9二項分布及其應用-拔高難度-講義

1、二項分布及其應用姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為0. 8,假設他每次命中率相同，請問他4投3中的概率是多少？1次的概率是多少？2次的概率是多少？3次的概率是多少？4次的概率是多少？ k次的概率是多少？問題1:在4次投籃中姚明恰好命中 問題2:在4次投籃中姚明恰好命中 問題3:在4次投籃中姚明恰好命中 問題4:在4次投籃中姚明恰好命中 問題5:在n次投籃中姚明恰好命中解讀1、條件概率(1)條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B,在已知事件 A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號'P(B|A)”來表示.(2)條件概率公式：P B A0 , A I B稱為事件A與B的積

2、或交(或積).把由事件A與B的交(或積)，記做D AI B (3)條件概率的求法：(或 D AB ).利用定義，分別求出 PA和PBA,得PBAP AI BP A第3頁(共12頁)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數，即 n A再求事件n AI B ,得PBAn AI B2、相互獨立事件同時發(fā)生的概率(1)事件的獨立性 ：如果事件A(或B)是否發(fā)生對事件B (或A)發(fā)生的概率沒有影響, P(B|A) P(B),這時，我們稱兩個事件 A, B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事 件.如果事件A與B相互獨立，那么事件AgB發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,P AgB P A gp

3、 B .如果事件A, %,，An相互獨立，那么這 n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(Ai IA，IL IAn)P(Ai)P(A2)LP(An),并且上式中任意多個事件A換成其對立事件后等式仍成立.(2)相互獨立”與事件互斥”兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨立不一定互斥.3、二項分布(1)獨立重復試驗如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結果A及A,并且事件 A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，重復地做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復試驗.n次獨立

4、重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k) C： pk(1 p)n k(k 0, 1, 2, L , n).(2)二項分布若將事件A發(fā)生的次數設為 X ,事件A不發(fā)生的概率為q 1 p ,那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X k) Cn pkqn k,其中k 0, 1, 2, L , n .于是得到X由 于 表 中 的第 二 行n 0 0 n T 1 n 1k k n k(q p) Cn p q Cn p q l c： p q各對應項的值，所以稱這樣的散型隨機變量X B(n, p).典例精講一.選擇題(共10小題)恰 好 是 二 項 展 開 式n n 0L Cn p

5、 qX服從參數為n , p的二項分布，記作的分布列X01knP00 nCn p q11 n 1Cn p qk k n kCn p q_ n n 0Cn p q1. (2018春?撫順期末)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為P,各成員的支付方式相互獨立，設 X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數， D (X) =2.1, P (X=4) <P (X=6),則 P=()第2頁(共12頁)A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【分析】利用已知條件，轉化為二項分布，利用方差轉化求解即可.【解答】解：概率都為p,可看做是獨立重復事件，滿足 XB (10, p),P (x=4)

6、<P (X=6),可得？?0?P4? (1 P) 6<?%?P6? (1 P) 4,八一1化簡得1-2P<0,解得P>2；因為 D (X) =2.1,可得 10P (1 -P) =2.1,解得 p=0.7 或 p=0.3 (舍去)；P的值為0.7.故選：A._ _ r12. (2015春？廬江縣期末)已知隨機變量 qN (2, 4),則D (2汁1)=()A. 1B. 2C. 0.5D. 4【分析】根據正態(tài)分布的概念，隨機變量 力N (2, 4),得出D (。=4,利用D11(二注1)=-d(。求解即可。 24【解答】解：二.隨機變量 1N (2, 4),. d( a

7、=4,、L 113A. 一152B.一8113C.24380D. 一243:設“弓+1,4一一32-3?1 3?n求出n,表示6次獨立重復【分析】XB (n,-),若D (x) =4, 331試驗，每次實驗成功概率為P (X=2)表小6次試驗中成功兩次的概率. 3【解答】解：由題意，XB (n,1),若D(x)=4,則n?1 ?2=4,n=6.333 3 3P (X=2) =?(3)11 . D (城=D(£ 汁1) =4D (9 =4X4=1,故選：A.3. (2016秋？武漢期末)已知隨機變量 XB (n, 1),若D (x) =4,則P (X=2) 3(|)4=梟.22243故

8、選：D.4. (2017春?城北區(qū)校級期末)已知隨機變量匕“滿足汁”=8且士服從二項分布卜B (10, 0.6),則E (城和D (娘的值分別是()A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6【分析】根據變量 看B (10, 0.6)可以根據方差的公式做出這組變量的方差，隨機變量+4=8知道變量”也符合二項分布，即可得出結論.【解答】解：二 hB (10, 0.6), .EE =100.6=6, DE =10< 0.6X0.4=2.4,: +“ =8''' T =8 ±. Et =E(8- a =8-6=2,Dt

9、=D(8- 8 =2.4.故選：B.，、，1 i5. (2016春？福建月考)已知隨機變量 X服從二項分布B (4, 2),則D (3X+1) =()A. 3B. 4C. 9D. 10一一、，1，-【分析】隨機變量X服從二項分布B (4, 2),可得D (X) =1 ,則D (3X+1) =9D (X).一 一、一 ，111【解答】解：.隨機變量X服從二項分布B (4,2), .D (X) =4X 2 X (1 - 2)=1.WJ D (3X+1) =9D (X) =9.故選：C.6. (2016春？曲靖校級期末)隨機變量士服從二項分布 & B (n, p),且EE =30DE =20

10、則p等于()A. 2B. 133【分析】根據隨機變量符合二項分布,1 C.-23D. 一4根據二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關于 n和p的方程組，解方程組得到要求的 兩個未知量.【解答】解：朗艮從二項分布B(n, p)且EE =30 DE =20由 EE =30=np D± =20=np( 1 - p),第11頁(共12頁)可得 p=n=90.3故選：B.7. (2016春?邯鄲期中)設隨機變量XB (2, p), YB (4, p),若 P (X>1)5 一.一,則 P (Y> 1)為(9A.16B.一8165C.81D. 1【分析】根據隨

11、機變量服從XB (2,P)和P (X> 1)對應的概率的值，寫出概率的表示式，得到關于p的方程，解出p的值，再根據Y符合二項分布, 利用概率公式得到結果.【解答】解：二隨機變量服從XB (2, p),.P (X> 1) =1-P (X=0) =1-? (1p) 2b,解得 p=.93P (Y> 1) =1-P (Y=0) =1 - ? (1- p) 4=1 - -=65,81 81故選：C.8. (2015春?重慶期末)若隨機變量XB(n,p),其均值是80,標準差是4,則n和p的值分別是()A. 100, 0.2 B. 200, 0.4C. 100, 0.8 D. 200,

12、 0.6【分析】根據隨機變量符合二項分布，根據二項分布的期望和方差的公式和條件 中所給的期望和方差的值，得到關于 n和p的方程組，解方程組得到要求的 兩個未知量.【解答】解：二.隨機變量XB (n, p),其均值是80,標準差是4,.,由 np=80, np (1 - p) =16,. p=0.8, n=100.故選：C. ，一 一，1-9. (2014春?東莞期末)若隨機變量 X服從兩點分布，其中P (X=0)=：,則E3(3X+2)和D (3X+2)的值分別是()A. 4 和 4B. 4 和 2C, 2 和 4D. 2 和 2【分析】先由隨機變量X服從兩點分布，求E (X)和D (X),再

13、求E (3X+2)和 D (3X+2)的值.【解答】解：:X服從兩點分布， .E (X) =0X 1+1 x 2=2, 33 3D (X) = (- 2X1+ (1) 2x2=2 3333 9E (3X+2) =4, D (3X+2) =21 P (X=0)=-, 3故選：B.,1 一一，10. (2014碓州一模)設隨機變量 X服從二項分布XB (5,-),則函數f (x)A.4B.-531 C32D.=x2+4x+X存在零點的概率是()【分析】函數f(x) =x2+4x+X存在零點，可得X& 4,隨機變量X服從二項分布XB (5, 1),可求 P (X< 4) =1-P (X

14、=5).【解答】解：:函數f (x) =x2+4x+X存在零點, =16 4X> 0, . X< 4,.隨機變量X服從二項分布XB (5, 2),P (X<4) =1 -P (X=5) =1-2=31.25 32故選：C.二.填空題(共5小題)11. (2017 春？福州期末)若 & B (n, p)且 E ( 9 =4, D ( 9 =8,則 P (己二1 3932的值為_3-_.81【分析】由隨機變量 0B (n, p),列出方程組np=-,且np (1-p)上求出n、39p的值，再利用n次獨立重復實驗恰有k次發(fā)生的概率公式計算即可.【解答】解：隨機變量 &

15、;B (n, p)且E ( 9 =4, D( a =8,39np=4-,且 np (1 - p) =8,39解得n=4, p； 3.P (七=1=C41 (d (I-1) 3=32 338132故答案為：一81 、1 八12. (2013春?鼓樓區(qū)校級期末)某籃球運動員在三分線外投球的命中率是2,他投球5次，恰好投進2個的概率是 .16 【分析】由題意知投球5次且每次的條件不變，得到本題是一個獨立重復試驗,判斷出題目屬于什么問題，后面只要代入公式得到結果即可.【解答】解：二.由題意知運動員在三分線投球的命中率是投球 5次且每次的條件/、變,本題是一個獨立重復試驗,5由獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的

16、概率公式可得P=?(1)2(1 - 1)3=-5'22)165故答案為：一1613. (2015春？珠海期末)已知隨機變量 0B (6,-),則E (2© = 43【分析】根據立重復試驗的數學期望公式得出E ( 0 =np, E (20 =2E (匕求解即可.【解答】解：二.隨機變量 1B (6, 1),3,，1根據獨立重復試驗的數學期望公式得出 E ( $ =6X-=2,3v E (20 =2E ( 9 =2X 2=4,故答案為：414. (2015春？曲靖校級期中)設1B (n, p), E (。=12, V ( 9 =4,則n的 值是 18 .【分析】根據E ( 0 =

17、np, V (。=np (1 - p),求解即可.【解答】解：E ( 9 =np=12, 4.12 1-p=3, p=3-，n=18故答案為：18.15. (2017春?興化市校級月考)已知隨機變量 X服從二項分布XB (6, 1),3則P (X=2)的值為 20-.243 【分析】根據二項分布xB (6, 2)表示6次獨立重復試驗，每次實驗成功概32率為一，計算P (x=2)表小6次試驗中恰有兩次成功的概率. 3【解答】解：隨機變量X服從二項分布XB (6, 2),3貝 U P (X=2) =?(|)2?(1- 3)4 20243故答案為:20243三.解答題(共4小題)16. (2013秋

18、?宜昌期末)甲、乙兩選手比賽，假設每局比賽甲勝的概率是 2,乙3，一 一一1一勝的概率是-，不會出現平局.3(1)如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；(2)如果采用五局三勝制(若甲、乙任何一方先勝 3局，則比賽結束，結果為 先勝3局者獲勝)，求甲獲勝的概率.【分析】(1)先由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率，根據獨 立重復試驗公式公式，列出算式，得到結果.(2)由于采用五局三勝制，則甲獲勝包括甲以 3: 0獲勝，以3: 1獲勝，以3: 2獲勝，根據獨立重復試驗公式列出算式，得到結果.【解答】解：(1)甲恰好勝2局的概率？= ?(|)2?； = 4; 339乙

19、至少勝1局的概率？ = 1 - (2)3 = 19; 32 7(2)打 3 局：(3)3 = 27S打 4 局：? X(3)2 X3 x1 = 27;32 733327打五局：？ x(|)2 x(1)2 x| = i48- = 811一，64因此甲獲勝的概率為一8117. (2016秋?清城區(qū)期末)某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量(單位：噸)進 行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結果如下：日銷售量11.52天數102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立.(I )求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為 1.5噸的概率；(n)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，X表示該種商品某兩天銷

20、售利潤的 和(單位：千元)，求X的分布列和數學期望.【分析】(I)先求得銷售量為1.5噸的概率p=0.5,然后利用二項分布求得其概 率.(H) X的可能取值為4, 5, 6, 7, 8,分別求得其概率，寫出分布列和數學期 望.【解答】解：(I)?= 55= 0.5, ?= 15= 0.3,依題意，隨機選取一天，銷售量為 1.5噸的概率p=0.5,設5天中該種商品有Y大的銷售量為1.5噸，則YB (5, 0.5),. .?(?= 2) = ? X0.52 X(1 - 0.5)3 = 0.3125.(n) X的可能取值為4, 5, 6, 7, 8,則：P (X=4) =0.22=0.04, P (

21、X=5 =2X 0.2X0.5=0.2, P (X=6) =0.52+2X 0.2X0.3=0.37,P (X=7) =2X0.3X0.5=0.3, P (X=8) =0.32=0.09,，- X的分布列為：X 的數學期望 E (X) =4X 0.04+5X 0.2+6X0.37+7X0.3+8X0.09=6.2.18. (2015秋？渭城區(qū)校級期末)五一節(jié)期間，某商場為吸引顧客消費推出一項 優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券.(假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的 邊界時，重新轉一次)指針所在的區(qū)域及對應的返券金額見右上表.例如：

22、 消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.(1)已知顧客甲消費后獲得n次轉動轉盤的機會，已知他每轉一次轉盤指針落 在區(qū)域邊界的概率為p,每次轉動轉盤的結果相互獨立，設士為顧客甲轉動轉盤指針落在區(qū)域邊界的次數，己的數學期望EE25,標準差 瞥1,求n、p 的值；(2)顧客乙消費280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為 “(元).求 隨機變量”的分布列和數學期望.指針位置A區(qū)域 B區(qū)域 C區(qū)域返券金額(單位：元)6030【分析】(1)依題意知，己服從二項分布 B (n, p),再由二項分布的期望公式與二項分布的方差公式可得方程組，進而求出p與n的值. 一八，一、一1(2)設指針落在A, B, C區(qū)域分別記為事件A, B, C,再計算出P (A) =", P611(B) =, P (C)=-,以及隨機變量 ”的可能值為0, 30, 60, 90, 120,然32后根據相互獨立事件的概率乘法公式分布得到其發(fā)生的概率，假若求出離散型隨機變量的分布列與期望.【解答】解：(1)依題意知，朗艮從二項分布 &B (n, p)1E =np25又 DE 二(o無 1 2=np (1 - p)=由聯立解