，導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù) 的物理意義為的物理意義為：單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度。單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度。 的量綱：的量綱：熱量熱量長度長度1時(shí)間時(shí)間 1溫度溫度 1熱流密度的大?。簾崃髅芏鹊拇笮。簄Tq10同理，熱流密度矢量同理，熱流密度矢量 q 在在 y 軸、軸、 z 軸上的投影為軸上的投影為,xTqx,yTqy,zTqz表明：熱流密度矢量表明：熱流密度矢量 q 在任一方向上的投影，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以在任一方向上的投影，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向上的遞減率。溫度在該方向上的遞減率。熱流密度矢量熱流密度矢量 q 在在 x 軸上的投影為軸上的投影為),co

8、s(xqqxq),cos(xnTq),cos(0 xnTnxT11二、熱傳導(dǎo)微分方程二、熱傳導(dǎo)微分方程12（1） 熱平衡原理熱平衡原理在任意一段時(shí)間內(nèi)，物體的在任意一段時(shí)間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量任一微小部分所積蓄的熱量（亦即溫度升高（亦即溫度升高所需的熱量），等于所需的熱量），等于傳入該微小部分的熱量傳入該微小部分的熱量加上加上內(nèi)部熱源所供給的熱量內(nèi)部熱源所供給的熱量。（2 2） 溫度升高積蓄的熱量溫度升高積蓄的熱量zxyOzxydxdzdy取如圖微元體取如圖微元體 dxdydz ，設(shè)微元體在，設(shè)微元體在dt 時(shí)間內(nèi)，溫度由時(shí)間內(nèi)，溫度由 T 升高到：升高到：dttTT由于溫度升高

9、，微元體積蓄的熱量為：由于溫度升高，微元體積蓄的熱量為：dttTdxdydzc式中，式中，為材料的密度；為材料的密度； c 為材料的為材料的比熱容，即單位質(zhì)量的物體溫度升高比熱容，即單位質(zhì)量的物體溫度升高 1所需的熱量；所需的熱量；13zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx（3） 熱流傳入的熱量熱流傳入的熱量在在dt 時(shí)間內(nèi)，微元體時(shí)間內(nèi)，微元體 dxdxydz 的左的左面?zhèn)魅氲臒崃浚好鎮(zhèn)魅氲臒崃浚篸ydzdtqx在在dt 時(shí)間內(nèi)，微元體時(shí)間內(nèi)，微元體 dxdxydz 的右的右面?zhèn)鞒龅臒崃浚好鎮(zhèn)鞒龅臒崃浚篸ydzdtdxxqqxx在在dt 時(shí)間內(nèi)，微元體時(shí)間內(nèi)，微元體 dxdxydz 凈

10、傳入凈傳入的熱量：的熱量：dxdydzdtxqx由熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有由熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有,22dxdydzdtxTdxdydzdtxqx同理，可得微元同理，可得微元體從其它兩個(gè)方向凈體從其它兩個(gè)方向凈傳入的熱量：傳入的熱量：,22dxdydzdtyTdxdydzdtyqydxdydzdtzTdxdydzdtzqz2214在在dt 時(shí)間內(nèi)，微元體時(shí)間內(nèi)，微元體 dxdxydz 凈傳入凈傳入的總熱量：的總熱量：dxdydzdtzTyTxT222222Tdxdydzdt2（4） 物體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量物體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量設(shè)熱源強(qiáng)度為：設(shè)熱源強(qiáng)度為：W（單位時(shí)間、單位體積內(nèi)供給的熱量

11、），（單位時(shí)間、單位體積內(nèi)供給的熱量），熱源供給微元體熱源供給微元體 dxdxydz 熱量：熱量：則則dt時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，Wdxdydzdt熱源：熱源：（1 1）供熱的熱源）供熱的熱源 正熱源正熱源，如金屬通電發(fā)熱、混凝土硬化，如金屬通電發(fā)熱、混凝土硬化時(shí)發(fā)熱、水份結(jié)冰時(shí)發(fā)熱等；時(shí)發(fā)熱、水份結(jié)冰時(shí)發(fā)熱等；（2 2）吸熱的熱源）吸熱的熱源 負(fù)熱源負(fù)熱源；如水蒸發(fā)時(shí)吸熱、冰粒溶解時(shí)；如水蒸發(fā)時(shí)吸熱、冰粒溶解時(shí)吸熱等。吸熱等。zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx15Tdxdydzdt2Wdxdydzdt（5） 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程由熱平衡原理，可知由熱平衡原理，可知dttTdxdyd

12、zc（溫度升高積蓄的熱量）（溫度升高積蓄的熱量）= = （熱流傳入的熱量）（熱源供給的熱量）（熱流傳入的熱量）（熱源供給的熱量） 將上式兩邊同除以：將上式兩邊同除以：,dxdydzdtc并移項(xiàng)整理得：并移項(xiàng)整理得：cWTctT2或簡寫為：或簡寫為：cWTatT2其中：其中：ca a 稱為稱為導(dǎo)溫系數(shù)導(dǎo)溫系數(shù)。單位：米單位：米2/時(shí)。時(shí)。 熱傳導(dǎo)微分方程。熱傳導(dǎo)微分方程。zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx說明：說明： 式中系數(shù)：式中系數(shù)：ac,均可近似地當(dāng)作常數(shù)，均可近似地當(dāng)作常數(shù)，但熱源強(qiáng)度但熱源強(qiáng)度 W 一般不能一般不能當(dāng)作常量，而必須是當(dāng)作常量，而必須是)(tWW 16三、溫度場(chǎng)

13、的邊值條件三、溫度場(chǎng)的邊值條件17cWTatT2熱傳導(dǎo)微分方程：熱傳導(dǎo)微分方程：cWTctT2或或1. 初始條件初始條件一般形式：一般形式：),(0zyxfTtt若初始為均勻分布，則：若初始為均勻分布，則：CTtt0其中：其中：C 為常數(shù)。為常數(shù)。由方程涉及的變量（由方程涉及的變量（t、x、y、z）初始條件初始條件可知，其定解條件：可知，其定解條件：、邊界條件。、邊界條件。18式中：式中：TS 為物體表面的溫度。為物體表面的溫度。CTs在最簡單的情況下有在最簡單的情況下有（C 為常數(shù)）為常數(shù)）此類邊界條件，需由人工來實(shí)現(xiàn)，如將物體與周圍介質(zhì)進(jìn)行特殊的熱交換過程。此類邊界條件，需由人工來實(shí)現(xiàn)，如

14、將物體與周圍介質(zhì)進(jìn)行特殊的熱交換過程。（2） 第二類邊界條件第二類邊界條件已知物體表面上任一點(diǎn)處已知物體表面上任一點(diǎn)處法向熱流密度法向熱流密度，即，即),(tzyxfqSn),(邊界Szyx其中：下標(biāo)其中：下標(biāo) s 表示表面；下標(biāo)表示表面；下標(biāo) n 表示法向。表示法向。由式（由式（6-1）：）：),(tzyxfqnTSnS),(邊界Szyx（1） 第一類邊界條件第一類邊界條件已知物體表面上任一點(diǎn)在所有各瞬時(shí)的溫度，即已知物體表面上任一點(diǎn)在所有各瞬時(shí)的溫度，即),(邊界Szyx),(tzyxfTs2. 邊界條件邊界條件對(duì)絕熱邊界，有對(duì)絕熱邊界，有0SnT19（3） 第三類邊界條件第三類邊界條件已

15、知物體表面上任一點(diǎn)處已知物體表面上任一點(diǎn)處運(yùn)流（對(duì)流）放熱情況運(yùn)流（對(duì)流）放熱情況。熱量的熱量的運(yùn)流（對(duì)流）定律運(yùn)流（對(duì)流）定律：單位時(shí)間內(nèi)從物體表面單位時(shí)間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度傳向周圍介質(zhì)的熱流密度與兩者的與兩者的溫度差成正比溫度差成正比)(eSSnTTq式中：式中： Te 為周圍介質(zhì)的溫度；為周圍介質(zhì)的溫度； 為運(yùn)流放熱系數(shù)，簡稱為運(yùn)流放熱系數(shù)，簡稱放熱系數(shù)放熱系數(shù)；利用熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有利用熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有)(eSSTTnT或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?(eSSTTnT（6-126-12）20考慮一種極限情況：考慮一種極限情況：周圍介質(zhì)的周圍介質(zhì)的熱流速度熱流速度

16、很大，運(yùn)流幾乎是完全的，則很大，運(yùn)流幾乎是完全的，則物體表面被迫取物體表面被迫取周圍介質(zhì)的溫度周圍介質(zhì)的溫度，此時(shí)可近似取：，此時(shí)可近似?。篹STT （6-136-13） 若式中，若式中，Te 是隨時(shí)間是隨時(shí)間 t 變化的函數(shù)，則式（變化的函數(shù)，則式（6-13）同第一類邊界條件。）同第一類邊界條件。若若Te 是不隨時(shí)間是不隨時(shí)間 t 變化，則式（變化，則式（6-13）同第一類邊界條件（）同第一類邊界條件（6-8）。）。（4） 第四類邊界條件第四類邊界條件已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換，且設(shè)兩物已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換，且設(shè)兩物體完全接觸，即物體表面

17、溫度體完全接觸，即物體表面溫度 TS 與接觸體表面溫度與接觸體表面溫度 Tc 相同，即相同，即cSTT （6-146-14） 類似于第一類邊界條件類似于第一類邊界條件)(eSSTTnT（6-126-12）213. 熱傳導(dǎo)方程的求解熱傳導(dǎo)方程的求解cWTatT2熱傳導(dǎo)微分方程：熱傳導(dǎo)微分方程：cWTctT2或或初始條件初始條件：),(0zyxfTtt邊界條件：邊界條件：（1） 第一類邊界條件：第一類邊界條件：),(tzyxfTs（2） 第二類邊界條件：第二類邊界條件：),(tzyxfqnTSnS),(邊界Szyx（3） 第三類邊界條件：第三類邊界條件：)(eSSTTnT（4） 第四類邊界條件：第

18、四類邊界條件：cSTT 通常溫度場(chǎng)問題的求解比較困難，尤其難以得到解析解。一般采用數(shù)通常溫度場(chǎng)問題的求解比較困難，尤其難以得到解析解。一般采用數(shù)值求解，如：值求解，如：有限差分法有限差分法，有限單元法有限單元法等。等。22四、熱彈性理論基本假定與控制方程四、熱彈性理論基本假定與控制方程23溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力當(dāng)彈性體的當(dāng)彈性體的溫度改變溫度改變時(shí)，由于時(shí)，由于受到約束作用受到約束作用，造成彈，造成彈性體不能自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。性體不能自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。 稱為稱為溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力或或變溫應(yīng)力變溫應(yīng)力溫度應(yīng)力產(chǎn)生的條件：溫度應(yīng)力產(chǎn)生的條件：溫度改變：溫度改變：參考溫度（零

19、應(yīng)力溫度）參考溫度（零應(yīng)力溫度）受到約束作用，物體不能自由變形。受到約束作用，物體不能自由變形。約束：外部約束、內(nèi)部約束約束：外部約束、內(nèi)部約束24說明：說明：在以后的討論中，在以后的討論中，T 表示溫度的改變，而不是某一點(diǎn)的溫度。表示溫度的改變，而不是某一點(diǎn)的溫度。升溫時(shí)，升溫時(shí)， T 為正；降溫時(shí)，為正；降溫時(shí)， T 為負(fù)。為負(fù)。1. 熱彈性問題的基本假定熱彈性問題的基本假定（1）材料在材料在熱學(xué)熱學(xué)和和力學(xué)力學(xué)意義上都是彈性的、均勻的、各向同性的。意義上都是彈性的、均勻的、各向同性的。即有材料常數(shù)均與位置、方向無關(guān)。即有材料常數(shù)均與位置、方向無關(guān)。（2）材料常數(shù)與溫度變化無關(guān)，或取平均值

20、；不考慮蠕變、松馳材料常數(shù)與溫度變化無關(guān)，或取平均值；不考慮蠕變、松馳和相變等發(fā)生。和相變等發(fā)生。（3）不考慮溫度變化速率所引起的慣性效應(yīng)。不考慮溫度變化速率所引起的慣性效應(yīng)。（4）不計(jì)變形與溫度變化之間的耦合效應(yīng)。不計(jì)變形與溫度變化之間的耦合效應(yīng)。 稱稱非耦合的線性熱彈性理論非耦合的線性熱彈性理論，簡稱，簡稱“熱彈性理論熱彈性理論”。252. 2. 熱彈性問題的基本方程熱彈性問題的基本方程（1）平衡微分方程、幾何方程、相容方程、邊界條件）平衡微分方程、幾何方程、相容方程、邊界條件00YyxXyxyxyyxxyuxvyvxuxyyx 幾何方程幾何方程 平衡微分方程平衡微分方程yxxyxyyx2

21、2222 相容方程相容方程vvuussYlmXmlsxysysxysx)()()()( 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件（2）物理方程）物理方程dxdzdyTdxdxTdydyTdzdzT自自由由變變形形從物體內(nèi)任取一微元體從物體內(nèi)任取一微元體 dxdxydz ，當(dāng)溫度升當(dāng)溫度升高高 T 度時(shí)，各邊的長度變形為度時(shí)，各邊的長度變形為TdxdxTdydyTdzdz其中，其中， 為線膨脹系數(shù)。為線膨脹系數(shù)。其熱應(yīng)變?yōu)槠錈釕?yīng)變?yōu)門zyx0zxyzxy（a）可見，可見，自由熱變形自由熱變形引起體積變形引起體積變形。其體積應(yīng)變：。其體積應(yīng)變：Tezyx3當(dāng)微元體的變形受到約束限制而不能自由發(fā)生，或同時(shí)受其它載荷作用時(shí)，當(dāng)微元體的變形受到約束限制而不能自由發(fā)生，或同時(shí)受其它載荷作用時(shí)，微元體的總應(yīng)變就由其它條件引起的應(yīng)變與溫度引起的應(yīng)變之和，即微元體的總應(yīng)變就由其它條件引起的應(yīng)變與溫度引起的應(yīng)變之和，即TEzyxx)(1TExzyy)(1TEyxzz)(1yzyzG1xyxyG1zxzxG1（6-15） 溫度應(yīng)力問題溫度應(yīng)力問題物理方