2018-2019學(xué)年上海市金山中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2018-2019學(xué)年上海市金山中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試一、單選題1 .拋物線y2 4 ax的準(zhǔn)線方程（）x 2aA. x aB. x aC. x 2aD【答案】B【解析】 根據(jù)拋物線的幾何特征，對(duì) a的正負(fù)值分類討論，即可求解 .【詳解】拋物線y2 4ax ,當(dāng)a 0時(shí)，準(zhǔn)線方程為x a,當(dāng)a 0時(shí)，此時(shí)p 2a,準(zhǔn)線方程為x p a,2所以拋物線y2 4ax的準(zhǔn)線方程為x a.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.第5頁(yè)共16頁(yè)2.已知 ABC中,uuv上的動(dòng)點(diǎn)，則BQA AB2Cuv的最小值為（ACA.4B.2【解析】 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系,1,點(diǎn)P是AB邊

2、上的動(dòng)點(diǎn),C.A 0,0 ，B 1,0 , C 0,1，設(shè)點(diǎn)Q是AC邊CP m n 2,故選：B【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀?！I 2 土3. P是雙曲線1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓腹+ 5> + >二.4和&-5»4二1上的點(diǎn)，則|曲詞二函|的最大值為d |)A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】可得雙曲線3= i的焦點(diǎn)分別為F(-5, 0),F式5, 0),由已知可得當(dāng)且僅當(dāng) P 與M、F三點(diǎn)共線以及P與N、此三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，可得答案.【詳解】解：易得雙曲線 工.£=的焦點(diǎn)分別為F1(-5, 0), F(5, 0),且這兩點(diǎn)剛好為兩圓的

3、圓心，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)p與M、pi三點(diǎn)共線以及p與N、p工三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)=：小：T廠% D =6+3=9【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，判斷P與M、"三點(diǎn)共線以及P與N、p/三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大是解題的關(guān)鍵.224.已知橢圓C: 1的左右頂點(diǎn)分別為 A、B, F為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓4322kPBx y4上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P, P不同于A、B兩點(diǎn)，直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q,則丁-kQF的取值范圍是()A.C., 1 U 0,1【答案】D3B.， 00 -4D.,001【解析】橢圓焦點(diǎn)在x軸上，由P在圓x2 y2 4 ,則PAPB,有,設(shè) Q(2cos,J3

4、sin ),求出LG ,SU，令 t 3'"4t 2 2t 2,分離3(1 t )常數(shù)，求解得出結(jié)論.【詳解】2橢圓C：421的左右頂點(diǎn)分別為A( 2,0), B(2,0), 3右焦點(diǎn)F (1,0)，點(diǎn)p圓x2y24上且不同于A, B ,PA PB, kpB kpA 1, kpB1kPAkPBkQFkQF設(shè) Q(2cos ,A/3sin ),"3 sin 3sin3(1 cos2 )kQF kPA22cos 2 2cos 1 4cos 2cos 2令t cos ( 1,1),2_2_kPB 4t2 2t 22 2(t2 1) t 14 21kQF3(1 t2)3t2

5、 13 3 t 1 kPB1 t 1, 2 t 10,I(,1)且不等于0.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、換元方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題二、填空題5 .雙曲線I '的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】試題分析：雙曲線 廠/一：中的曲:上 1,所以c =子所以焦點(diǎn)為.【考點(diǎn)】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).v6 .若直線x y 6 0的一個(gè)方向向量為d a, a 2，則實(shí)數(shù)a 【答案】1.【解析】求出直線的斜率，即可求解 .【詳解】x y 6 0斜率為1,v直線一個(gè)方向向量為 d a, a 2 ,a 21,解得a 1

6、.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查直線方向向量與直線方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題11 27,已知一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是，則0 1 2x y 【答案】6【解析】根據(jù)關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣，寫出方程組，求出方程組的解, 即可得到結(jié)論.【詳解】解：由題意關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是11 2 ,0 1 2x y 2 x 4可得關(guān)于x、y的二元線性方程組，可得 ，y 2y 2故 x y 6,故答案為：6.【點(diǎn)睛】 本題主要考查二元線性方程組的增廣矩陣的涵義，計(jì)算量小，屬于基礎(chǔ)題型8 .在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)2, t在直線x 2y 4 0的上方，則t的取值范圍是.【答

7、案】t 1.【解析】 根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，可得出關(guān)于t的不等式，即可求解.【詳解】點(diǎn) 2, t在直線x 2y 4 0的上方,所以 2 2t 4 0,t 1 .故答案為：t 1 .【點(diǎn)睛】本題考查平面上點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題9 .行列式114中元素2的代數(shù)余子式的值是1 46【答案】2.【解析】 根據(jù)元素代數(shù)余子式定義，求出對(duì)應(yīng)的行列式，即可求解【詳解】行列式114中元素2的代數(shù)余子式為行列式:1 46112 1 46 42.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查行列式元素的代數(shù)余子式，屬于基礎(chǔ)題210 .拋物線y 4x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)F的距離之和為5,則線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2【解析

8、】根據(jù)焦半徑公式，將兩點(diǎn) A、B到焦點(diǎn)F的距離之和，轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)關(guān)系，即 可求解.【詳解】 2 拋物線y 4x焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x 1,設(shè) A(X1,y1),B(X2,y2),|AF| |BF | 2 2 5,x1 x2 3,線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x22 3.22【點(diǎn)睛】 本題考查拋物線焦半徑長(zhǎng)公式，注意定義在解題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題211 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以直線y 2x為漸近線，且經(jīng)過(guò)橢圓 x2 y- 1右4頂點(diǎn)的雙曲線的方程是 .2第9頁(yè)共16頁(yè)【解析】 根據(jù)漸近線方程y 2x ,設(shè)雙曲線方程為4x2 y2(0),將橢圓2x2 1右頂點(diǎn)(1,0)代入雙曲線方

9、程，求解，即可.4【詳解】由題意可知，設(shè)雙曲線方程為 4x2 y2(0).2Q雙曲線經(jīng)過(guò)橢圓x2 1右頂點(diǎn)(1,0)424 1 0 4,則雙曲線方程為4x2 y2 4,即x2 142故答案為：x2 L 14【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線方程，屬于中檔題.uuu uuu12 .設(shè)A a,1、B 2, b、C 4,5為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OA與OB在OC方向上的投影相同，則實(shí)數(shù) a與b滿足的關(guān)系式為【答案】4a 5b 3 0.AB與OC垂直，即可求解uuu uuu uuur【解析】OA與OB在OC方向上的投影相同，可得出直線 【詳解】uuu , uuu uur ,uuu uuuOA與OB在

10、OC萬(wàn)向上的投影相同，則 AB OC，uuur uuurAB OC (2 a,b 1) (4,5) 4a 5b 3 0,故答案為：4a 5b 3 0.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 13 .設(shè)直線ax y 3 0與圓（x 1）2 （y 2）2 4相交于A,B兩點(diǎn)，且弦 AB的長(zhǎng)為2邪,貝U a =.【答案】0【解析】由已知可得圓心（1,2）到弦的距離為1,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得a的值.【詳解】解：由直線ax y 3 0與圓（x 1）2 （y 2）2 4相交于A,B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2 J3 ,可得圓心（1,2）到弦的距離為1,可得| a_2_31Ja2

11、11, a 0,故答案：0【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，相對(duì)簡(jiǎn)單 14 .在直角坐標(biāo)平面中，已知兩定點(diǎn)F1（ 1,0）與F2（1,0）位于動(dòng)直線 l : ax by c 0的同側(cè)，設(shè)集合P 1 |點(diǎn)F1與點(diǎn)F2到直線l的距離之和等于2, 。二（工刈（關(guān)門）至八尸,則由Q中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是 .【答案】【解析】試題分析：因?yàn)镕1F2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) O,由點(diǎn)F1與點(diǎn)F2到直線l的距離之 和等于2 ,可知坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線l的距離為1 ,則直線l即為單位圓的切線， 這樣所有 單位圓的切線就構(gòu)成了集合 P,根據(jù)Q表示可知它是由單位圓內(nèi)部的所有的點(diǎn)所組成 的集合

12、，面積即為單位圓的面積【考點(diǎn)】集合語(yǔ)言及直線與圓的知識(shí) .一 x2 y2. . x2y215 .已知橢圓 1和雙曲線 1,其中0< mv 12,右兩者圖像在第一16 m412 m象限的交點(diǎn)為 A,橢圓的左右焦點(diǎn)分別為 B、C, T為4ABC的外心，則 Av?Buv的值 為.【解析】由已知可得兩曲線焦點(diǎn)相同，設(shè)B(c,0), c JT6F ,利用橢圓和雙曲線的定義求出|AB|,用利用兩點(diǎn)間的距離公式求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?O為BC中點(diǎn),uuir ABC的外心T在y軸上，將 ATOT OA,代入所求式,即可求解22已知橢圓工y_16 m2 x1和雙曲線42J 1,12 m焦距相等所以焦點(diǎn)相同

13、，設(shè) B(c,0), C(c,0), c 16A為兩曲線在第二象限的交點(diǎn),|AB| | AC|,ABACABAC設(shè) A(x0, y(o),4Xo2,2y。m 2m x0,16|AB| ,(x0 c)2 y216 m162Xo2cxox2 2cx。16 16(fxo4)2c 4x04 2,Xo8,因?yàn)镺為BC中點(diǎn), c ABC的外心T在y軸上,uurOTuurBCuiuv uuuvuuin uuu uuurAT ?BC (OT OA) BCuuu uuurOA BC8,y。) c(2c,0) 16本題考查求橢圓與雙曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，考查向量數(shù)量積運(yùn)算,考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16 .設(shè)直線l

14、與拋物線y2 4x相交于A,B兩點(diǎn)，與圓22.y r r 0相切于點(diǎn)M ,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是【答案】(2, 4)【解析】 設(shè)直線l的方程為x ty m, A x1, y1 , B x2, y2把直線l的方程代入拋物線方程 y2 4x,整理可得：y2 4ty 4m 0則 n16t216m 0,yi、24t ,y.y24m2xiX2tyi mty2m 4t2m2線段AB的中點(diǎn)M 2t2 m,2t由題意可得直線 AB與直線MC垂直，且C 5,0當(dāng) t 0時(shí)，有 KmcKab12t 01.即 f 011 ,整理得m 3 2t22t2 m 5 t把 m 3 2

15、t2代入到 n 16t2 16m 0可得3 t2 0,即0 t2 3由于圓心C到直線AB的距離等于半徑5 m 2 2t22即 d 2.1 t2 r1 t2.1 t22 r 4,此時(shí)滿足題意且不垂直于x軸的直線有兩條當(dāng)t 0時(shí)，這樣的直線l恰有2條，即x 5 r ,0 r 5綜上所述，若這樣的直線 l恰有4條，則r的取值范圍是 2,4點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與拋物線，圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.設(shè)直線l的方程為x ty m, A x1，y1 ，B x2, V2 ,把直線l的方程代入拋物線方程 y2 4x,根據(jù)判別式求得線段 AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別討論t 0時(shí)

16、，t 0時(shí)r的取值范圍，即可得到答案三、解答題 2217.如果實(shí)數(shù)滿足 x 2 y 3,求：,.、22 一 .(1) x y的最大值；(2) 2x y的最小值.【答案】(1) 7 4# ; (2) 4屈.【解析】(1)實(shí)數(shù)滿足x 2 2 y2 3,即點(diǎn)(x,y)在圓上，x2 y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，利用幾何法求出原點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最大值，即可求解；(2)設(shè)2x y m,即y 2x m,直線過(guò)圓上的點(diǎn)且斜率為 2,利用直線圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】2(1)實(shí)數(shù)滿足 x 2 y2 3的解為坐標(biāo)的點(diǎn)為 M(x, y),則M在圓上，圓心 C( 2,0), r J3,22,.一.一、一一、

17、一.2x y表不圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方即為|OM |2,|OM |最大值為 |OC | J3 2 J3,所以x2 y2的最大值為7 4 J3 ；(2)設(shè) 2x y m,即 y 2x m,即直線2x y m 0與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離 d解得 415 m2x y的最小值為 4【點(diǎn)睛】本題考查方程與曲線的關(guān)系，以及直線與圓的位置關(guān)系， 考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵理解所求表達(dá)式的幾何意義，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題 18.已知圓 C:+3:二2 .(1)求過(guò)點(diǎn)Q(3,0)的圓C的切線l的方程;(2)如圖，定點(diǎn)A(1,0),M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿uuu

18、v uuv uuv uuuv足AM 2AP, NP AM 0,求點(diǎn)N的軌跡.【答案】(1) x j 3 = 0 , x + v 3 = 0 (2) _' + 2【解析】【詳解】(1)由題意知所求的切線斜率存在，設(shè)其方程為卜=Mx- 3),即匕一 y -3k=-Q ；I -k-3k I (-由 小三次得區(qū)必+8 =16必，解得k = ±l,出* +1從而所求的切線方程為 x-3 = 0 , x+>-3=。.(2) , - - - -NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM| .又- - .11 - .一，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C ( 1, 0), A (1, 0)為焦點(diǎn)的橢圓

19、.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 工口 =工焦距2c=2 .二口 = 1點(diǎn)N的軌跡是方程為 +u： =1. 219 .設(shè)拋物線C： y 2 Px p>0的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線C于A x1，y1、B X2, y2 兩點(diǎn)，且 yy24.(1)求拋物線C的方程；(2)若點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線MF、MA、MB的斜率分別為 、kk2, 求證：當(dāng)ko 1時(shí)，k1 k2為定值.【答案】(1) y2 4x； (2)匕k2 2.【解析】(1)設(shè)直線l方程為x my p,與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，即可求解；(2)根據(jù)條件求出 M點(diǎn)坐標(biāo)，k1 k2用y1，y2表示，再利用根與系數(shù)關(guān)系，即

20、可證明結(jié)論.【詳解】(1)拋物線 C： y2 2px p 0 的焦點(diǎn) F(R,0), 2設(shè)直線l方程為x my ,2px my聯(lián)立2 ,消去x得，y2 2pmy p2 0,y2 2px2,/2、 八八24p (1 m ) 0, yi y2 2 pm, yiy2p 4,p 2 ,所以拋物線方程為 y2 4x ；(2)拋物線準(zhǔn)線方程為 x 2,設(shè)M( 1,y0),k0 -y- 1, y 2,1 1直線 l 方程為 x my 1, y1 y2 4m, y1 y2p24,%2y22y 2y? 2k1 k2y1x11x21my1 2my2 2y2my1 2my2 22(2 2)2) 4m m (my1

21、2)(my2 2)2(2 2)2 m(y1 y2) 4m m m y1y2 2m(y y2) 4_22 小 2、 4m 4一(2 一)22 m m 4m 8m 4所以k1k2為定值.【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，要注意根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求的應(yīng)用，屬于中檔題.2220 .給定橢圓C:xy 4 1(a b 0).稱圓心在原點(diǎn) O,半徑為Ja2 b2的圓是 a b橢圓C的 準(zhǔn)圓若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F (由,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離 為小.求橢圓C的方程和其 準(zhǔn)圓”方程；(2)點(diǎn)P是橢圓C的 推圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線11,12 ,使得11,

22、12與橢圓C都 只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷112是否垂直？并說(shuō)明理由.2【答案】（I）土 y2 1, x2 y2 4； （n）垂直. 3【解析】 試題分析：（1）由 輔圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（J2，0）,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到 F的距離為 后知：c厄a雜b 4OC 1VOF 2從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)圓”的方程；（2）分兩種情況討論：li2當(dāng)中有一條直線斜率不存在；直線ll2斜率都存在.對(duì)于可直接求出直線11,12的方程并判斷其是不互相垂直；對(duì)于設(shè)經(jīng)過(guò)準(zhǔn)圓上點(diǎn)P X0,y0 ,與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y t x X0y0y tx y° txo與橢圓方程聯(lián)立組成方程組x29消去y得到關(guān)于x的

23、方程：T y 122213tx6t y0tx0x3y0 tx030由0化簡(jiǎn)整理得：3x2t22x0y0t1y20x2 y2 4 3x2t22%丫4x330而直線11,12的斜率正是方程的兩個(gè)根 t1,t2,從而t1 t211112（1） Qc 、,2,a 、3, b 12橢圓方程為y2 1 3準(zhǔn)圓方程為x2 y2 4（2）11,12當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)11無(wú)斜率，因?yàn)?1與橢圓只有一個(gè)共公點(diǎn)，則其方程為x 邪當(dāng)11方程為x J3時(shí)，此時(shí)11與準(zhǔn)圓交于點(diǎn) 3,1-3, 1此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 石1 （或 J3, 1）且與橢圓只有一個(gè)公共瞇的直線是y 1（或y 1）即12為y 1 （或y 1）,顯然直

24、線11,12垂直；同理可證11方程為xJ3時(shí)，直線:J也垂直.當(dāng)li,l2都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn) P xo,y0 ,其中x2 y(2 4設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P xo,y0 ,與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y t x xoy0y txyo txo則由x22消去y,得萬(wàn)y 12221 3t x 6t y0 tx0 x 3 y0 tx03 0222由 0化簡(jiǎn)整理得：3x；t22%yot 1y2 0因?yàn)?x； y24,所以有3xot2 2x0y0tx3 30設(shè)ll2的斜率分別為tl2,因?yàn)閘l2與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)22_3一一所以ti,t2滿足上述方程3 x0 t2x0y0tx030所以11t21 ,即l1,l2垂直，綜

25、合知，l1，垂直.【考點(diǎn)】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓錐曲線的綜合問題.221.如圖，直線l：y kx b與拋物線x 2py （常數(shù)p 0）相交于不同的兩點(diǎn)A（x1， yj、B%, y2）,且x? x h （h為定值），線段AB的中點(diǎn)為D,與直線l: y kx b平行的切線的切點(diǎn)為 C （不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)為切點(diǎn)）（1）用k、b表示出C點(diǎn)、D點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明 CD垂直于x軸；（2）求 ABC的面積，證明 ABC的面積與k、b無(wú)關(guān)，只與h有關(guān)；（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連AC、BC,再作與AC、BC平行的

26、切線，切點(diǎn)分別為 E、F ,小張馬上寫出了 ACE、 BCF的面積，由此小張 求出了直線l與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請(qǐng)你說(shuō)出理由.第19頁(yè)共16頁(yè)k2ch3【答案】(1) C(pk, ) , D( pk, pk b) , (2) ,(3)能.216p【解析】 試題分析：（1）因?yàn)镈點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn) A, B中點(diǎn)，所以求D點(diǎn)坐標(biāo)就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解，即由y kx b 2 2x 2 pkx 2 Pb 0,得 x1 x2 2pk , x1 x22 pb ,點(diǎn)x 2pyD（pk, pk2 b）.因?yàn)镃點(diǎn)為切點(diǎn)，利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別y kx m 22 2式為零進(jìn)行求解，即由 2x 2pkx 2Pm 0彳導(dǎo) 4p k 8Pm 0 ,x 2py得C（pk,上k）.由于C、D的橫坐標(biāo)相同，CD垂直于x軸.（2